高等数学上册知识点

. 高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） ； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 f (x) 在 x 连续 lim f ( x) f ( x0 ) 0 x x0 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质： 有界性与最大值最小值定理、 零点定理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 lim xn a 0, N, n N , xn a n . . 2） 函数极限 lim f ( x) A 0,0, x, 当 0 x x0 时， f ( x) A x x0 左极限： f ( x0 ) lim f (x) 右极限： f ( x0 ) lim f ( x) x x0 x x0 lim f ( x) A 存在 f ( x0 ) f ( x0 ) x x0 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1） yn xn zn ( n n0 ) lim yn lim zn a lim x a 2） n n n n 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若 lim 0 则称为无穷小量； 若 lim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无 穷小 Th1 o( ) ; Th2 , , lim 存在，则 lim lim （无穷小代 . . 换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) lim sin x 1 x 0 x 1 1) x b) lim (1 x) x lim (1 e x 0 x x 5） 无穷小代换：（ x 0 ） a) x sin x tan x arcsinx arctan x 1 2 b) 1 cosx x c) ex 1 x （ ax 1 x ln a ） d) e) ln(1 x) x log a (1 x) x （ ln a ） (1 x) 1 x 第二章 导数与微分 （一） 导数 . . 1、 定义： f ( x0 ) lim f ( x) f (x0 ) x x0 x x0 左导数： f (x0 ) f ( x) f ( x0 ) lim x x0 x x0 右导数： f (x0 ) f ( x) f ( x0 ) lim x x0 x x0 函数 f (x) 在 x0 点可导 f ( x0 ) f ( x0 ) 2、 几何意义： f ( x0 ) 为曲线 y f (x) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线的 斜率。 3、 可导与连续的关系： 4、 求导的方法 1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算； 4） 复合函数求导（链式法则） ； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法。 5、 高阶导数 d 2 y d dy 1） 定义： dx2 dx dx . . n 2） Leibniz 公式： uv (n ) Cnk u(k )v( n k ) k 0 （二） 微分 1） 定义： y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o( x) ，其中 A 与 x 无关。 2） 可 微 与 可 导 的 关 系 ： 可 微 可 导 ， 且 dy f ( x0 ) x f ( x0 )dx 第三章 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理 1 、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足： 1 ） f ( x) C a,b ； 2 ） f ( x) D(a, b) ； 3 ） f (a) f (b) ； 则 (a, b), 使 f ( ) 0 . 2 、 Lagrange 中值定理：若函数 f (x) 满足： 1） f ( x) C a, b ； 2） f ( x) D (a, b) ； 则 (a,b), 使 f (b) f (a) f ( )(b a) . 3 、 Cauchy 中值定理：若函数 f ( x), F ( x) 满足： 1 ） f (x), F ( x) C a,b ； 2 ） f (x), F ( x) D(a, b) ； 3 ） . . F ( x) 0, x (a,b) 则 (a,b), 使 f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( ) （二） 洛必达法则 注意 : 1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子） 再用洛必达法则！ 如： lim 1 x2 cos x tan 4 x x 0 2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限， 然后用洛必达法则！ n n a n b 如： lim 2 n （三） Taylor 公式 n 阶 Taylor 公式： . . f ( x) f (x ) f ( x )( x x ) f ( x0 ) ( x x ) 2 0 0 0 2! 0 f ( n) ( x0 ) x ) n f (n 1) ( ) ( x x ) n 1 ( x n! 0 (n 1)! 