有限自由度稳定问题计算课件

有限自由度稳定问题计算重 点：稳定自由度数目 静力法、能量法 等效为单个压杆难 点：等效为单个压杆 稳定方程的建立一、自由度的确定一、自由度的确定 决定一个体系变形形式的决定一个体系变形形式的独立位移参数独立位移参数（或称坐标）（或称坐标）的数目称为体系的自由度。稳定问题中的体系变形形式是的数目称为体系的自由度。稳定问题中的体系变形形式是指：临界状态的一个新的平衡形式（失稳时的形式），它指：临界状态的一个新的平衡形式（失稳时的形式），它满足边界条件。满足边界条件。 2. 基本假定：基本假定：1. 自由度的概念自由度的概念1 1）受弯曲杆件不计轴向变形）受弯曲杆件不计轴向变形2 2）受弯曲杆件发生侧移的方向垂直于杆轴）受弯曲杆件发生侧移的方向垂直于杆轴例题例题2 确定图示结构的自由度。确定图示结构的自由度。ABC EA EI EA EI1= EA1= P例题例题1 确定图示结构的自由度。确定图示结构的自由度。 EI1= EI EI EI P ABABAB杆受压，它的失稳只杆受压，它的失稳只能是能是ABAB杆的转角（或杆的转角（或B B点的水平位移）发生。点的水平位移）发生。故为故为 1 1 个自由度。个自由度。 ABAB、BCBC两杆受压，失稳两杆受压，失稳时时ABAB、BCBC各自有独立的各自有独立的转角（或转角（或A A点，点，C C点的独点的独立竖向位移）故为立竖向位移）故为2 2 个个自由度自由度 P EI1= ABCDAB、BC、CD三杆受压，它们各自有独立的转角，故为三杆受压，它们各自有独立的转角，故为3 个自由度个自由度 例题例题3 确定图示结构的自由度。确定图示结构的自由度。 P EI1= ABCD例题例题4 确定图示结构的自由度确定图示结构的自由度 EI1= P例题例题5 确定图示结构的自由度确定图示结构的自由度 EIEI1= EI1= EA EA pEIEI1= EI1= EA= pEA= 二、稳定计算的方法二、稳定计算的方法-临界力临界力Plj与失稳模态的画法与失稳模态的画法 1静力法静力法 分析分析n n个自由度体系时，可对新的变形状态建立个自由度体系时，可对新的变形状态建立n n个平个平衡方程，是关于衡方程，是关于n n个独力位移参数的齐次方程。当有个独力位移参数的齐次方程。当有非零解时（产生失稳时，即非零解时（产生失稳时，即n n个新位移不全为零），个新位移不全为零），其系数行列式称为稳定方程，它有其系数行列式称为稳定方程，它有n n个实根；即个实根；即n n个特个特征值，其中最小者即为临界荷，其对应的特征向量即征值，其中最小者即为临界荷，其对应的特征向量即为失稳模态。为失稳模态。 2能量法能量法 先设定一个可能的失稳变形模态，用先设定一个可能的失稳变形模态，用n个位移参数个位移参数！，2，n表达出应变势能表达出应变势能U和荷载势能和荷载势能V的变化。的变化。 221KUdxxyEI2)(21 xPV设，设，= U+V ，按势能驻值原理，按势能驻值原理 02211 nn由由 ， ， 的任意性，必有：的任意性，必有： 12n, 00021n此为齐次方程组，有非零解的条件是其系数行列式此为齐次方程组，有非零解的条件是其系数行列式 0D同样，同样， 称为稳定方程，它有称为稳定方程，它有n n个实根；即个实根；即n n个特征值，个特征值，其中最小者即为临界荷载，第其中最小者即为临界荷载，第i i个特征值对应的特征向量即为个特征值对应的特征向量即为位移模态。位移模态。 0D例例1求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。 