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第7讲解应用题知识网络解应用题的常用思维方法有：1 .假设法在有些应用题中，要求两个或两个以上的未知数， 思考时可以先假设要求的两个或几个 未知数相等，或者先假设要求的两个未知量是同一种量， 然后按照题里的已知条件进行推算， 并对照已知条件把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案，这就是假设法。2.消去法有些应用题里，给出了两个或两个以上未知量间的关系， 要求这些未知量，思考时可以 通过比较条件，分析对应的未知量的变化情况， 设法消去其中的一个未知量， 从而把一道数 量关系复杂的题目变成较简单的题目来解，这样的方法叫做消去法。重点难点用假设法解题时要找准与假设的内容相对应的数量关系，善于把假定的内容和数据加以调整，从而得到正确的答案。学法指导画线段图有助于对题目的理解，但对有的问题，仅有线段图的表达还是不够的。这时， 把线段图的方法扩展为矩形图的方法，使画图解应用题更直观。经典例题例1鱼尾重4千克，鱼头的重量是鱼尾加躯干之和的一半，躯干的重量等于鱼头加 鱼尾。问：鱼头、躯干各重多少千克？思路剖析 如图1所示根据“鱼头的重是鱼尾加躯干的一半”，画图 la。注意，题目条件实际说明了鱼头占鱼总重的三分之一，应该把二等分的特点表现出来。根据“躯干的重量等于鱼头加鱼尾”，画图1b。注意，这个条件的含义表明，躯干占鱼总重的一半，有二等分的含义。比较图la与图1b,就能看出鱼尾重量的所在，标出如图1b所示。而且，同时得出：鱼头是鱼尾的2倍，即8千克；躯干是鱼尾的3倍，即12千克。这其中是否有一点看图说话的味道？解答解法一：鱼头是鱼尾的 2倍，即4 X 2= 8 （千克）； 躯干是鱼尾的3倍，即4X 3 = 12 （千克）。答：鱼头8千克，躯干12千克。解法二：由“鱼头的重量是鱼尾加躯干的一半”，把整条鱼的重量作为单位1,那么丄丄鱼头就是二，由“躯干的重量等于鱼头加鱼尾”，鱼头加鱼尾就是二，比较这两个分数，1 1 1_ _ = 可以知道鱼尾是-二-4 +1 = 24即鱼总重量的 门是4千克，总重量为 二（千克）鱼的总重量为24千克，其余部分就容易算出来了。解法三：“鱼头的重量是鱼尾加躯干的一半，躯干的重量等于鱼头加鱼尾”实际上包 含着两个等式，明确地列出来，就是=1冥（4十身区干）鱼头 二躯干=鱼头+4把这两个等式合并（即消未知数），有丄躯干=-X（ 4+躯干）+ 4这就是一元一次方程了，解这个方程1 ” 1=_ x 4 x躯干-躯干+42躯干=2+二X躯干+4丄躯干=二x躯干+6丄躯干亠x躯干=62二x躯干=6躯干=6 x 2躯干=12 （千克）其余部分请自己算出补齐。例2 列快车从甲地到乙地需 6小时，一列慢车从乙地到甲地需8小时。两车同时从两地相向开出2小时后，两车还相距 180千米。甲乙两地距离是多少千米？思路剖析本题画矩形图的要点在于：如何在图形中表示出相向而行的特点，以及时间、相距距离。如图2所示，两个阴影部分是两辆车 2小时各自走的距离，注意左侧时间数分成 3部分 的各自对应含义。那么，180千米应该对应哪一部分的面积？ 应该是总面积减去两个阴影面积。但两个阴影部分分别在两个大矩形中，为观察方便，在中央加一条辅助线， 把4小时平分为两个2小时（想一想这样加有什么好处）。这样，180千米的对应部分就有两种不同情况，如图3、图4的阴影所示。