上海高考数学复习讲座二

上海高考数学复习讲座二上海高考数学复习讲座二主讲人主讲人: : 贺才兴贺才兴221, ,( , )|1( , )|222( ).012.01. 2.12x y mRMx yyxNx yyxmmMNABCD、设，则集合中含有的元素的个数是或 或或或22(1)2yxmm22220yymm(221)()0ymym1 2,2myym2个；1 21,24mm m当1.个22118( 2)(41)04mmmm (或当时取等根.).D选典型例题解解222sin3coslog (2)2( ). | 12. | 1012. | 01. | 1012xxxA xxB xxxC xxD xxx 、设，则满足等式的实数 的取值范围是或或22log (2)2sin()3xx263312sin()23 221log (2)2xx 2224xxlog(01)1(0,)01(0,)ayx aaaa提醒：对函数且的单调性时，函数在上单调递增；时，函数在上单调递减。解解典型例题222sin3coslog (2)2( ). | 12. | 1012. | 01. | 1012xxxA xxB xxxC xxD xxx 、设，则满足等式的实数 的取值范围是或或22log (2)2sin()3xx263312sin()23 221log (2)2xx 2224xx1012.xx 或D选解解典型例题3213202901( ).30.305.15.nannABCD、设数列为等差数列，共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则第项的值为无法求出13521242.320.290nnaaaaaaa1.30addd130and即111124.2320aadadand又1(1)(1)320nan nd即1(1)()320nand30(1)320n.n得到 不是整数，这是不可能的，即这样的数列不存在D选解解典型例题12124,(4)(4)1034( ).0.34. 2 34. 4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy2222(4)(4)10( , )( 4,0)(4,0)10.5,4,3.xyxyx yacb可以看作点到点与到点的距离之和等于根据椭圆定义即可知道提醒：解解典型例题12124,(4)(4)1034( ).0.34. 2 34. 4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy34uxy5cos3sin342222cos1sinxaxyybab椭圆的参数方程提醒：解解典型例题12124,(4)(4)1034( ).0.34. 2 34. 4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy34uxy5cos3sin3434cos()3422sincossin(),tan.baxbxabxa辅助角公式其中提醒：解解典型例题12124,(4)(4)1034( ).0.34. 2 34. 4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy34uxy5cos3sin3434cos()34解解典型例题2 34.C选51, , ,_.nna balmnblmna b、设三个正数分别是等差数列的第 项，第项，第 项，又分别是等比数列的第 项，第项，第 项，则应满足关系式1()01()aml ddbnl d 设公差，则()nnmaaanm d是等差数列，则提醒：解解典型例题51, , ,_.nna balmnblmna b、设三个正数分别是等差数列的第 项，第项，第 项，又分别是等比数列的第 项，第项，第 项，则应满足关系式1()01()aml ddbnl d 设公差，则11amlbnl11(0)1m ln laqqqbq设公比，则n mnnmaaa q是等比数列，则提醒：解解典型例题51, , ,_.nna balmnblmna b、设三个正数分别是等差数列的第 项，第项，第 项，又分别是等比数列的第 项，第项，第 项，则应满足关系式1()01()aml ddbnl d 设公差，则11amlbnl11(0)1m ln laqqqbq设公比，则解解典型例题lg()lglg()lgamlqbnlqlglgamlbnl1lg1lgaabb11baab011dabq若，则，11baab11.baab此时也满足12312326()_.a a aaaaa、一个三位数如果同时有及称为凹数，则所有凹数的个数是21381 1aaa时， 与的取值总数为；213722aaa时， 与的取值总数为；213099aaa时， 与的取值总数为；22212.9285.所以总共有个2222(1)(21)123.6n nnn提醒：解解典型例题285个1122127 ,02.nnnnabab abaanab、设等差数列和等比数列，且，求证：当时，120aa210,daa22111.baqba21112aada qb qb1(1)da q231.11nnqqqqn ，23322311,1,.,1,1.11nnnnqqqqqqqqn 提醒则：，即解解典型例题1122127 ,02.nnnnabab abaanab、设等差数列和等比数列，且，求证：当时，120aa210,daa22111.baqba21112aada qb qb1(1)da q231.11nnqqqqn ，解解典型例题1111nqnq即11(1)(1)nqqn 1(1)(1)1nqqn1111nnnbb qa q11(1)(1)a qna1(1)nanda1111118111,33.ABCDA BC DAMAB BNBDMNABBDMN、在正方体中各棱长为 ，试证是和的公垂线，并求的长.MMPABABPPN过作交于 ，连接MPABCD易知平面，PNAC由比例关系可以推出ACBDPNBD由MNBD由三垂线定理知三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条提醒：斜线垂直。