L2LPPEI= EI= KN KN ABC解：解：1）两个自由度体系，以）两个自由度体系，以B、C两点的竖向位移为参数两点的竖向位移为参数 画出失稳模态画出失稳模态 PP y2 y1 KN y2 KN y1 静力法静力法 2）取）取BC为研究对象，建立平衡方程为研究对象，建立平衡方程 PKNy2y1-y2BCMB=0， 2LKN y2+P（y1-y2）=0 PP y2 y1 KN y2 KN y1 P即，即，P y1+（2L KN- P）y2=0 -（1） 取整体为研究对象取整体为研究对象,建立平衡方程建立平衡方程, Y=0，得：，得： VA= KN y1 +KN y2（ ） ，HA=2P（ ） PP y2 y1 KN y2 KN y1 PVAHA取取AB为研究对象为研究对象, MB=0，VAL - HA y1= 0 VAHAy1（KNL - 2P）y1 + KNL y2 = 0 -（2） 3）发生失稳时，）发生失稳时，y1 ，y2 不全为零，所以（不全为零，所以（1）、（）、（2）两式的系数行列式为零）两式的系数行列式为零02022121yLKyPLKyPLKPyNNN-(1)-(2)022NNNLKPLKPLKP-稳定方程03222LKLPKPNNLKPNlj253minLKPNlj253max注意注意: 较大者情况出现必须人为安排，否则不会发生较大者情况出现必须人为安排，否则不会发生 4）失稳模态）失稳模态 02022121yLKyPLKyPLKPyNNN-(1)-(2)LKPNlj253min把把代入代入(1)式得式得: 1253y02512y令令,0 . 11y则则236. 02y由此画出失稳模态由此画出失稳模态 1.00.236 能量法能量法 PP y2 y1 KN y2 KN y1 P弹簧的变形势能弹簧的变形势能 22212121yKyKUNN力功势能变化力功势能变化 ABBCABABBCPPPPV2ABAB By1BBy1CCy2以下求解以下求解BC和和AB ABAB By1BBy1CCy2(a)图(b)图由图（由图（a）的几何关系）的几何关系 212yLLAB2122111LyL 441221812111LyLyLLy221LyyBC22221同理，由图（同理，由图（b）可得）可得 VU22212121yKyKNNLyyP4221LPy21按势能驻值原理按势能驻值原理 0021yy0225022121yPyPLKyPLKPyNN系数行列式系数行列式D=0 ，得稳定方程，得稳定方程 03222LKLPKPNN此方程与静力法得到的一致此方程与静力法得到的一致 例例2求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。 EI1= EI1= LLEIEIEA= EA= P/2PABCDEF解：解：1）两个自由度，）两个自由度，B、C两处的水平位移两处的水平位移 与与 ByCy2）由于）由于CF、BE杆的杆的EA=，所以，所以E、F两处的水平位移也是两处的水平位移也是 与与 ByCy由于由于DEF杆的作用就是限制杆的作用就是限制B、C两点的侧移，因此，原题可两点的侧移，因此，原题可等价为图（等价为图（b）所示结构的失稳。）所示结构的失稳。 EI1= EI1= LLEIEIEA= EA= P/2PABCDEF图（b） yC yB P/2 PRCRBKCKB3）当）当yB，yC发生时各自产生的约束力发生时各自产生的约束力RB与与RC 基本问题 DEFyB=1 K21K111yC=1 K12K2236EI/7L2 30EI/7L2 K21K11yB=1 时的M图 12EI/7L2 K22K12 6EI/7L2 yC=1 时的M图 12EI/7L2 K22K12 6EI/7L2 yC=1 时的时的M图图36EI/7L2 30EI/7L2 K21K11yB=1 时的时的M图图DEFK12 , K11VEFVED求求 系系 数数 用用 的的 隔隔 离离 体体 K21 , K22VEF求求 系系 数数 用用 的的 隔隔 离离 体体 311796LEIK322712LEIK32112730LEIKK图（b） yC yB P/2 PRCRBKCKBCBCCBByKyKRyKyKR22211211剩下的问题如图（剩下的问题如图（b）所）所示，其解答过程同例题示，其解答过程同例题1 EA不是无穷大，怎么计算？