注意： 这两种阴影对应的面积应该相等， 两个箭头所指的矩形面积相等， 它们的宽分别 为 2、 4，相应的长也应该有2 倍关系，用虚线把箭头所指矩形等分，看起来更方便，把分割后得到的小矩形作为单位，阴影面积将是 5 个单位，这样两辆车的速度求法是：（180- 2）十5X 4=72 （千米/小时，快车）（180- 2）- 5X 3=54 （千米/小时，慢车）相应的距离求法为：72 X 6= 432 （千米）54 X 8= 432 （千米）当然， 观察图 4 中单位小矩形与表示总距离的大矩形的关系， 可以知道所求面积是单位 小矩形的3X 4=12（倍）而每个单位小矩形的面积是180- 5=36所求距离为36X 12=432（千米）解答两辆车的速度求法是：（ 180- 2）- 5X 4=72 （千米/小时，快车）（ 180- 2）- 5X 3=54 （千米/小时，慢车）相应的距离求法为：72X 6=432 （千米）54X 8=432 （千米）答：甲乙两地的距离是 432 千米。例 3文化宫电影院有座位 2000 个，前排票每张 4 元，后排票每张 2 5 元，已知前 排票比后排票的总价少 1100 元，问该电影院有前排座和后排座各多少？思路剖析假设这 2000 张票都作为后排票而没有前排票，那么前排票的总价是 0，而后排票的总 价是 25X 2000=5000 （元） ，但事实上只少 1100 元，相差的 50001100= 3900（元）， 可以拿去 1 张后排票换上 1 张前排票，这样每换一次，后排票少 2.5 元，前排票多 4 元。换 一次的差额是 4+25=65（元）， 3900 元中含有 600 个 65 元，即需 600 次，所以有 600 张前排票，亦即有 600 个前座。解答（2.5X 2000-1100）-（ 4+2.5）=3900- 6.5=600（张）前排票（即前座数）2000600= 1400（张）后排票（即后座数）答：前座有 600 个座位，后座有 1400 个座位。例 4 6 千克荔枝和 8 千克桂圆，共计 312 元，已知 5 千克荔枝的价钱等于 2 千克桂 圆的价钱，求两种物品的单价各是多少？思路剖析根据题意，2千克桂圆可以换成 5千克荔枝，那么8千克桂圆可以换成 5X (8 2) 千克荔枝，而总价不变。解答解法一：312十6+5 X( 8- 2) =12 (元)I千克荔枝的钱12X 5- 2=30 (元)I千克桂圆的钱解法二：312十6+8 X( 5十2) =12(元)1千克荔枝的钱12X 5- 2= 30 (元)1千克桂圆的钱 答：每千克桂圆 30 元，每千克荔枝 12 元。 如果先求出桂圆的单价，还有两种解法，请试一试。例 5有篮球、足球、排球三种球。篮球 3 个、足球 2 个、排球 1 个，共值 196 元； 篮球 1 个、足球 3 个、排球 2 个共值 200 元；篮球 2 个、足球 1 个、排球 3 个共值 168 元。 每种球的单价各是多少？思路剖析这道题里有三个未知量，可用下面式子把题意表示出来：3个篮球+2个足球+1个排球=196元(I)I 个篮球 +3 个足球 +2 个排球 =200 元( 2)2个篮球 +I 个足球 +3个排球 =168元( 3)三个未知量中可以先设法消去一个未知量 (此题中可以先消去篮球或足球或排球) ，得 到两个未知量之间的关系，从而得到解答。(2)式X 3- (1)式得：7 个足球 +5 个排球 =404 元( 4)(2)式X 2( 3)式得：5 个足球 +1 个排球 =232 元( 5)消去篮球后，原题可由( 4)式和( 5)式组成，即有“ 7 个足球、 5 个排球值 404 元， 5 个足球、 1 个排球值 232 元”两组条件。这时我们可以参照前面学过的方法，分别求出足球 和排球的单价。