深圳杯数学建模论文A题

2013年厦门理工学院数学建模竞赛2013年4月17日5月17日 题目： 食品质量安全抽检数据分析 队长队员队员姓名郑婷林英吴澳埕学号111005213011100521371110052108院系应用数学学院应用数学学院应用数学学院专业11应数金融11应数金融11应数金融电话159050292151377467669018005022792Email7343677415470704761152607065分工数据查找及整理问题一，三论文执笔数据查找及整理问题二论文执笔数据查找及整理问题二论文执笔厦门理工学院创新创业园厦门理工学院应用数学学院 食品质量安全抽检数据分析 摘要“民以食为天”，食品安全关系到千家万户的生活与健康。随着人们对生活质量的追求和安全意识的提高，食品安全已成为社会关注的热点，也是政府民生工程的一个主题。本文结合实际，通过建立数学模型来研究如何进行食品安全的抽检等问题。对于问题一，我们在查阅相关资料的基础上，将食品主要分为七大类：蔬菜类及其制品（包括一些菌类），水产品及其制品，肉制品，粮食制品，饮品（包括茶），休闲食品，调味品。其中我们还针对可能影响食品安全的一些非可食性产品进行归类，将其归为第八类，包括保鲜膜，一次性餐具，纸巾等产品。在此基础上，我们运用了层次分析法对各个主要食品领域影响食品安全的因素做了定量的分析，其中主要包括微生物，重金属，添加剂含量三大因素。另一方面，我们着重分析了蔬菜及其制品、水产品、肉制品三大类质量安全的影响因素及其所占权重。通过所占权重大小，我们可以很直观的得出哪类产品更容易受到哪种因素的影响，并且可以通过比较三年内三种因素所占权重大小，描绘出其每年三种因素所占比重，对比三年的不同比例图，分析并评价其变化趋势，同时预测出未来一年的食品安全情况。对于问题二，食品安全通常和很多因素有关，但它们之间并不是确定性关系，所以我们用回归分析来处理，并建立了多元线性回归模型。本文用最小二乘的方法给出了变量间相关关系的回归方程，针对各因素对食品安全的影响我们与偏回归平方和联系起来，并将各因素的影响程度进行了排序。我们首先对蔬菜，肉类，水产品的数据进行处理，利用MATLAB对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。其次建立起多元线性回归模型，采用最小二乘的方法来估计回归方程的参数j。我们引入偏回归平方和Qj的概念来判定地区对食品安全的影响程度，并对各因素的影响程度由深到浅进行了排序。最后对所得结果进行总结，预测销售地区与食品安全之间的关系，通过观察数据得出结论，并通过观察图形来预测未来的发展趋势和检测重点。关于季节因素我们对多年的不同月份进行采集数据整理一年数据来反映季节因素对食品质量的影响。 对于问题三，我们基于问题一与问题二得出的结论，同时查找相关数据（生产基地的产品合格率）来进一步说明食品安全的状况，并结合实际情况，考虑到各种因素，分析相关数据，确定一个既节约成本又能反映食品质量真实状况的抽检方法为保证食品的质量安全问题。关键词：食品安全抽检 层次分析法 变化趋势 多元线性回归 最小二乘法 偏回归平方和 散点图 一、问题的重述“民以食为天”，食品安全关系到千家万户的生活与健康。随着人们对生活质量的追求和安全意识的提高，食品安全已成为社会关注的热点，也是政府民生工程的一个主题。城市食品的来源越来越广泛，人们消费加工好的食品的比例也越来越高，因此除食材的生产收获外，食品的运输、加工、包装、贮存、销售以及餐饮等每一个环节皆可能影响食品的质量与安全。另一方面，食品质量与安全又是一个专业性很强的问题，其标准的制定和抽样检测及评价都需要科学有效的方法。深圳是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一。请下载2010年、2011年和2012年深圳市的食品抽检数据（注意蔬菜、鱼类、鸡鸭等抽检数据的获取），并根据这些资料来讨论：1. 如何评价深圳市这三年各主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势；2. 从这些数据中能否找出某些规律性的东西：如食品产地与食品质量的关系；食品销售地点（即抽检地点）与食品质量的关系；季节因素等等；3. 能否改进食品抽检的办法，使之更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本（食品抽检是需要费用的），例如对于抽检结果稳定且抽检频次过高的食品领域该作怎样的调整？ 二、问题的分析对于问题一：我们上网百度了国际上通用的对食品的划分方法作为参考，并结合实际饮食习惯及特点将食品分为七大类：蔬菜类及其制品（包括一些菌类），水产品及其制品，肉制品，粮食制品，饮品（包括茶），休闲食品，调味品。我们通过数据的整理，发现一些非可食性的产品占了很大的一部分比重，为此我们将其归为第八类，其中主要包括保鲜膜，一次性餐具，纸巾等产品。