高等数学定积分的应用

授课单元 12 教案aa授课单元名称aaaaa时 定积分的应用授课学a目标 单元知识目标 aaaa6 aaaa教学 aa量、液体压力等实aa能力目标 aaa际问题。解决有关面积、体积、变力作功、物体质理解微元法的思想，掌握用微元法分析并模型，并计算。能知识点 主要教建立常见的实际应学 aaaaaaa用及专业相关的积分 aaaaa际问题。教学难点 aaaaaaa量、液体压力等实变力作功、物体质决有关面积、体积、用微元法分析并解 aa强调微元的侧压力。液体对教材处理 aa参考资料 aaaaa的求法 aa平面薄板功、用微元法求变力做利定积分的微元法， aa侯风波高等数学教学资源 aaa李德才分层数学aa电子教案、课件 aa教学方法与手段案例教评价点 考核aaaaa学、多媒aaaaaaaa体 启发式、讲练结合aaaa面薄板的侧压力。 变力作功、积，液体平形的面积、旋转体的体利用微元法求平面图 aa教学内容课题 1 用定积分求平面图形的面积一、微元法在本章第1 节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f ( ) x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积iinbx ff xdx lim （即整体量）后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分iia01i事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算但在实b,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间：两步：xa,b ，求出积分区间确定积分变量1） （ x,x dx a,b ，并在该小区间上找出所求量Q） 在区间上，任取一小区间的微分元（2 素dQf(x)dx bQ 的定积分表达式（3）写出所求量dxxQ )f (a 用以上两步来解决实际问题的方法称为 元素法 或微元法 下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用二、在直角坐标系下求平面图形的面积bf( x)dxA oxba,x x )(xy f 1、由 轴所围成图形面积公式及， ad(y )dyA ydy,x(y),y c1及、轴所围成图形面积公式c3xy2x1,x例 求曲线轴所围成的图形面积及x 与直线172033xxdxsdx解40 1xxxy yyx yy yx a,x b(a b)所围2、和由两条连续曲线与直线2211bdxyy xx A）的面积成平面图形（如图112a图 1图 2y xyyxxx2xyx y c,y d(c d) 所和与直线、由两条连续曲线2121d dy)( x)(xA yy如图 ( 围成平面图形2) 的面积 12c22x yxy和（ 1）计算由两条抛物线所围成图形的面积例xxy0x如图，及直线 ( 所围成的平面图形的面积2（）求由曲线4).sinx,y cos图 4图 31 ）第一步画图求交点，解方程组解（ 2 xy110,BO,0 ，两抛物线的交点为和2 x y10,x第二步取横坐标为积分变量，则积分区间为3 121121213 xxx Axdx2.第三步 （平方单位）0333330xysin x) (0x 得，于是）解方程组（2x cosy4(sinx cos x)dx (cosx sinx)Adx 40sinx cosx cosx sinx 22y 2xyx 4所围成的图形面积和直线例44（平方单位）402计算由抛物线图5所示首先求出所给直线与抛物线交点，为此，解方程组5 这个图形如图解y x 42y2x4,482, 222,y;x 8,yxx 为本题选横坐标即所求交点为，得两组解 2121y 为积分变量，所求面积为积分变量时，计算较为复杂因此，应该选取纵坐标421y1432 y 4ydy yy 4A 18= = （平方单位）622 2 2 练习3x3轴所围成的平面图形的面积。1、求正弦曲线及和直线 x0, xy sin,x2 （答案3）22x y8 2xy）（答案和直线 362、求曲线所围成的平面图形的面积。用定积分求平面图形面积的步骤： 小结 1 ）画草图，准确找出所求面积的图形，求曲线交点。（ 2 ）选择积分变量，确定积分区间，把所求面积表示成定积分。（ 3 ）计算定积分。（ 、平面图形面积公式2 三、小结 ：1、定积分的元素法10 ） 1） - （ p185 1 作业 上册 （课题 2 用定积分求体积一、平形截面为已知的立体体积)(xA (x)A b x ax,被垂直于x 轴的平面所截得到的截面面积为的连续函数，求该立体的体积。且是，设有一立体，x)b xA ( a, 在区间上任取一点， ，已知截面面积是,dxS(x)dV xdx，则在点设厚度是微分的体积微元bdxxA (A ) 立体体积为aR，并且与底面夹角为例一平面经过半径为求截得的楔形的体积。的圆柱体的底面圆心，1xR,R积分变量，区间建立如图坐标系，解(ty y axn)A22111RR23322tanx x)R( v x)tan dx tanR(RR 3322RRyoxRx二、旋转体的体积x fyxxbxa,x 轴旋转一周所、连续曲线轴所围成的曲边梯形，绕以及，直线 1 形成的旋转体（图）的体积2图图1)f(xx xa,b为半径的圆，其面积x 轴的截面是以，过点取积分变量为，x 且垂直于b2dxf )( Vx2)f (x)(Ax，于是得旋转体的体积为是aycyyd (y)y x 轴旋转一周轴所围成的曲边梯形绕、直线、由连续曲线及、d2dy V (y) c而成的旋转体（图2）的体积为2xy0 y2x轴旋转所得到旋转体的体积，与直线所围成的图形绕 x 例：求由抛物线3224dxxV解：=x502xy4 y0 x 与直线轴旋转所得到旋转体的体积所围成的图形绕例：求由抛物线x，428dy(yV ) 解：xy y0 y2x 轴旋转所得到y02旋转体的体积与直线，例求由抛物线所围成的图形绕（如图）解42448y8 16V 4(y)dy 4 y002022yx 1x 例 求椭圆轴旋转一周所形成立体体积轴和y 所围成的平面图形分别绕22bab22xayxxx轴围成的图形绕轴旋转一周所形成立体可以看作半个椭圆解绕与a.轴旋转而成的旋转体22b2baa2222dxxa xa dx V22aa0 a324b2x2a2abx a（立方单位） 0233a22yx1y类似可求出椭圆绕轴旋转而成的椭球的体积是22ab2a4b222bdy Vab y.（立方单位）b3b练习21,xy x, 0yxy轴旋转一周所形成旋转体的体积所围成的图形分别绕1、求由轴和,）（答案522 yx,y xx轴旋转一周所形成旋转体的体积y 轴和所围成的图形分别绕求由、 22,）（答案156 三、小结旋转体体积公式bd22dy(x) VdxyV ) f (oxoy绕轴旋转：；绕轴旋转：ca 作业上册p186 4授课单元 9 教案时 数aa授课单元名称aaaaa学实验四 授课学 a2 aaaa目标 单元知识目标 aaaa教学 aa计算不定积分、定aa能力目标 aaaaaa积分。MATLAB 能利用知识点主要教学命令函数教学难点 aa积分。定软件计算与格式求aaaa积分的不定积分、 MATLABMATLABa熟练利用 aaaaa命令输入 aa教材处理 aa强调命令参考资料 aaaaaa的输入 aa验艾冬梅 与数学教学资源 aa实 TLABMA aa高等数学实验手教学方法与手段讲练结评价点 考核 aaaaaaaa合 aaaa册 aa定积分、定积分。计算不 MATLAB 利用 aa教学内容 详见高等数学实验手册