解答200X 3-196=404 元) 7 个足球和 5 个排球的价钱200X 2-168=232 (元) 5 个足球和 1 个排球的价钱(232X 5-404)-( 5X 5-7) =42 (元)足球单价232-42X 5=22(元)排球单价(196-42 X 2-22)- 3=30 (元)篮球单价答：一个篮球 30 元，一个足球 42 元，一个排球 22 元。例6松林小学举行礼貌常识比赛，共有20道题，每题10分，答对一道题得10分，答错一道题要扣10分，张明的成绩是100分，问他答错了几道题？答对了几道题？思路剖析张明答的20道题不是对就是错，而且这两个未知数有着下面的数量关系：错的题数+对的题数=20道，符合“鸡兔同笼”问题的特点，因此，本题采用假设法来解，此类题的解 答一般习惯上先假设张明做的20道题都对了。如果20道题都对了，那么张明应该是10 X 20=200 （分），但是张明实际上只得了100分，多出的200-100=100 （分）是怎么回事呢？那是由于张明每做错一道题应该扣去10分，而我们假设这道题是对的，不但没有扣去10分，反而加上了 10分，也就是说每道由错假设成对的题就要多得 10+10=20 （分），再联系一共多得 100分这个条件，就可以求出张明一 共有100十20= 5 （道）题由错假设成对的题，也就是错了5道题，再求对的题数就很容易了。解答解法一：错的题数：（10X 20-100）-（ 10+ 10）=（200-100）- 20=100- 20= 5 （道） 对的题数：20-5=15检验：对题得分：10X 15=150 （分）错题扣分：10 X 5=50 （分）实际得分：150-50=100 （分）实际得分与原题相符，说明答案正确。答：张明答错5道题，答对15道题。解法二：假设张明的 20道题都做错了，那么根据题意张明不但得不到分，还要再扣 去10X 20=200 （分），也就是张明卷面上不但1分也没有，还欠下 200分，与实际得分相比要少200+100=300 （分），这是为什么呢？那是因为张明每做对一道题应该得10分，而我们假设这道题错了，不但要少得这10分，还要再扣去10分，也就是每道由对假设成错的题，就要少得10+10 = 20 （分），再联系前面少得的300分，就可以求出张明做对300- 20=15 （道）题。点津此类题的计分方法经常出现在一些竞赛中，而学校里的一些考试则采用对的题得分，错的题不得分的方法， 这一点在计算时要特殊注意。上面写的检验过程， 仅仅给大家提供一种检验答案正确与否的方法，并不一定要写出来。发散思维训练1 .赵会计去银行取 2000元补助费，他只想要 2元、5元、10元的人民币，并想使 2 元、5元的人民币张数相等，且总张数为213张，那么2元、5元、10元的人民币各有多少张？2. 李涛用350元买了一件大衣、一条裤子和一双皮鞋。李涛过后只记得大衣比裤子贵170元，大衣比裤子和鞋子的总和还贵90元。你能帮李涛算出每件东西的价钱吗？3. 甲、乙两个车间共有94个工人，每天共生产1998把竹椅。由于设备和技术的不同， 甲车间平均每个工人每天只能生产15把竹椅，而乙车间平均每个工人每天可以生产43把竹椅。甲车间每天竹椅的产量比乙车间多多少把。4. 蜘蛛有8只脚，蜻蜒有6只脚和两对翅膀，蝉有 6只脚和一对翅膀，现在有这三种 小虫18只，共有脚118只，翅膀20对，问每种小虫各有几只？诱區定叵亚亘肖亘 貰泉！匸匕二参考答案发散思维训练1.解：本题有3个未知数，由于2元、5元的张数相等，实际上有两个未知数，如果假设这个 213张都是2元的，那么减少的2000-2X 213=1574（元）钱里面既有5元变成2元减少的， 也有10元变成2元减少的，同时又没有其他已知条件，这样是无法解答的，如果假设这213张人民币都是5元的，同上面的分析一样，这道题也无法解答。