其次，我们专门对不合格食品进行数据的整理与分析，发现主要导致食品不合格的因素为：微生物，重金属，添加剂含量等，因此我们对此三者进行了定量定性的分析。为了定量分析每一种因素对食品安全影响程度大小，我们通过层次分析的方法，求出每一分类不合格所占全部不合格产品的权重，每一因素对每一分类的权重，然后通过求解得出每年每一因素对食品安全的权重，进行饼图分析，同时我们还着重分析了三因素对蔬菜及其制品、水产品、肉制品三大类的质量安全影响所占的权重大小。我们不仅可以分析出其全部产品中三因素的变化趋势，还可以得到部分产品质量安全的影响因素的变化趋势，同时预测出未来一年的食品安全情况。通过对整体和部分产品的比较，我们更好的评价其变化趋势，以及三因素变化的原因和哪些产品更容易受到哪些因素的影响。对于问题二：对于食品安全的分析，我们知道，和y有关的变量有7个，研究y与变量x1，x2，x3,x7之间的定量关系的问题为多元回归问题。又因为许多多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题，所以对于本问题我们建立了多元线性回归的数学模型。我们首先对蔬菜，肉类，水产品的数据进行处理，利用MATLAB对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。其次对于各销售地区对年销售额的影响程度，由于利用偏回归平方和Qj可以衡量每个变量在回归中所起的作用大小（即影响程度），我们对每个变量xj 的偏回归平方和Qj进行了计算，最后把影响程度由深到浅的各因素进行了排序。最后对所得结果进行总结，预测销售地区与食品安全之间的关系，通过观察数据得出结论。并通过观察图形来预测未来的发展趋势和检测重点。对原始数据的整理，假设每年的相同季节里气候状况接近相同。这样我们就可以对多年的不同月份进行采集数据整理一年数据来反映季节因素对食品质量的影响。 对于问题三：考虑到食品抽检是需要一定费用的，应该适当调节产品的抽检方法，使之更科学更有效地反映食品质量安全状况且不过分增加监管成本。我们在前两问的基础上，充分利用了食品抽检中规律性的东西以及结论，结合实际情况，考虑到各种因素，分析相关数据，确定一个既节约成本又能反映食品质量真实状况的抽检方法为保证食品的质量安全问题。 三、模型假设对于问题一：1、假设食品能且只能分为七类，非可食性产品归为第八类，其他未被分类的可食性产品和非可食性产品对食品安全的影响可忽略不计。2、假设导致食品不合格的因素只包括微生物，重金属，添加剂含量三者，其他的因素可忽略不计。对于问题二：1、影响食品安全的各地区相互之间关联性不大，即相互独立。 2、异常值认为是不准确因素引起的，可将其剔除。3、假设每年的相同季节里气候状况接近相同。 四、符号说明 O : 目标层 C : 准则层 P : 方案层 ：准则层对目标层的特征值 i:方案层对准则层的特征值（i=1,2，8） w : 表示准则层对目标层的权重向量 wi: 表示准则层对目标层的权重向量 RI: 随机一致性指标 CI: 判断矩阵一致性指标 CR: 一致性比率 n : 类别个数(n=8) xi : 影响食品安全的销售地区（i=1,2，7） y: 食品安全指标(=1,2，7） i : 相互独立且服从同一正态分布的随机变量 （i=1,2，7） Qi: 变量xj的偏回归平方和（i=1,2，7） S2 : 平方和S回: 回归方程和 i : 待估计系数参数（i=1,2，7） bi : 参数j的最小二乘估计 （i=1,2，7） 五、模型的建立与分析（1） 问题一的模型建立与分析经过分析，对于问题一我们建立“层次分析法”模型进行求解。应用层次分析法分析问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次结构的模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又由隶属性及关系形成若干层次，上一层元素作为准则对下一层次某些元素起支配作用。这些层次可分为三类：最高层为目标层(O)：问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。中间层为准则层(C)：包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当准则多于9个时可分为若干个子层。最低层为方案层(P)：方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。 构造判断矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用，而不是把所有因素放在一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响。设要比较n个因素，对上一层(如目标层)O的影响程度，即要确定它在O中所占的比重。