引辅助线,构造理想的数学模型

引辅助线，构造理想的数学模型辅助线是为辅助证明所添加的必不可少的线，它是联系已知与未知的纽带，是实现未知 向已知转化的桥梁。正确地添加辅助线，可使证明简单明了。辅助线的作用尤为重要，在圆中，很多问题都需要通过引辅助线，构造理想的数学模型来解决。下面举例来说明。 一、遇到直径时，一般要引直径上的圆周角，将直径这一条件转化为直角的条件。例1、 如图，AB是。的直径，CD切。O于 E, ACCDT C, BDLCD于 D,交。于 F。 连结AE、EF。(1) 求证：AE是/ BAC勺平分线。(2) 若/ABD=60,问：AB与EF是否平行?请说明理由。(南昌市)证明：(1)连结BE。.AB是。的直径,BEA=90。c CD切O。于 E, / AECW ABE 又/ EAC=90- / AEC / BAE=9b / ABE / EACW BAE即AE是/ BAC的平分线(3) AB与EF平行。v CD。于 E, ；/BEDW BAE / FEDW EBD 又 Z EBD=90- Z BED /ABE=9b/BAE/EBDW ABE / ABD=60, . . / EBD=1 / ABD=3b . . / FED力 EBD=30=2又 vZ EFD=9b / FED=60= / ABDAB/EF。二、遇到的切线时，一般要引过切点的半径，以便利用切线的性质定理或者连结过切点 的弦，以便利用弦切角定理。例2、如图，P是。外一点，PD为切线, D为切点，割线PEF经过圆心O,若PF=12, PD=473 ,求/ EFD的度数。解：连结DO。.PD为切线，PEF为割线，PE2=PE- PF。又 PD=4J3, PF=1Z EF=PF-PE=8 EO=4 v PD为切线，D 为切点，ODL PE!在 Rt PDO, OD=4 PO=PE+EO=&. / DPO=30 / DOP=60,1又 OD=O F Z DOF% DOF勺外角，EFD DOP 30。2三、遇到过圆外一点作圆的两条切线时，常常引这点到圆心的连线，以便利用切线长定 理及其推论。例3、已知，如图，PA、PB是。的切线，A、B为切点，PQLOQ于Q, OQ交AB于M。求证：OA2=OM - OQ0分析：连结OP, OP与AB交于N,由题意知，OA2=ON - OP,因止匕要证 OA2=OM - OQ,只要证ON - OP=OM - OQ,即证 OMNAOPCSPWo四、两圆相交，要添加公共弦或者连心线，特别是公共弦，它在相交两圆中起着桥梁作例4、已知，如图，O O和。O相交于A、B两点，过B点作。O的切线交。Q于D点，连接DA并延长与C .AD。0相交于C点，连接BG过点A作AE/BC与。Q相 交于E点，与BD相交于F点。(1) 求证：EF - BC=DE - AC;(2) 若 AD=3 , AC=1 , AF=用,求 EF 的长。解：(1)连结AB。-. AE/BC, ；/CABN BAE 又/ BAEW EDB / CBAW EDB DB切。01 于 b 点，./C=/ABD 又 Z ABDE,/ C=/E。.AC/ FED AC。.空 BC，即 EF BC=DE EF DE(2) VAE/BC, -DADC处即& BC 3 1 BCBC丁/ DAEW C。由(1)DAE=/ E, DA=DE=3BC=DE AC ,得EF DE ?ACBC3 1岂3 3五、遇两圆相切，一般要引两圆的公切线。 如果两圆外切，常引内公切线；如果两圆内切, 就引外公切线。公切线的引出构造了弦切角， 利用弦切角便可把两圆的圆周角联系起来。例5、已知，如图，两圆内切于点 P, 大圆的弦AB切小圆于点C, PC的延长线交大圆于点DoF求证:证明:(1) /APDW BPD(2) PA- PB=P(2+AC- CB(1)过P作两圆的公切线MN。MN与AB均为小圆的切线，且弦切角/ NPCf /BCP所夹的弧均为弧PC, ；/NPC二 / BCP vZ NPC= NPB廿 BPC / BCPW PAC廿 APC 而/ NPBW PABW PAC : / NPC/ BCP= /NPB它 BPC上 PAC上 APC . ./BPCW APC 即 / BPDW APD(2)连结 AD。在PDAffi APBC 中，由(1)可知，/ DPAW BPC 又 : / ADPW CBP PA PD 一 .PDAAPB(C. ，即 PA- PB=PD PG PC PB. PD- PC= (PC+CD- PC=P2PC- CD 又v PC- CD=AC BC, a PC- PD=P&AC. BG .PA PB=P2+AC- CB综上所述，几何证明题中，常见的辅助线在证题中是经常用到的。当然，引辅助线的规 律不止上面所列。希望同学们要通过练习注意体会和总结规律，从而不断提高分析问题和解 决问题的能力。