如果假设这213张人民币都是10元的，那么多出的 10X 213-2000=130 （元）钱里面 既有2元变成10元而增加的，也有5元钱变成10元而增加的，由于2元的张数与5元的同 样多，所以我们把1张2元和1张5元的合在一起看成1份，这1份有2+5=7 （元），假设 变成10元后，这1份是10X 2=20 （元），每份增加了 20- 7=13 （元），一共增加130元， 就可以求出有 130十13=10 （张），也就是求出了 2元、5元各有10张，用213- 10X 2=193 （张），这就是10元的张数。2 元、5 元的张数：（10 X 213-2000）-（ 10 X 2 2 -5）=（21302000）-（ 20- 7）=130 - 13=10 （张）10 元的张数：213 10X 2=193 （张）检验：2元的钱数：2X 10=20 （元）5元的钱数：5X 10=50 （元）10元的钱数：10X 193 （元）总钱数：20+50+1930=2000 （元）总钱数与原题相符，说明答案正确。答：2元、5元各有10张，10元的有193张。2解：排列各已知条件： 一件大衣+ 一条裤子+双皮鞋=350元 一件大衣一一条裤子 =170元 一件大衣一（一条裤子 + 一双皮鞋）=90元比较和可以看出，在一件大衣的价钱中减去一条裤子的价钱，还剩170元，如果再减去一双皮鞋子价钱，就只剩90元，可见一双皮鞋为170 90=80 （元）。于是条件可变为 一件大衣+ 一条裤子=350 80=270 （元）再联系条件可知问题变为已知两数的和与差，求两数，这不难解决。170 90=80 （元）皮鞋（350 80+170）+ 2=220 元）大衣220 170=50 （元）裤子答：一件大衣 220元，一条裤子50元，一双皮鞋 80元。3解:根据题意画长方形图如答图1。AB表示甲车间工人数，AH表示乙车间工人数，长方形 ABCD的面积表示甲车间每天生产竹椅的把数，长方形 AEFH的面积表示乙车间每天生产竹椅的把数。长方形 ABCD与 AEFH的面积和表示1998把竹椅。由于长方形 BCGH的面积是15X 94，所以长方形 DEFG 的面积是1998 15X 94,而长方形 DEFG的一边DE的长为（43 15），另一边EF的长为（1998 15X 94） + （ 43 15），它就是乙车间的工人数。甲车间的工人数=94 一乙车间的工人数。这样长方形 ABCD和AEFH面积都可以求得，它们的差就是甲车间每天竹椅的产 量比乙车间多的数。（1998 一 15X 94） + （ 43 一 15） = （ 1998 1410）+ 28=21 （人）乙车间工人数94 21=73 （人）甲车间工人数15 X 73-43 X 21=1095 903=192 （把）192 把。答：甲车间每天竹椅的产量比乙车间多4.解:此题中的数量关系比较复杂， 但是只要我们细心观察， 认真分析， 就会发现蜻蜒和蝉的 脚数相等，因此，假定这 18只小虫全部是蜻蜒和蝉，那么共有脚6X 18=108 （只），比实际少118 108=10 （只）脚，是因为每只蜘蛛比它们多8-6=2 （只）脚，蜘蛛则有 10+ 2=5（只），蜻蜒和蝉共有 185=13（只），然后我们根据 13 只蜻蜒和蝉共有 20 对翅膀，每 只蜻蜒有两对翅膀，每只蝉有一对翅膀这些条件，再分别求出蜻蜒和蝉各有的只数。（118 6X 18） + （ 8 6）=10+ 2=5 （只）蜘蛛只数185=13（只）蜻蜒和蝉的只数（20 1 X 13） + （ 2 I）=7+ 1=7（只）蜻蜒只数137=6（只）蝉的只数答：蜘蛛 5 只，蜻蜒 7 只，蝉 6 只。
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