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第三讲 固体和液体31 固体的有关性质固体可以分为晶体和非晶体两大类。岩盐、水晶、明矾、云母、冰、金属等都是晶体；玻璃、沥清、橡胶、塑料等都是非晶体。(1)晶体和非晶体晶体又要分为单晶体和多晶体两种。单晶体具有天然规则的几何外形，如雪花的形状总是六角形的。并且，单晶体在各个不同的方向上具有不同的物理性质，即各向导性。如力学性质(硬度、弹性模量等)、热性性质(热胀系数、导热系数等)、电学性质(介电常数、电阻率等)、光学性质(吸收系数、折射率等)。如云母结晶薄片，在外力作用下很容易沿平行于薄片的平面裂开，但在薄片上裂开则要困难得多；在云母片上涂一层薄薄的石蜡，然后用烧热的钢针去接触云母片的反面，则石蜡将以接触点为中心、逐渐向四周熔化，熔化了的石蜡成椭圆形，如果用玻璃片做同样的实验，熔化了的石蜡成圆形，这说明非晶体玻璃在各方向的导热系数相同，而晶体云母沿各方向的导热系数不同。因多晶体是由大量粒(小晶体)无规则地排列组合而成，所以，多晶体不但没有规则的外形，而且各方向的物理性质也各向同性。常见的各种金属材料就是多晶体。但不论是单晶体还是多晶体，都具有确定的熔点，例如不同的金属存在着不同的熔点。非晶体没有天然规则的几何外形，各个方向的物理性质也相同，即各向同性。非晶体在加热时，先逐渐变软，接着由稠变稀，最后成为液体，因此，非晶体没有一定的熔点。晶体在加热时，温度升高到熔点，晶体开始逐渐熔解直到全部融化，温度保持不变，其后温度才继续上升。因此，晶体有一定的熔点。(2)空间点阵图3-1-1晶体与非晶体性质的诸多不同，是由于晶体内部的物质微粒(分子、原子或离子)依照一定的规律在空间中排列成整齐的后列，构成所谓的空间点阵的结果。图3-1-1是食盐的空间点阵示意图，在相互垂直的三个空间方向上，每一行都相间的排列着正离子(钠离子)和负离子(氯离子)。晶体外观的天然规则形状和各向异性特点都可以用物质微粒的规则来排列来解释。在图3-1-2中表示在一个平面上晶体物质微粒的排列情况。从图上可以看出，沿不同方向所画的等长直线AB、AC、AD上，物质微粒的数目不同，直线AB上物 ABCD图3-1-2质微粒较多，直线AD上较少，直线AC上更少。正因为在不同方向上物质微粒排列情况不同，才引起晶体在不同方向上物理性质的不同。组成晶体的粒子之所以能在空间构成稳定、周期性的空间点阵，是由于晶体微粒之间存在着很强的相互作用力，晶体中粒子的热运动不能破坏粒子之间的结合，粒子仅能在其平衡位置(结点处)附近做微小的热振动。晶体熔解过程中达熔点时，它吸收的热量都用来克服有规则排列的空间点阵结构，所以，这段时间内温度就不会升高。例题:NaCl的单位晶胞是棱长a=5.610m的立方体，如图7-1-3。黑点表示Na位置， 图3-1-3圆圈表示Cl位置，食盐的整体就是由这些单位晶胞重复而得到的。Na原子量23，Cl原子量35.5，食盐密度g/m。我们来确定氢原子的质量。在一个单位晶胞里，中心有一个Na，还有12个Na位于大立方体的棱上，棱上的每一个Na同时为另外三个晶胞共有，于是属于一个晶胞的Na数n=1+=4，Cl数n=4。晶胞的质量m=4(m+m)原子质量单位。a=4(23+35.5)m，得m=1.6710kg。32 固体的热膨胀几乎所有的固体受热温度升高时，都要膨胀。在铺设铁路轨时，两节钢轨之间要留有少许空隙，给钢轨留出体胀的余地。一个物体受热膨胀时，它会沿三个方向各自独立地膨胀，我们先讨论线膨胀。固体的温度升高时，它的各个线度(如长、宽、高、半径、周长等)都要增大，这种现象叫固体的线膨胀。我们把温度升高1所引起的线度增长跟它在0时线度之比，称为该物体的线胀系数。设一物体在某个方向的线度的长度为，由于温度的变化T所引起的长度的变化。由实验得知，如果T足够小，则长度的变化与温度的变化成正比，并且也与原来的长度成正比。即=T式中的比例常数称作线膨胀系数。对于不同的物质，具有不同的数值。将上式改写为.。所以，线膨胀系数的意义是温度每改变1K时，其线度的相对变化。即：式中的单位是1/，为0时固体的长度，为时固体的长度，一般金属的线胀系数大约在/的数量级。上述线胀系数公式，也可以写成下面形式如果不知道0时的固体长度，但已知时固体的长度，则时的固体长度为于是，这是线膨胀有用的近似计算公式。对于各向同性的固体，当温度升高时，其体积的膨胀可由其线膨胀很容易推导出。为简单起见，我们研究一个边长为l的正方体，在每一个线度上均有：。因固体的值很小，则相比非常小，可忽略不计，则式中的3称为固体的体膨胀系数。