0 在 x0 与 x 之间 . 当 x0 0 时，成为 n 阶麦克劳林公式： f ( x) f (0) f (0) x f (0) x2 f ( n) (0) xn f (n 1) ( ) xn 1 1! 2! n! (n 1)! 在 0 与 x 之间 . 常见函数的麦克劳林公式： 1） ex 1 x 1 x2 1 xn e xn 1 2! n! (n 1)! 在 0 与 x 之间， x ； 2 ） x3 x5 x7 x2 m 1 sin (2m 1) ( 1) m 1 2 x2 m 1 sin x x 5! 7! ( 2m 1)! 3! (2m 1)! 在 0 与 x 之间， x ； 3 ） . . x2 x4 x6 ( 1) m 1x2 m 2 cos 2m cosx 1 2 x2m 2! 4! 6! (2m 2)! (2m)! 在 0 与 x 之间， x ； 4） ln(1 x) x x2 x3 x4 ( 1)n 1 xn ( 1)n xn 1 n 1 2 3 4 n (n 1)(1 ) 在 0 与 x 之间， 1 x 1 5 ） (1 x) 1 x ( 1) x2 ( 1)( 2) x3 ( 1) (n 1) xn 2! 3! n! ( 1) ( n)(1 ) n 1 xn 1 ， (n 1)! 在 0 与 x 之间， 1 x 1 . （四） 单调性及极值 1 、单 调 性判 别 法 ： f ( x) Ca, b ， f ( x) D (a, b) ， 则 若 f ( x) 0 ，则 f (x) 单调增加；则若 f ( x) 0 ，则 f (x) 单 调减少。 2 、极值及其判定定理： a) 必要条件： f (x) 在 x0 可导，若 x0 为 f (x) 的极值点，则 . . f (x0 ) 0 . b) 第一充分条件： f ( x) 在 x0 的邻域内可导，且 f ( x0 ) 0 ，则 若当 x x0 时， f ( x) 0 ，当 x x0 时， f (x) 0 ，则 x0 为极大值点；若当 x x0 时， f ( x) 0 ，当 x x0 时， f (x) 0 ，则 x0 为极小值点；若在 x0 的两侧 f ( x) 不变 号，则 x0 不是极值点。 c) 第二充分条件： f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0，则 若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 为极大值点；若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点。 3 、凹凸性及其判断，拐点 1 ） f (x) 在区间 I 上连续，若 x1 , x2 I , f ( x1 x2 ) f (x1 ) f ( x2 ) ， 2 2 则 称 f (x) 在 区 间 I 上 的 图 形 是 凹 的 ； 若 x1 , x2 I , f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f (x) 在区间 I 上的图 2 2 形是凸的。 2 ）判定定理： f (x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 上有一阶、二阶导数， 则 . . a) 若 x ( a,b), f ( x) 0 则 f ( x) 在 a, b 上的图形是凹的； , b) 若 x (a,b), f ( x) 0 ,则 f ( x) 在 a, b 上的图形是凸的。 3）拐点：设 y f (x) 在区间 I 上连续， x0 是 f (x) 的内点，如果曲 线 y f (x) 经过点 ( x0 , f ( x0 ) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点 ( x0 , f ( x0 ) 为曲线的拐点。 （五） 不等式证明 1 、利用微分中值定理； 2 、利用函数单调性； 3 、利用极值（最值）。 （六） 方程根的讨论 1 、连续函数的介值定理； 2 、 Rolle 定理； 3 、函数的单调性； 4 、极值、最值； 5 、 凹凸性。 （七） 渐近线 1 、 铅直渐近线： lim f ( x) ，则 x a 为一条铅直渐近线； x a 2 、 水平渐近线： lim f ( x) b ，则 y b 为一条水平渐近线； x f ( x) 3 、 斜 渐 近 线 ： xlim k lim f ( x) kx b 存 在 ， 则 x x . . y kx b 为一条斜 渐近线。 （八） 图形描绘 步骤 : 1. 确定函数 y f (x) 的定义域，并考察其对称性及周期性； 2. 求 f (x), f ( x) 并求出 f (x) 及 f (x) 为零和不存在的点； 3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 第四章 不定积分 （一） 概念和性质 1、 原函数：在区间 I 上，若函数 F (x) 可导，且 F ( x) f ( x) ， 则 F (x) 称为 f (x) 的一个原函数。 2、 不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数称 为 f (x) 在区间 I 上的不定积分。 3、 基本积分表（ P188，13 个公式）； 4、 性质（线性性）。 . . （二） 换元积分法 1、 第 一 类 换 元 法 （ 凑 微 分 ） ： f ( x) ( x)dx f (u)du u ( x ) 2、 第 二 类 换 元 法 （ 变 量 代 换 ） ： f ( x) dx f (t ) (t )dt t 1( x) （三） 分部积分法： udv uv vdu （四） 有理函数积分 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换等） 。 