不是无穷大，怎么计算？基本问题 DEFDEFCR tyBP=1DEFP=1BR tyCEILEALLLLEIEAL332211311EILLLLEI65265211321EILEALLLLEIEAL3823222211322 CBCCBBRRtyRRty22211211反求得：反求得：RB，RC例例3求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。求稳定方程，确定临界荷载，画出失稳模态。 解：解：1)一个自由度，一个自由度，B点的水平位移点的水平位移y（或（或AB杆的弦转角）杆的弦转角） PL1L2HEI1= EI ABCD2）求临界荷载）求临界荷载 PL1L2HABCD失稳模态失稳模态AB杆上端无水平约束，失稳时，杆上端无水平约束，失稳时，BC，BD杆的作用对杆的作用对AB杆起到力偶的作用杆起到力偶的作用PL1L2HABCD侧移时的弯矩图侧移时的弯矩图21113LLHEIPlj图（a）-1 KM PPL1L2HABCD侧移时的弯矩图侧移时的弯矩图2133LEILEIKM图（a）-2 KM P图（b） PKN图图b的约束力矩的约束力矩再等效为力偶作用再等效为力偶作用212331LEILEIHKNHHKPHKNM212331LEILEIHKNKM与与KN的等效转换的等效转换图（a）-2 KM P图（b） PKN例例4把下列结构等效为单个压杆的稳定问题。把下列结构等效为单个压杆的稳定问题。 LLHPEA= EI1= EIEIABCDE解：解：1. 1个自由度，个自由度，BE杆的杆的B端侧移端侧移2. B点的侧移受到点的侧移受到2个因素的约束个因素的约束1）AD杆的水平约束（杆的水平约束（AD杆侧移后杆侧移后A端剪力）端剪力）2）BE杆的杆的B 端剪力（端剪力（B点侧移造成的）点侧移造成的）,或或 B端的弯矩约束端的弯矩约束LLHPEA= EIABCDEPACDEBE杆侧移时的弯矩图杆侧移时的弯矩图LHEIHHEIHKN333HKN2333LHEIHEIKNKNP等效图等效图1LLHPEA= EIABCDEPACDEBE杆侧移时的弯矩图杆侧移时的弯矩图LEIKM3313HEIKNPKN1KM等效图等效图2PKN1KM等效图等效图3KNPPKN1KMPKN1KM或PKN1KMHKN 1PMKHKHKPMNlj1EA不是无穷大，怎么计算？不是无穷大，怎么计算？LLHPEA= EI1= EIEIABCDEPKNKMEA ADP=1EIHEA3131NKLEIKM3例例5把下列结构等效为单个压杆的稳定问题。把下列结构等效为单个压杆的稳定问题。 PKN解：解：1） 1个自由度，个自由度，B点的侧移点的侧移2）BCD对对AB的作用是限制侧移的作用是限制侧移PLLEI1= EIEIABCD3） 确定侧移刚度确定侧移刚度 KN用位移法计算用位移法计算B点的侧移刚度。点的侧移刚度。 1Rr6i/L6i/L4i3i2i位移法方程：位移法方程：7i-6i/L=0 L7630i/7L 18i/7L KNM图图VCDKN3748LEIKN临界荷载的确定临界荷载的确定PKN AMA=0 LLKLPNlj2748LEILKPNlj例例6把下列结构等效为单个压杆的稳定问题把下列结构等效为单个压杆的稳定问题 LLLPEA EIEI1= EICDE解：解： 1个自由度，个自由度，B点侧移时：点侧移时：AE杆对杆对A点有转动约束；点有转动约束； BCD部分起水平力约束作用部分起水平力约束作用KMKNP等效为单个压杆问题如图等效为单个压杆问题如图求刚度系数求刚度系数KM，KN1. EA=时 LLLPEA EIEI1= EICDEKMKNP33LEIKNLEIKM32. EA为有限时为有限时 LLLPEA EIEI1= EICDEKMKNPP=1BCD用柔度法，求用柔度法，求P=1作用作用B点产生的位移点产生的位移 EILEAL331NK稳定方程，临界荷载稳定方程，临界荷载KMKNP MA=0 A0MNljKLLKLPLKLKPMNlj