随着每一个线度的膨胀，固体的表面积和体积也发生膨胀，其面膨胀和体膨胀规律分别是 考虑各向同性的固体，其面胀系数、体胀系数跟线胀系数的关系为=2，=3。例1:某热电偶的测温计的一个触点始终保持为0，另一个触点与待测温度的物体接触。当待测温度为t时，测温计中的热电动势力为其中-1,mv-2。如果以电热电偶的热电动势为测温属性，规定下述线性关系来定义温标，即。并规定冰点的，汽点的，试画出的曲线。分析:温标以热电动势为测温属性，并规定与成线性关系。又已知与摄氏温标温度t之间的关系，故与t的关系即可求得。系数a和b由规定的冰点和汽点的值求得。解:已知，得出与t的关系为。t0100200300400100400/3图3-2-1规定冰点的，规定汽点的t=100，代入，即可求得系a与b为b=0,于是，和t的关系为曲线如图3-2-1所示，与t之间并非一一对应，且有极值。例2:有一摆钟在25时走时准确，它的周期是2s，摆杆为钢质的，其质量与摆锤相比可以忽略不计，仍可认为是单摆。当气温降到5时，摆钟每天走时如何变化？已知钢的线胀系数 -1。分析:钢质摆杆随着温度的降低而缩短，摆钟走时变快。不管摆钟走时准确与否，在盘面上的相同指示时间，指针的振动次数是恒定不变的，这由摆钟的机械结构所决定，从而求出摆钟每天走快的时间。解:设25摆钟的摆长，周期，5时摆长为，周期，则由于，因此，说明在5时摆钟走时加快在一昼夜内5的摆钟振动次数，这温度下摆钟指针指示的时间是。这摆钟与标准时间的差值为t，33液体性质331、液体的宏观特性及微观结构液体的性质介于固体与气体之间，一方面，它像固体一样具有一定的体积，不易压缩；另一方面，它又像气体一样，没有一定的形状，具有流动性，在物理性质上各向同性。液体分子排列的最大特点是远程无序而短程有序，即首先液体分子在短暂时间内，在很小的区域(与分子距离同数量级)作规则的排列，称为短程有序；其次，液体中这种能近似保持规则排列的微小区域是由诸分子暂时形成的，其边界和大小随时改变，而且这些微小区域彼此之间的方位取向完全无序，表现为远程无序。因而液体的物理性质在宏观上表现为各向同性。液体分子间的距离小，相互作用力较强，分子热运动主要表现为在平衡位置附近做微小振动，但其平衡位置又是在不断变化的，因而，宏观上表现为液体具有流动性。332、液体的热膨胀液体没有一定的形状，只有一定的体积，因此对液体只有体膨胀才有意义。实验证明，液体的体积跟温度的关系和固体的相同，也可以用下面的公式表示：式中是在0时的体积，是液体在t时的体积，是液体的体胀系数，一般液体的体胀系数比固体大12个数量级，并且随温度升高有比较明显的增大。液体除正常的热膨胀外，还有反常膨胀的现象，例如水的反常膨胀，水在4时体积最小，密度最大，而4以下体积反而变大，密度变小，直到0时结冰为止，正是由于水的这一奇特的性质，使得湖水总是从湖面开始结备，随着气温下降，冰层从湖面逐渐向下加厚，也亏得这一点，水中的生物才安然地度过严冬。333、物质的密度和温度的关系固体和液体的体积随温度而变化，这将引起物体的密度变化，设某物体的质量为m，它在0时的体积为，则0时该物体的密度是。设物体在t时密度，体积，则。又有，式中是固体或液体的体膨胀系数，代入表达式得。例1 一支水银温度计，它的石英泡的容积是0.300cm3，指示管的内径是0.0100cm，如果温度从30.0升高至40.0，温度计的水银指示线要移动多远？(水银的体胀系数/)解：查表可得石英的线胀系数/，则其体胀系数为/。与水银的体胀系数/相比很小可忽略不计，所以当温度升高时，可以认为石英泡的容积不变，只考虑水银的膨胀，水银体积的增量水银体积的增量V，这是在水银指示管中水银上升的体积，所谓水银指示线移动的长度，就是水银上升的高度，即说明有些仪器，例如液体温度计，就是利用液体体积的热膨胀特性作为测量依据的。由于体胀系数与测量物质的种类有关，而且即使是同种物质，还与温度及压强有关，因此在使用这些仪器时，应考虑到由于的变化而引起的测量误差。例如一支水银温度计，在冰点校准为0，在水的沸点校准为100，然后将二者间均分100份，刻上均匀刻度。严格地说，这种刻度是不准确的。由于值随温度的升而增大，所以在高温处刻度应该稀一些，在低温处应该密一些；如果均匀刻度，则在测高温时读数会偏高，而在低温时读数会偏低。不过这种差别并不大，一般可以忽略。34液体的表面张力341、表面张力和表面张力系数ABCD图3-4-1液体下厚度为分子作用半径的一层液体，叫做液体的表面层。表面层内的分子，一方面受到液体内部分子的作用，另一方面受到气体分子的作用，由于这两个作用力的不同，使液体表面层的分子分布比液体内部的分子分布稀疏，分子的平均间距较大，所以表面层内液体分子的作用力主要表现为引力，正是分子间的这种引力作用，使表面层具有收缩的趋势。