第五章 定积分 （一） 概念与性质： b n 1 、 定义： a f ( x)dx lim f ( i ) xi 0 i 1 2 、 性质：（7 条） 性质 7 （积分中值定理） 函数 f (x) 在区间 a,b 上连续，则 b a, b ， 使 f ( x) dx f ( )( b a) （ 平 均 值 ： a . . b f ( x) dx a f ( ) ） b a （二） 微积分基本公式（ NL 公式） 1 、 变上限积分：设 ( x) x f (t) dt (x) f (x) a ，则 d ( x) f ( x) ( x) f ( x) ( x) 推广： dx f (t) dt ( x) 2 、 N L 公 式 ： 若 F (x) 为 f ( x) 的 一 个 原 函 数 ， 则 b f ( x) dx F ( b) F ( a) a （三） 换元法和分部积分 b f ( x)dx f (t) (t)dt 1 、 换元法： a b uv ba b 2 、 分部积分法： udv vdu a a （四） 反常积分 1 、 无穷积分： t f ( x) dx lim f ( x) dx a t a b b f ( x) dx lim f ( x) dx t t . . 0 f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx 0 2、 瑕积分： b b f ( x ) dx lim t a t a b lim t f ( x) dx a t b a f ( x ) dx （a 为瑕点） f ( x ) dx （b 为瑕点） 两个重要的反常积分： dx , p 1 a1 p 1) a x p , p 1 p 1 (b a)1 q 1 b dx b dx , q 1 q 2) a ( x a)q a (b x)q , q 1 第六章 定积分的应用 （一） 平面图形的面积 b 1、 直角坐标： A a f 2 ( x ) f1 ( x ) dx . . 2、 极坐标： A 1 22 ( ) 12 ( ) d 2 （二） 体积 1、 旋转体体积： a)曲边梯形 y f ( x ), x a, x b, x 轴，绕 x 轴旋转而成的旋 转体的体积： Vx b f 2 ( x )dx a b) 曲边梯形 y f ( x ), x a, x b, x 轴，绕 y 轴旋转而成的旋 转体的体积： Vy b 2 xf ( x) dx （柱壳法） a . . b 2 、 平行截面面积已知的立体： V a A( x) dx （三） 弧长 1 、 直角坐标： s b 1 f ( x ) 2 dx a 2 、 参数方程： s ( t ) 2 ( t ) 2 dt 3 、 极坐标： s ( ) 2 ( ) 2 d 第七章 微分方程 （一） 概念 1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶 数。 2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。 通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程 的阶数相同。 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。 . . （二） 变量可分离的方程 g( y)dy f (x)dx ，两边积分 g( y)dy f ( x)dx （三） 齐次型方程 dy ( y) ，设 u y dx x x 或 dx ( x ) ，设 v x dy y y ，则 ，则 dy u x du dx dx ； dx v y dv dy dy （四） 一阶线性微分方程 dy P(x) y Q( x) dx 用 常 数 变 易 法 或 用 公 式 ： P( x)dx Q( x)e P( x) dx y e dx C （五） 可降阶的高阶微分方程 1、 y(n) f (x) ，两边积分 n 次； 2、 3、 y f ( x, y ) （不显含有 y ），令 y p ，则 y p ； y f ( y, y ) （不显含有 x ），令 y p ，则 y p dp dy （六） 线性微分方程解的结构 1、 y1, y2 是齐次线性方程的解，则 C1 y1 C2 y2 也是； . . 2、 y1, y2 是齐次线性方程的线性无关的特解，则 C1 y1 C2 y2 是方 程的通解； 3、 y C1 y1 C2 y2 y* 为非齐次方程的通解，其中 y1, y2 为对应 齐次方程的线性无关的解， y* 非齐次方程的特解。 （七） 常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程： y py qy 0 特征方程： r 2 pr q 0 ，特征根： r , r 1 2 特征根 通 解 实根 r1 r 2 r x r x y C1e 1 C2e 2 r1 r2 p y ( C1 C r1 x 2 2 x ) e r1,2 i y e x (C1 cos x C2 sin x ) （八） 常系数非齐次线性微分方程 y py qy f (x) 1、 f ( x) e x P ( x) m 0, 不是特征根 设特解 y * k e x Qm ( x) ，其中 k 1, 是一个单根 x 2, 是重根 2、 f ( x) e x P ( x) cos x P ( x) sin x l n . . 设特解 y* xk e x R(1) ( x) cos x R( 2) ( x) sin x ， m m 0, i 不是特征根 其中 m max l , n ， k i 是特征根 1, .