对任意两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O的影响程度之比，按19的比例标度来度量aij(i,j1，2，n)。于是，可得到两两成对比较矩阵A(aij)nn，又称为判断矩阵，显然 aij0 , aij=1/aji , aii=1 (i,j1，2，n)因此，又称判断矩阵为正互反矩阵。由正反矩阵的性质可知，只要确定A的上（或下）三角矩阵的n(n-1)/2个元素即可。在特殊情况下，如果判断矩阵A的元素具有传递性，即满足 aikakj= aij (i,j,k1，2，n)则称A为一致性矩阵，简称为一致阵。 通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内 判断矩阵一致性指标CI(Consistency Index)： 一致性指标CI的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，CI的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标CI的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标CI的值便越小。对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标RI(Random Index),下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标 。n12345678RI000.580.901.121.241.321.41n9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59 当n3时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标 CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR(Consistency Ratio)。当CR0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。当CR0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足CR0.10 ，从而具有满意的一致性。求解特征向量可以由MATLAB软件方便的求得，也可以使用层次分析法的专门软件：YAAHP5.0，进行求解。我们采用MATLAB对模型进行求解。对于本题我们建立了如下的层次分析法模型：目标层为食品质量安全；准则层为八大类产品，分别为：蔬菜类及其制品（包括一些菌类），水产品及其制品，肉制品，粮食制品，饮品（包括茶），休闲食品，调味品，第八类；方案层为三类影响食品质量安全的因素：微生物，重金属，添加剂含量。如下图： 根据上述层次分析法的原理，我们构造了准则层对目标层的判断矩阵A（见附录），以及方案层对准则层的判断矩阵Ai，Bi，Ci（i=1,2，8）（见附录）。将各个判断矩阵输入到MBTLAB软件中，可以求出： （1）矩阵A的特征值为8.1131，一致性比例为0.0011459，各分类对食品质量安全的权重向量w=（0.0369 0.0596 0.0596 0.1034 0.0596 0.2376 0.1034 0.3399 )T ；所占比重如下图： (2) 矩阵A1的特征值1为3.0246，2010年三因素对蔬菜及其制品的权重向量w1=（0.1168 0.1998 0.6833）T； (3) 矩阵B1的特征值2为3.0037，2011年三因素对蔬菜及其制品的权重向量w2=（0.2297 0.1220 0.6483）T； (4) 矩阵C1的特征值3为3.0246，2012年三因素对蔬菜及其制品的权重向量w3=（0.1998 0.1168 0.6833）T； (5) 矩阵A2的特征值4为3.0183，2010年三因素对水产品及其制品的权重向量w4=（0.1220 0.5584 0.3196）T； (6) 矩阵B2的特征值5为3.0536，2011年三因素对水产品及其制品的权重向量w5=（0.1085 0.3445 0.5469）T； (7) 矩阵C2的特征值6为3.0183，2012年三因素对水产品及其制品的权重向量w6=（0.1220 0.3196 0.5584）T； (8) 矩阵A3的特征值7为3.0037，2010年三因素对肉制品的权重向量w7=（0.1095 0.5816 0.3090）T； (9) 矩阵B3的特征值8为3.0246，2011年三因素对肉制品的权重向量w8=（0.0974 0.5695 0.3331）T； (10) 矩阵C3的特征值9为3.0055，2012年三因素对肉制品的权重向量w9=（0.1005 0.4665 0.4330）T； (11) 矩阵A4的特征值10为3.0055，2010年三因素对粮食制品的权重向量w10=（0.1283 