解解典型例题1111118111,33.ABCDA BC DAMAB BNBDMNABBDMN、在正方体中各棱长为 ，试证是和的公垂线，并求的长.MMPABABPPN过作交于 ，连接MPABCD易知平面，PNAC由比例关系可以推出ACBDPNBD由MNBD由三垂线定理知,NNQABABQQM同理，过作交于 ，连接1MNAB可证1.MNABBD即是和的公垂线13MP 易知，212()3233ACPNAC33MN解解典型例题1111118111,33.ABCDA BC DAMAB BNBDMNABBDMN、在正方体中各棱长为 ，试证是和的公垂线，并求的长1D以为坐标原点建立坐标系，如图(1,0,1),A则(1,1,1),B1(1,1,0),B(0,0,1),D1 2(1, ),3 3M2 2( ,1)3 3N10,1, 1 ,AB 1, 1,0 ,BD 1 1 1,3 3 3MN 1110,33MN AB 11033MN BD 1MNABBD是和的公垂线1113.9993MN 且解解典型例题009-26060 .P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于 ，底面，与平面所成角为(1)-PABCD求四棱锥的体积；(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小典型例题009-26060 .P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于 ，底面，与平面所成角为(1)-PABCD求四棱锥的体积；-PABCDPOABCD解： 在四棱锥中，底面PBOPBABCD是与底面所成的角，060PBO即，Rt AOB在中，1BO ，POBO，3,PO2 3.S底-12 332.3P ABCDV典型例题009-26060 .P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于 ，底面，与平面所成角为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法一：,ABFEF DF取中点 ，连接EFPA则()FEDDEPA是异面直线与所成角 或补角3OAOP6POAPA在等腰直角中，62EFABD是等边三角形3DFPBD又是等边三角形3DE典型例题009-26060 .P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于 ，底面，与平面所成角为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法一：12cosEFFEDDE624432arccos.4所求角为典型例题009-26060 .P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于 ，底面，与平面所成角为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法二：,OOB OC OPxyz以为坐标原点，射线分别为 轴轴轴的正半轴，建立空间坐标系,(0,3,0),A则(0,0, 3),P( 1,0,0),D 13( ,0,)22E33,0,22DE0, 3, 3 ,AP 典型例题009-26060 .P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于 ，底面，与平面所成角为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法二：cos(,)DE APDE APDE AP 32933344242arccos.4所求角为典型例题210217ABCDyxyx、若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上，则该正方形面积的最小值为多少？217AByx设正方形边在直线上，21122(,),(,)C x yD xyyx在上，:2CDlyxb则22yxbyx220.xxb, a令正方形边长为12122(),yyxx则由得22221212()()aCDxxyy2125()xx212125()20 xxx x20(1)(1)b解解典型例题210217ABCDyxyx、若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上，则该正方形面积的最小值为多少？217(0, 17)yx在直线上任取一点，172(2)5byxba它到直线的距离2(17)(1)(2)20(1)5bb联立：123,63bb2min80.a解解典型例题25110,( )(cos )(sin ).2af xax axa、设的最大值为，求 的值2( )(cossin )sincosf xaaxxxx22(cossin )1(cossin )2xxaaxxcossin2, 2uxx 设，sincos2sin()2,24xxx 提醒：解解典型例题25110,( )(cos )(sin ).2af xax axa、设的最大值为，求 的值2( )(cossin )sincosf xaaxxxx22(cossin )1(cossin )2xxaaxxcossin2, 2uxx 设，221( )(221)2f xuaua则max2u2max1( )(22 221)2fxaa( )0,2,( ).f uuauf u 的对称轴所以时取得提醒最大值：解解典型例题25110,( )(cos )(sin ).2af xax axa、设的最大值为，求 的值2( )(cossin )sincosf xaaxxxx22(cossin )1(cossin )2xxaaxxcossin2, 2uxx 设，221( )(221)2f xuaua则max2u2max1( )(22 221)2fxaa解解典型例题252222 2240,aa2 2().a舍去负根12312312 ,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时12(1)(3);nnnaaan证(2)na证数列中每相邻两项均互素；1(3)lim.nnnaa求典型例题12312312 ,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时12(1)(3);nnnaaan证3213aaan，即成立；12kkknkaaa设时，成立；1nk则当时，11232kkkkaaaa12122()2kkkkkaaaaa1kkaa(1)(2)(3)1.kk 数学归纳法证明第一项成立；假设第 项提成立醒；证明第项成立：解解典型例题12312312 ,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时12(1)(3);nnnaaan证3213aaan，即成立；12kkknkaaa设时，成立；1nk则当时，11232kkkkaaaa12122()2kkkkkaaaaa1kkaa解解典型例题123.nnnnaaa故对一切，都成立12312312 ,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时(2)na证数列中每相邻两项均互素；1iiaap设和的最大公约数为 ，1.iipaa则能整除和11iiiaaa1ipa能整除21iiiaaa又2ipa能整除2pa依次类推，可知整除21a 而，1p 故，.na说明数列的每相邻两项互素解解典型例题12312312 ,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时1(3)lim.nnnaa求1limnnnaAa设，11lim(1)limnnnnnnnaaaaa则1limnnnaa1A1limlim.nnnnnaaa提若的极限存则：在醒，解解典型例题12312312 ,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时1(3)lim.nnnaa求1limnnnaAa设，11lim(1)limnnnnnnnaaaaa则1limnnnaa1A解解典型例题210AA 152A 10,nnaa151lim.2nnnaa13( )0,()( )( ).f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(1)(0),(1)ff求的值；(2)( )f x判断的奇偶性，并证明你的结论；(2)(3)(2)2,(),.nnnnffunNunSn若求数列的前 项和典型例题13( )0,()( )( ).f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(1)(0),(1)ff求的值；0ab令，(0)0;f则1ab令，(1)(1)(1)fff则(1)0.f解解典型例题13( )0,()( )( ).f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(2)( )f x判断的奇偶性，并证明你的结论；1,abx 令，()( )( 1)fxf xx f 则1,1ab 再令，(1)( 1)( 1)fff 则2 ( 1)0f ( 1)0f()( )fxf x ，( ).f x即是奇函数解解典型例题13( )0,()( )( ).f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(2)(3)(2)2,(),.nnnnffunNunSn若求数列的前 项和()( )( )0f abf af bababab当时，( )( ),f xg xx令( )( )f xxg x即，()( )( )g abg ag b则()( )ng ang a()()nnnf aa g a( )nna g a1( )nnaag a1( )nnaf a1()( ),nnf aaf an1(2)11( )( )22nnnfufn解解典型例题13( )0,()( )( ).f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(2)(3)(2)2,(),.nnnnffunNunSn若求数列的前 项和111(1)(2)2 ( )(2)222ffff12 ( ) 102f 11( )22f 111( )22nnu 111 ( ) 22112nnS1( )1.2n解解典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(1)n试将上述命题推广到 个比值的情况，写出推广后的命题；(2).证明你所推广的命题典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(1)n试将上述命题推广到 个比值的情况，写出推广后的命题；1212(1),.,.,nna aab bb设与都是正数，22212.1,naaa且22212.1nbbb ，1212,.,1.nnaaabbb则中的最小数一定不大于解解典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(2).证明你所推广的命题(2)1rrab证 ：设为最小数，1212,.,nrrrrrrnaaaaaabbbbbb则1212,.,.,nna aab bb与都是正数1122,.,rrrnnrrraaababababbb2222222221122(),(),.,()rrrnnrrraaababababbb典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(2).证明你所推广的命题22222221212() (.).rnnrabbbaaab2()1rrab ，1.rrab即典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(2).证明你所推广的命题2 ()11证 ： 反证法 假设最小数大于 ，则全部分数均大于 ，12121,1,.,1nnaaabbb即1122,.,nnab abab2222221122,.,nnababab2222221212.nnaaabbb11 ，矛盾1.n故 个分数中的最小值一定不大于典型例题(1)( 2, 2),.PxoyPPO设点在斜坐标系中的坐标是求点到原点 的距离01545( , ),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标(2),1.Oxoy求以原点为圆心 半径为 的圆在斜坐标系中的方程典型例题(1)( 2, 2),.PxoyPPO设点在斜坐标系中的坐标是求点到原点 的距离01545( , ),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标2220(1)2cos45OPOMMPOM MP22OP解解典型例题01545( , ),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标(2),1.Oxoy求以原点为圆心 半径为 的圆在斜坐标系中的方程(2)( , )( ,)xoyPxoyP x yxoyP x y如图建立直角坐标系，若点 在中的坐标为，则在中的坐标为2222xxyyy解解典型例题01545( , ),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标(2),1.Oxoy求以原点为圆心 半径为 的圆在斜坐标系中的方程221xoyxy在坐标系中，圆的方程为2222()()122xoyxyy在斜坐标系中，圆的方程为2221xxyy即典型例题解解16,3.5,| 4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于 、 两点 若求双曲线的方程222231,(),5xyyxcab设双曲线方程为直线方程为22222221,3()5xyabcabyxc则典型例题解解22224(53)2 1530bayb cyb或16,3.5,| 4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于 、 两点 若求双曲线的方程22,530.PQbaQ、 两点不同,将上述两式相加 得22222222(53)6350baxa cxa ca b典型例题解解16,3.5,| 4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于 、 两点 若求双曲线的方程22222242222(53)()62 153350,baxya cxb cyba ca b.