欧拉法与龙格库塔法比较分析

解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。缺点：欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。改进欧拉格式（向前欧拉公式）：为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法：微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程： 可以将区间分成段，那么方程在第点有，再用向前差商近似代替导数则为：在这里，是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据点和的数值计算出来：这就是向前欧拉公式。改进的欧拉公式：将向前欧拉公式中的导数改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式。可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式：数值分析中，龙格库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为,而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。龙格-库塔方法的基本思想：在区间内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。则，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值由现在的值加上时间间隔和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：是时间段开始时的斜率；是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率来决定在点的值；也是中点的斜率，但是这次采用斜率决定值；是时间段终点的斜率，其值用决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是阶，而总积累误差为阶。注意上述公式对于标量或者向量函数(可以是向量)都适用。例子：下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。其中分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4级4阶龙格-库塔公式及精确解。结果分析：图1中显示在时，3种算法与精确值较接近，即误差不大，但当继续增加时则4级4阶龙格库塔法较精确，但也有一定限度，当时，计算值与精确值得差别将越来越大。从图2中可以清楚的看到这一结果，其中，。图1图2