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高考数学精品复习资料 2019.5限时规范训练六导数的简单应用一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1设函数f(x)aln x，若f(2)3，则实数a的值为()A4B4C2D2解析：选B.f(x)，故f(2)3，因此a4.2曲线yex在点A处的切线与直线xy30平行，则点A的坐标为()A(1，e1)B(0,1)C(1，e)D(0,2)解析：选B.设A(x0，e)，yex，y|e.由导数的几何意义可知切线的斜率ke.由切线与直线xy30平行可得切线的斜率k1.e1，x00，A(0,1)故选B.3若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为 ()A.B.C.D.解析：选D.若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有两根，故(4c)2120，从而c或c.4已知f(x)aln xx2(a0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有2恒成立，则实数a的取值范围是()A1，)B(1，)C(0,1)D(0,1解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f(x)x2.可得x时，f(x)有最小值2.a1.5若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()AfBfCfDf解析：选C.构造函数g(x)f(x)kx1，则g(x)f(x)k0，g(x)在R上为增函数k1，0，则gg(0)而g(0)f(0)10，gf10，即f1，所以选项C错误，故选C.6由曲线yx2，y围成的封闭图形的面积为()A. B.C.D1解析：选B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为(x2)dx.所以选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7(20xx·高考全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析：直线ykxb与曲线yln x2，yln(x1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yln x2得y，由yln(x1)得y，k，x1，x21，y1ln k2，y2ln k.即A，B，A、B在直线ykxb上，解得答案：1ln 28已知函数f(x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，则实数t的取值范围是_解析：由题意得，f(x)的定义域为(0，)，t0，f(x)x30在(t，t1)上有解，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)答案：(0,1)9若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则实数b的最大值是_解析：函数的定义域是x20，即x2，而f(x)x.因为x20，函数f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，即x22xb0在x(1，)上恒成立，得bx22x在x(1，)上恒成立，令g(x)x22x(x1)21，x(1，)，g(x)g(1)1，所以b1.所以b的最大值为1.答案：1三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10已知f(x)2x3.(1)求证：当x0时，f(x)取得极小值；(2)是否存在满足nm0的实数m，n，当xm，n时，f(x)的值域为m，n？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由已知得f(x)的定义域为.当x时，f(x)2.设F(x)8x28x2ln(2x1)，则f(x).当x时，y8x28x822是单调递增函数，y2ln(2x1)也是单调递增函数当x时，F(x)8x28x2ln(2x1)单调递增当x0时，F(x)F(0)0，当x0时，F(x)F(0)0.当x0时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0时，f(x)0，f(x)单调递增当x0时，f(x)取得极小值(2)由(1)知f(x)在0，)上是单调递增函数，若存在满足nm0的实数m，n，当xm，n时，f(x)的值域为m，n，则f(m)m，f(n)n，即f(x)x在0，)上有两个不等的实根m，n.2x27x3ln(2x1)0在0，)上有两个不等的实根m，n.设H(x)2x27x3ln(2x1)，则H(x).当x0时，2x10,8x218x50，H(x)0.H(x)在0，)上是单调递增函数，即当x0时，H(x)H(0)3.2x27x3ln(2x1)0在0，)上没有实数根不存在满足条件的实数m，n.11(20xx·河南郑州质量检测)设函数f(x)x2mln x，g(x)x2(m1)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当m0时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间当m0时，f(x)，当0x时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增综上，当m0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间；当m0时，函数f(x)的单调递增区间是(，)，单调递减区间是(0，)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x，x0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，当m0时，F(x)x2x，x0，有唯一零点；当m0时，F(x)，当m1时，F(x)0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)0，F(4)ln 40，所以F(x)有唯一零点当m1时，0x1或xm时，F(x)0；1xm时，F(x)0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)m0，F(2m2)mln(2m2)0，所以F(x)有唯一零点当0m1时，0xm或x1时，F(x)0；mx1时，F(x)0，所以函数F(x)在(0，m)和(1，)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m0，所以F(m)(m22ln m)0，而F(2m2)mln(2m2)0，所以F(x)有唯一零点综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象有一个交点12(20xx·河南洛阳模拟)已知函数f(x)ln x，曲线yf(x)在点处的切线平行于直线y10x1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设直线l为函数g(x)ln x的图象上任意一点A(x0，y0)处的切线，在区间(1，)上是否存在x0，使得直线l与曲线h(x)ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？解：(1)函数f(x)ln x，f(x)，曲线yf(x)在点处的切线平行于直线y10x1，f28a10，a1，f(x).x0且x1，f(x)0，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，)(2)存在且唯一，证明如下：g(x)ln x，切线l的方程为yln x0(xx0)，即yxln x01，设直线l与曲线h(x)ex相切于点(x1，ex1)，h(x)ex，ex1，x1ln x0，直线l的方程也可以写成y(xln x0)，即yx，由得ln x01，ln x0.证明：在区间(1，)上x0存在且唯一由(1)可知，f(x)ln x在区间(1，)上单调递增，又f(e)0，f(e2)0，结合零点存在性定理，说明方程f(x)0必在区间(e，e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0.
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