这是一个圆的方程,OPOQ PQOQ为直径，点在圆上4222242243350,3830ba ca bba ba即222 ,150,caxyaxay代入圆方程 得典型例题解解223,ba22215()()4.22axyaa即| 4,1,PQaQ16,3.5,| 4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于 、 两点 若求双曲线的方程典型例题解解221.3yx 故所求双曲线方程为200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列0(1)(0 )ABQ xp求证： 线段的垂直平分线过定点， ；(2)(1)|4|6 ()MFOQO在中， 若，为坐标原点 ，求抛物线方程；(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值典型例题200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列0(1)(0 )ABQ xp求证： 线段的垂直平分线过定点， ；120|,222pppAFxBFxMFx则，1122()(),2pA xyB xyx 设，准线1202.2xxMFAFBFx22112222ypxypx，2212122 ()yyp xx典型例题1212122.AByypkxxyy200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列0(1)(0 )ABQ xp求证： 线段的垂直平分线过定点， ；121200(),22yyyyxxp 120()2yyABN x中点为，0(0 ).Q xp故， 为一定点典型例题12120()22yyyyNAByxxp 过点垂直的直线方程为0 xxp得，200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列(2)(1)|4|6 ()MFOQO在中， 若，为坐标原点 ，求抛物线方程；042px ，042px，28 .yx抛物线方程为典型例题解解06xp，200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线， 求的面积的最大值120122(),2yypAByxxyy直线：124(2)2yytytxt 设，则，222822160yxytyt与联立得：，2244(216)044.ttt (2)ABykxt，典型例题解解128,ABkyy200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线， 求的面积的最大值12122122128421()164641()yyyyQABdyyyy到直线的距离12121212(),ABAByyyykxxxxk2221212121221|()()(1)()4ABABxxyyyyy yk典型例题解解200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线， 求的面积的最大值1|2AQBSAB d故221212122111(1)()4()1624AByyy yyyk2221(1)(644 )16216ttt典型例题解解200172(0)()| | |.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、 及一定点，为焦点， 已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线， 求的面积的最大值2221(16)(16)164ttt典型例题解解2221(16)(322 )(16)4 2ttt222313221616()34 2ttt64 6.9218( )( ,)( ),( ( ),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数， 集合(1);AB证明：(2) 1,3.AB 当时， 求集合典型例题218( )( ,)( ),( ( ),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数， 集合(1);AB证明：0000,(),xAxf xxR对任意的有000()( ()xf xf f x0 xBAB.命题得证解解典型例题218( )( ,)( ),( ( ),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数， 集合(2) 1,3.AB 当时， 求集合 1,3A ，1( 1), 3(3)ff 22( 1)1333abab 即13ab 2( )3f xxx( ( )xf f x222(3)(3)3xxxxx222(3)(3)30 xxxxx即解解典型例题218( )( ,)( ),( ( ),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数， 集合(2) 1,3.AB 当时， 求集合(1)AB由1 3B，1 3 ，是上述方程的根，2(1)(3)23,xxxx即方程左端含有因式22(23)(3)0 xxx于是上述方程可化为：1,3,3,x 解得 1,3,3, 3.B 故得解解典型例题219( 1,4),(2,1)(1)(2).ayaxbxcABxabc、已知 是正整数，抛物线过点，且与轴有两个不同的交点，求：的最小值；的最大值典型例题219( 1,4),(2,1)(1)ayaxbxcABxa、已知 是正整数，抛物线过点，且与轴有两个不同的交点，求：的最小值；41(1)42132abcbaabcca 由题知2240( 1)4 (32 )0bacaaa 又，即112,9aaa或2.a即 的最小值为解解典型例题219( 1,4),(2,1)(2).ayaxbxcABxbc、已知 是正整数，抛物线过点，且与轴有两个不同的交点，求：的最大值(2)234,bca 2,3,1abc 当时，等号成立，4.bc即的最大值为解解典型例题220().yaxbxc abxabcmmba、已知二次函数的图像恒不在轴下方，且恒成立，求实数的取值范围20yaxbxc恒成立24444 ()abcaabacbaa ba22444 ()aabba ba244( )4(1)bbaaba24414(1)babctttabat令，19(5)41tt19(1)641tt1(66)3.4解解典型例题2040abac 且220().yaxbxc abxabcmmba、已知二次函数的图像恒不在轴下方，且恒成立，求实数的取值范围244 ,4tba bac当且仅当，即时，等号成立，33.abcmba的最小值为 ，即解解典型例题