液体表面的各部分相互吸引的力称为表面张力，表面张力的方向与液面相切，作用在任何一部分液面上的表面张力总是与这部分液面的分界线垂直。表面张力的大小与所研究液面和其他部分的分界线长度L成正比，因此可写成式中称为表面张力系数，在国际单位制中，其单位是N/m，表面张力系数的数值与液体的种类和温度有关。342表面能我们再从能量角度研究张力现象，由于液面有自动收缩的趋势，所以增大液体表面积需要克服表面张力做功，由图3-4-1可以看出，设想使AB边向右移动距离x，则此过程中外界克服表面张力所做的功为式中S表示AB边移动x时液膜的两个表面所增加的总面积。若去掉外力，AB边会向左运动，消耗表面自由能而转化为机械能，所以表面自由能相当于势能，凡势能都有减小的 AB123图3-4-2趋势，而，所以液体表面具有收缩的趋势，例如体积相同的物体以球体的表面积最小，所以若无其他作用力的影响，液滴等均应为球体。例 将端点相连的三根细线掷在水面上，如图3-4-2所示，其中1、2线各长1.5cm，3线长1cm，若在图中A点滴下某种杂质，使表面张力系数减小到原来的0.4，求每根线的张力。然后又把该杂质滴在B点，求每根线的张力：已知水的面表张力系数=0.07N/m。12TTF1F2图3-4-3A滴入杂质后，形成图3-4-3形状，取圆心角为的一小段圆弧，该线段在线两侧张力和表面张力共同作用下平衡，则有，式中代入后得。B中也滴入杂质后，线3松弛即，形成圆产半径cm，仿上面解法得。343、表面张力产生的附加压强表面张力的存在，造成弯曲液面的内、外的压强差，称为附加压强，其中最简单的就是球形液面的附加压强，如图3-4-4所示，在半径为R的球形液滴上任取一球冠小液块来分析(小液块与空气的分界面的面积是，底面积是S，底面上的A点极靠近球面)，此球冠形小液体的受力情况为：在S面上处处受与球面垂直的大气压力作用，由对称性易知，大气压的合力方向垂直于S面，大小可表示为 。在分界线上(图中的虚线处)处处受到与球面相切的表面张力的作用，这些表面张力的水平分力相互抵消，故合力也与S面垂直，大小为球冠形液块的重力mg，但因A点极邻近液面，所以截块很小，mg的数值可忽略。根据小液块的力学平衡条件可得SAR图3-4-4将及R、f的表示式代入上式可得图3-4-5应该指出是上式是在凸液面条件下导出的，但对凹液面也成立，但凹球形液面(如液体中气泡的表面)内的压强p小于外部压强，另外，对球形液泡(如肥皂泡)由于其液膜很薄，液膜的内外两个表面的半径可看成相等，易得球形液泡内部压强比外部压强大数值。例 当两个相接触的肥皂泡融合前，常有一个中间阶段，在两个肥皂泡之间产生一层薄膜，见图3-4-5所示。(1)曲率半径和已知，求把肥皂泡分开的薄膜的曲率半径。(2)考虑的特殊情况，在中间状态形成前，肥皂泡的半径是什么？在中间膜消失后，肥皂泡的半径是什么？我们假定，肥皂泡里的超压只与表面张力及半径有关，而且比大气压小得多，因此泡内的气体体积不会改变。解 ：(1)设肥皂液的表面张力系数为，则液泡内的超压为，因此半径小的液泡内的超压大，泡内气体的压强也就比较大，所以连体过渡泡的中间隔膜应向半径较大的泡一边凸出。设中间隔膜的曲率半径为，则该曲面产生的附加压强为，为了使中间状态的隔膜保持平衡，应有O1O2A图3-4-6即。(2)当时，隔膜的曲率半径，即是一个平面，在界线上任取一点A，它受到两个球面及薄膜的表面张力、均跟各面相切，如图3-4-6所示。由于是同一种液体，故三力大小，平衡时它们的方向彼此夹120角，应组成等边三角行，“球幅”的高度d=r/2，所以每过过渡泡的体积为而压强设生成过渡泡前的肥皂泡半径为R，则生成大泡半径为，则依据玻意耳定律有若考虑到，则泡内气体总体积可认为不变，故可近似得出说明对本题，比较有意思的是，泡内超压p比大气压小得多时，气体的总体积保持不变。344、浸润和不浸润水水银（a） （b） 图3-4-7液体与固体接触的表面，厚度等于分子作用半径的一层液体称为附着层。在附着层中的液体分子与附着层外液体中的分子不同。若固体分子对附着层内的分子作用力附着力，大于液体分子对附着层的分子作用力内聚力时，则附着层内的分子所受的合力垂直于附着层表面，指向固体，此时若将液体内的分子移到附着层时，分子力做正功，该分子势能减小。固一个系统处于稳定平衡时，应具有最小的势能，因此液体的内部分子就要尽量挤入附着层，使附着层有伸长的趋势，这时我们称液体浸润固体。反之，我们称液体不浸润固体。在液体与固体接触处，分别作液体表面的切线与固体表面的切线，在液体内部这两条切线的夹角，称为接触角。图3-4-7中，液体与固体浸润时，为锐角；液体与固体不浸润时，为钝角。两种理想情况是=0时，称为完全浸润；=时，称为完全不浸润。