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- 1 - / 7课时作业一、选择题1设动点P在直线x10 上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是()A椭圆B两条平行直线C抛物线D双曲线B设Q(x，y)，P(1，a)，aR R，则有OP ,OQ ,0，且|OP ,|OQ ,|，x2y21a2，xay0，消去a，得x2y21x2y2x2y2y2.x2y20，y1.即动点Q的轨迹为两条平行直线y1.2已知点M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()Ax2y281(x1)Bx2y281(x1)Cx2y281(x0)Dx2y2101(x1)A设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|，从而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|422|MN|，所以P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支a1，c3，则b28.- 2 - / 7故方程为x2y281(x1)3已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2y21 上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆B设N(a，b)，M(x，y)，则ax22，by2，代入圆O的方程得点M的轨迹方程是(x2)2y222，此时|PF1|PF2|PF1|(|PF1|2)2，即|PF1|PF2|2，故所求的轨迹是双曲线4若点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y40 的距离小 2，则点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28xBy28xCx28yDx28yC点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y40 的距离小 2，说明点P(x，y)到点F(0，2)和到直线y20 的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x22py，其中p4，故所求的轨迹方程为x28y.5已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay2x2481(y1)By2x2481(y1)Cx2y2481(x1)Dx2y2481(x1)A由题意知|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2 的双曲线的下支又c7，a1，b248，点F的轨迹方程为y2x2481(y1)- 3 - / 76设过点P(x，y)的直线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若，则点P的轨迹方程是()A.32x23y21(x0，y0)B.32x23y21(x0，y0)C3x232y21(x0，y0)D3x232y21(x0，y0)A设A(a，0)，B(0，b)(a，b0)可得BP ,(x，yb)，PA ,(ax，y)，OQ ,(x，y)，AB ,(a，b)由BP ,2PA ,得x2a2x，yb2y，即a32x，b3y.由OQ,AB,1 得axby1.所以32x23y21(x0，y0)二、填空题7点P是圆C：(x2)2y24 上的动点，定点F(2，0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是_解析依题意有|QP|QF|，则|QC|QF|CP|2，又|CF|42，故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线，a1，c2，得b23，所求轨迹方程为x2y231.答案x2y2318直线xay2a1 与x，y轴交点的中点的轨迹方程_解析设直线xay2a1 与x，y轴交点为A(a，0)，B(0，2a)，A，B中- 4 - / 7点为M(x，y)，则xa2，y1a2，消去a，得xy1，a0，a2，x0，x1.答案xy1(x0，x1)9由抛物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，则点R的轨迹方程为_解析设P(x1，y1)，R(x，y)，则Q12，y1，F12，0，则直线OP的方程为yy1x1x，直线FQ的方程为yy1x12 ，由得x12x12x，y12y12x，将其代入y22x，可得y22x2x.即点R的轨迹方程为y22x2x.答案y22x2x三、解答题10已知定点F(0，1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点， 交直线l1于点R， 求,的最小值解析(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x24y.(2)由题意知，直线l2方程可设为ykx1(k0)，- 5 - / 7与抛物线方程联立消去y，得x24kx40.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.又易得点R的坐标为2k，1，,x12k，y11x22k，y21x12kx22k(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k2k(x1x2)4k244(1k2)4k2k2k4k244k21k28.k21k22，当且仅当k21 时取等号，42816，即RP,RQ ,的最小值为 16.11 已知椭圆的中心是坐标原点O， 焦点F1，F2在y轴上， 它的一个顶点为A( 2，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的14，过点M(2，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|NQ|PN|MQ|，求动点N的轨迹方程解析(1)设椭圆的标准方程是y2a2x2b21(ab0)由于椭圆的一个顶点是A( 2，0)，故b22.根据题意得AF1O6，sin AF1Oba，即a2b，a28，所以椭圆的标准方程是y28x221.- 6 - / 7(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)直线l的方程与椭圆方程联立消去y得(k24)x24k2x4k280.由16k44(k24)(4k28)0，得2k2.根据根与系数的关系得x1x24k24k2，x1x24k284k2.又|PM|NQ|PN|MQ|，即(2x1)(x2x)(xx1)(2x2)解得x1，代入直线l的方程得yk，y(2，2)所以动点N的轨迹方程为x1，y(2，2)12(2012辽宁高考)如图，动圆C1：x2y2t2，1t3，与椭圆C2：x29y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程解析(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S4|x0|y0|.由x209y201 得y201x209，从而x20y20 x201x209 19x2092294.当x2092，y2012时，Smax6.从而t 5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3，0)，A2(3，0)知直线AA1的方程为yy0 x03(x3)- 7 - / 7直线A2B的方程为yy0 x03(x3)由得y2y20 x209(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y201x209.将代入得x29y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为x29y21(x3，y0)
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