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河北省石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题(时间120分钟,满分150分)注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.1.复数z=1-i,则对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合,则所含的元素个数为 A. O B. 1 C. 2 D. 33.设随机变量服从正态分布.若P(2)=0.8,则p(0bcB, acb C. cba D. bac第II卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(2,3)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线方程为_.14.如图,正方形ABCD中,EF/AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD=1:1:,则AF与CE所成的角的余弦值为_.15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_.(用数字作答)16.在ABC中,=600,O为ABC的外心,P为劣弧AC上一动点,且 (x,yR),则x+y的取值范围为_三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知 道它们的高度,且不能到达对岸),某人想测量两 座建筑物尖顶A、C之间的距离,但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF,用 卷尺测得EF的长度为a,并用测角仪测量了一些角度:,,,请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果.18.(本小题满分12分)为了调査某大学学生在某天上网的时间,随机对lOO名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果:表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人,其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率;(II)完成下面的2X2列联表,并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?表3:附:19.(本小题满分i2分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD, ,,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O点.(I)求证:平面PBD丄平面PAC(II)当点A在平面PBD内的射影G恰好是PBD的重心时,求二面角B-PD-G的余弦值.20.(本小题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.(I)若ABF2为正三角形,求椭圆的离心率;(II)若椭圆的离心率满足,0为坐标原点,求证:OA2+OB2AB221 (本小题满分12分)设函数f(x )=x2+aln(x+1)(I)若函数y=f(x)在区间1,+)上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(II)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2且x13;(II)不等式在区间(-,+)上恒成立,求实数a的取值范围 2013年高中毕业班第一次模拟考试 数学理科答案一、选择题A卷答案1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 ADB卷答案1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD二、填空题13 . 或 14 . 15 . 24 16 . 三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)17.解:第一步:在中,利用正弦定理,解得;4分第二步:在中,同理可得;8分第三步:在中,利用余弦定理,12分 (代入角的测量值即可,不要求整理,但如果学生没有代入,扣2分)18解:()由男生上网时间频数分布表可知100名男生中,上网时间少于60分钟的有60人,不少于60分钟的有40人,2分故从其中任选3人,恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为4分6分()上网时间少于60分上网时间不少于60分合计男生6040100女生7030100合计130702008分,10分没有90的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.12分19. 解:()依题意,所以,2分而面,又,面,又面,平面平面4分PBACDzxy()过作的垂线为轴,为轴,为轴,建立如图所示坐标系,则 ,,设,所以, ,由,得解得,.6分P点的坐标为;面的一个法向量为,8分设面的一个法向量为,即, 10分 ,所以二面角的余弦值为12分20. 解:()由椭圆的定义知,又,即为边上的中线,,2分在中,则,椭圆的离心率4分(注:若学生只写椭圆的离心率,没有过程扣3分)()设,因为,所以6分当直线轴垂直时,,=, 因为,所以,恒为钝角,.8分当直线不与轴垂直时,设直线的方程为:,代入,整理得:,10分令, 由 可知 ,恒为钝角.,所以恒有12分21. 解:()在区间上恒成立,即区间上恒成立, 1分.3分经检验, 当a- 4时, ,时,所以满足题意的a的取值范围为.4分()函数的定义域,依题意方程在区间有两个不等的实根,记,则有,得.6分,令8分, ,因为,存在,使得,-0+,所以函数在为减函数,10分即12分法二:6分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分.【证法2】为方程的解,所以,, ,,先证,即证(),在区间内,内,所以为极小值,,即,成立;8分再证,即证,令, 10分,,,,在为增函数 综上可得成立12分22.证明:()BADBMF,所以A,Q,M,B四点共圆,3分所以.5分() , ,又 , 所以,7分 ,则,8分,,所以.10分23.解:()依题意3分得:曲线直角坐标方程为:.5分()把代入整理得:7分总成立, ,10分另解:()直线的直角坐标方程为,把代入得:7分总成立,10分24. 解:()解得 解得 解得3分不等式的解集为5分(); 的最小值为;8分则,解得或.10分16
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