例如：水和酒精对玻璃的接触角0，是完全浸润；水银对玻璃的接触角140，几乎完全不浸润。由于液体对固体有浸润和不浸润的情况，所以细管内的液体自由表面呈现不同的弯曲面，叫做弯月面。若液体能浸润管壁，管内液面呈凹弯月面；若液体不能浸润管壁，管内液面呈凸弯月面。液体完全浸润管壁，则=0，弯月面是以管径为直径的凹半球面；液体完全不浸润管壁，则=，弯月面是以管径为直径的凸半球面。例 在航天飞机中原有两个圆柱形洁净玻璃容器，其中分别装有一定量的水和水银，如图3-4-7(a)和(b)。当航天飞机处于失重状态时，试分别画出这两个容器中液体的形状。图3-4-8分析：在失重情况下，液体的形状取决于表面张力和与玻璃浸润情况。解：由于水银对玻璃是不浸润的，附着层面积要尽量小，水对玻璃是浸润的，附着层面积要尽量大，因此将形成如图7-4-8所示的形状。345、毛细现象管径很细的管子叫做毛细管。将毛细管插入液体内时，管内、外液面会产生高度差。如果液体浸润管壁，管内液面高于管外液面；如果液体不浸润管壁，管内液面低于管外液面。这种现象叫毛细现象。如图3-4-9所示为浸润液体的情形。设毛细管的半径为r，液体的表面张力系数为，接触角，管内液面比管外液面高h。则凹形液面产生的向上的表面张力是，管内h高的液柱的重力是，固液注平衡，则：对于液面不浸润管壁的情况，上式仍正确，此时是钝角，h是负值，表示管内液面低于管外液面。如果液体完全浸润管壁=0，为凹半球弯月面，表面张力沿管壁身上，。例 在两端开口，半径1mm的玻璃毛细管内装满水，然后把它竖直放置，这时留在管中 h图3-4-9水柱有多长？水的表面张力系数。解：水能完全浸润管壁，留在管内的水柱重量应与上下两个弯月面的表面张力相平衡。注意：上弯月面=0，下弯月面=。 于是35典型例题分析例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l(ld/2)，肥皂液的表面张力系数为。 AB薄膜d图3-5-1解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在ld/2的情况下，线会形成长度为的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图3-5-2所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然 ABTTCD图3-5-2式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，指各小段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r，与x轴的夹角均为方，显然而这两个力的合力必定沿x轴方向，(他们垂直x轴方向分力的合力为零)，这样所以因此说明对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180计算，已知水银密度，水银的表面张力系数。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h的数值大约是多少(取一位有效数字)？图3-5-3分析：取圆饼侧面处宽度为x，高为h的面元S，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对S侧压力F，由F作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下两层表面张力的合力的水平分量必与F反向，且大小相等。S两侧表面张力可认为等值反向的。解：由于090,有 KB图354例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A和B后，如图3-5-4，关闭活栓K，活栓和则依旧打开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。(1)若A泡和B泡的形状小于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是稳定的。若A泡和B泡的形状大于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是不稳定的。(2)若A泡和B泡的形状大于半球，设两管口的半径均为，A泡和B泡的半径均为。试问当A泡和B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。分析：开始时，A泡B泡均小于半球，泡半径应大于管半径。