0.5954 0.2764）T； (12) 矩阵B4的特征值11为3.0055，2011年三因素对粮食制品的权重向量w11=（0.5954 0.1283 0.2764）T； (13) 矩阵C4的特征值12为3.0037，2012年三因素对粮食制品的权重向量w12=（0.5816 0.1095 0.3090）T； (14) 矩阵A5的特征值13为3.0037，2010年三因素对饮品的权重向量w13=（0.1220 0.6483 0.2297）T； (15) 矩阵B5的特征值14为3.2948，2011年三因素对饮品的权重向量w14=（0.1789 0.6118 0.2092）T； (16) 矩阵C5的特征值15为3.0536，2012年三因素对饮品的权重向量w15=（0.1571 0.2493 0.5936）T； (17) 矩阵A6的特征值16为3.0246，2010年三因素对休闲食品的权重向量w16=（0.0974 0.5695 0.3331）T； (18) 矩阵B6的特征值17为3.0183，2011年三因素对休闲食品的权重向量w17=（0.1120 0.5584 0.3196）T； (19) 矩阵C6的特征值18为3.1083，2012年三因素对休闲食品的权重向量w18=（0.1692 0.4434 0.3874）T； (20) 矩阵A7的特征值19为3.0246，2010年三因素对调味品的权重向量w19=（0.0974 0.5695 0.3331）T； (21) 矩阵B7的特征值20为3.1078，2011年三因素对调味品的权重向量w20=（0.1243 0.3586 0.5171）T； (22) 矩阵C7的特征值21为3.0536，2012年三因素对调味品的权重向量w21=（0.1396 0.3325 0.5278）T； (23) 矩阵A8的特征值22为3.0183，2010年三因素对第八类的权重向量w22=（0.1220 0.5584 0.3196）T； (24) 矩阵B8的特征值23为3.1356，2011年三因素对第八类的权重向量w23=（0.1677 0.3487 0.4836）T； (25) 矩阵C8的特征值24为3.1356，2012年三因素对第八类的权重向量w24=（0.5472 0.1897 0.2631）T； (26) 2010年三种因素对所有食品质量安全的权重、饼图如下： 三种因素 权重 重金属（蓝色） 0.1133 微生物（绿色） 0.5285 添加剂（红色） 0.3582 (27) 2011年三种因素对所有食品质量安全的权重、饼图如下： 三种因素 权重 重金属（蓝色） 0.1918 微生物（绿色） 0.3966 添加剂（红色） 0.4210 (28) 2012年三种因素对所有食品质量安全的权重、饼图如下： 三种因素 权重 重金属（蓝色） 0.3308 微生物（绿色） 0.2816 添加剂（红色） 0.3876 (29) 2010年三种因素对蔬菜及其制品、水产品、肉制品质量安全的权重向量为：w1 =(0.1160 0.4822 0.4018)； (30) 2011年三种因素对蔬菜及其制品、水产品、肉制品质量安全的权重向量为：w2 =(0.1330 0.3776 0.4894)； (31) 2012年三种因素对蔬菜及其制品、水产品、肉制品质量安全的权重向量为：w3 =(0.1322 0.3276 0.5402)；经分析可知，对于权重大的因素，其对食品质量安全的影响也就更大。对于所有分类来说：由上面几个表可以看出，2010年微生物因素的影响最大，达到了0.5285；2011年添加剂因素的影响较大，微生物因素次之；2012年添加剂因素影响较其他两者更大。对于蔬菜及其制品、水产品、肉制品三大类产品来说：我们通过求得三因素对于这三大类的权重，并比较这些权重，我们得出的结论是重金属对于这三类产品影响最小，而添加剂对其影响最大。对于所有分类来说：从三年中三种因素所占的比例变化可以看出：重金属因素虽然所占比例不是最大的，但三年却是呈现递增的趋势，而微生物所占比重呈递减趋势，添加剂趋于稳定状态。在抽检的不合格食品中，粮食制品所占比例也是相当大的一部分，而第八类产品不合格所占比例最大达到了34%。通过分析粮食制品的不合格数据可以明显的看出由于2010年并没有抽检馒头、花卷等食品，而2011年、2012年抽检出不合格的粮食制品中，馒头、花卷等食品占了比例相当大一部分，其不合格原因是因为重金属铅超标数量大增，因此导致了后两年的粮食制品中重金属所占权重急剧增加。对于第八类产品，在2012年抽检的不合格产品中重金属所占权重更是超过了50%，达到了0.5472。从所得到的第一个权重向量即各分类对食品质量安全的权重向量，我们可以看出第八类所占权重最大，达至34%，而粮食制品的所占权重也是相当大一部分，不可小觑，这就导致了我们所得到的三大因素对食品质量安全影响的变化趋势为什么重金属的影响会呈递增趋势了。