若因扰动使A泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A泡内压强变小，这时B泡内气体过来补充，使A泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。对于A泡因扰动稍增大，或B泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。图355若A、B泡形状相同，均大于半球。因扰动使A泡缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加，A泡内压强变大，使气体从A泡到B泡，A泡缩小和B泡增大后，扰动将持续发展。总之，当A泡和B泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当A泡缩小到半球形状时，即当时，A泡半径最小。若再收缩使形状小于半球时，A泡半径再度增大，根据上面的分析，A泡内的压强将再度下降。当A泡小于半球，B泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。解：(1)见上面的分析。 图3-5-6(2)新的平衡状态为A泡小于半球，B泡大于半球，两者半径均为r，图3-5-5，有解得r=3.04cm例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图1-5-6(a)所示，平面上原子间距为m，若石墨的密度为，求两层平面间的距离。(碳原子量为12)解：显然应根据晶格模型进行研究，把晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属于6个不同晶胞，因此一个晶胞中12/6=2个原子，石墨中的原子数是个。晶胞数是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是晶胞的底面积是 说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有，那么每个晶胞仅只能算其1/n个原子。图3-5-7例5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验，杯子的半径为R，高度为H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5-7所示。假定水对玻璃和平板都是完全浸润的，水的表面张力系数为，纸板重为mg，大气压为，水的密度为，则为了保证“覆杯”实验成功，装水时，杯内所留的空气体积不得超过多少？解：如图3-5-8表示板与杯口间水层的大致形状(为求清晰，图中比例已被夸大)。其中虚线表示整体轮廓，实线则划出其一小片分析其受力，图3-5-9则是俯视平面图。dF图3-5-8设内凹的薄水层深度为d，由于完全浸润，它就等于凹面的直径，所取出的水液面宽度为l，则它受力如下：f附着层水对凹面的表面张力，有上(杯沿)下(硬板)两个，其大小为，方向垂直于l水平向外。和划出部分相连的凹面其他部分的水对该液面的作用力，方向沿圆周切线方向，大小为，两力合力大小为 OFR图3-5-9F液面内外压力差，其方向水平指向圆心，大小为(其中为大气压，p为内部水压强)。在受力平衡的条件下应有mg图3-5-10得 如果以硬板为研究对象，受力如图3-5-10，平衡时有即 p是水内部的压强，它应等于杯内气体压强加上由水重所引起的压强，若杯内气体压强为，原来装水后空气层厚度为h，则 进行覆杯实验后，硬纸板是盖住杯口的，这时杯内气体压强就等于大气压即，体积，“覆杯”放手后，由于硬纸板受重力作用，板下移距离d(即前述水层厚度)，使杯内气体体积变为，压强就变为，由玻意耳定律得 把代入可求得板重为mg时，水层最大厚度 由式可得将式代入即可得到极限情况下杯内原来的空气柱厚度，因式子过繁，就不将d值代入了。说明当杯子倒转放手后，如果杯内装满水而无空气，则大气对平板的向上压力将远大于杯内水及平板重，因此平板紧压杯口，但如果原来杯内有空气，其压强等于大气压，翻转杯子并放开平板合，水与板重将使板下移，杯内空气体积增大，压强减小，只要条件合适，大气压力有可能承受住杯内气体压力(小于)与水、板重之和。然而，气压减小量是与气体体积增大量有关，而体积增大则决定于板与杯口间水层的厚度，而该层最大厚度则与表面张力引起的附加压强有关。据此反推，即可得到解题思路。 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
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