对于蔬菜及其制品、水产品、肉制品三大类产品来说：重金属含量最低，三年来变化并不显著，为此我们可以得出重金属这个因素对其的影响几乎保持平衡。另一方面，随着经济的发展，环境污染也越来越严重了，这就解释了重金属污染为什么无法得以解决。微生物污染包括细菌性污染病毒和真菌及其毒素的污染。在微生物污染中，细菌性污染是涉及面最广、影响最大、问题最多的一种污染。由副溶血性弧菌、金黄色葡萄球菌等常见微生物以及其产生的毒素引起的食物中毒事件常有发生，而且现在一些诸如大肠杆菌等非常见微生物引起的食品安全性问题也不断发现,一旦控制不好会造成极其严重的后果,英国等发生的疯牛病便是典型的例证。美国国家食品安全机构确认每年有650万至3300 万起食物引发的微生物疾病，其中9000人死亡。 英格兰和威尔士每年有300人死于由微生物引起的胃肠道感染性疾病，35000人因此住院治疗。2000至2002年中国疾病预防控制中心营养与食品安全所对全国部分省市的生肉、熟肉等食品中的致病菌污染状况进行了连续的监测，结果表明微生物性食物中毒仍居首位。据世界卫生组织估计，全世界每年有数以亿计的食源性疾病患者中，70% 是由于食用或饮用致病性微生物污染的食品和饮水。通过查看数据得到：大肠菌群绝大部分在即食食品中检验出来，部分出现在水产品和第八类产品中。在当今这个时代，绝大部分人都喜好吃即食食品，而该类食品的质量安全又是岌岌可危的。对于所有分类来说：通过上面三个表格我们可以看到2010年微生物这一因素所占权重已经超过一半了，而2011年、2012年微生物含量逐年递减。对于蔬菜及其制品、水产品、肉制品三大类产品来说：从微生物在其的权重大小我们可以得到微生物影响呈下降趋势，而且下降趋势也是大幅度的递减。从这两方面分析微生物变化趋势我们可以得到以下的信息：微生物污染已经受到广大人民和政府的关注，成为人们对食品质量安全评价的一大热门话题，从而使其得以控制，为此微生物这一因素所占的权重逐年递减。食品添加剂的合理应用使得食品的花色、品种、风味、外观等日益丰富，使得食品的保藏期延长，食品添加剂的合理使用并不会对食品安全性造成影响。但由于其多为化学物质，其本身就含有一定量的毒素，由此而产生的食品安全性问题一直是不容忽视的因素。但添加剂含量这个因素一直没法真正的得以控制，绝大部分食品中都含有添加剂，而且并不能强制性要求禁止食品含有任何食品添加剂，相反食品添加剂如果含量合理就会使得食品更具有特色性；其次，随着现在温室效应的影响，天气变化莫测，很多食品就会很容易腐烂导致微生物滋生，而食品中添加了适当的食品添加剂会让食品得以储存更长时间。对于所有分类来说：我们可以从三个饼图中看到添加剂含量变化并不稳定，但我们也可以从其他两因素来分析其变化，由于重金属和微生物这两大因素的变化急剧为此我们并不能准确的判断其变化，但是我们可以得到的是添加剂这一因素一直占领着主导地位。对于蔬菜及其制品、水产品、肉制品三大类产品来说：添加剂这一因素逐年递增，说明了添加剂这一因素一直无法得以控制，而且越来越严重。由于我们所考虑的食品中大部分产品属于加工性的产品，而非初级产品，因此在食品保鲜上许多食品都加入了大量的添加剂使之保质期延长。在实际生活中，一些食品生产商和销售商为了降低经营成本，过量使用食品添加剂，这种行为就会对食品的安全造成很大的威胁。对此，如果政府严格把关会让其危害降低，但我们主观这种想法有点不现实，毕竟这将耗费巨大的人力物力，而且这种做法可能会使食品暂时性的降低食品添加剂带来的影响，久而久之，一大部分生产商和销售商就会想尽办法投机取巧，从而食品添加剂的危害又会上升。通过三种因素的变化趋势分析，我们可以很大胆的推测出2013年这三大因素对食品安全的影响权重以及变化情况，前提如果相关部门没有进行有效的方案控制。为此，我们做出了如下推测：对于所有分类来说：在2013年这一年，重金属的所占的权重依旧会上升，微生物所占的权重会降低，但变化幅度都不会太大，而食品添加剂的含量所占的权重依旧位居榜首。对于蔬菜及其制品、水产品、肉制品三大类产品来说：重金属所占权重依旧处于最低影响因素，添加剂这一因素可能会越来越严重，微生物的影响较于2012年会有所降低。通过对总体和部分产品的分析预测，有效的减少了个别产品的质量安全问题影响了全体的质量安全。通过两者的比较，我们可以看出哪类商品可能会造成三因素所占权重的不稳定。另一方面，我们通过着重分析蔬菜及其制品、水产品、肉制品这三大我们日常的主要食品的质量安全问题，可以更加准确的评价出重金属、微生物、添加剂这三大因素的变化趋势及其危害性大小。（2） 问题二的模型建立与求解2.1 模型的建立1、处理数据我们首先对附表1的数据进行处理，利用MATLAB对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。然后建立起多元线性回归模型，采用最小二乘的方法来估计回归方程的参数。我们引入偏回归平方和的概念来判定各地区对食品安全的影响程度，并对各地区的影响程度由深到浅进行了排序。2、 设随机变量食品安全指标（）与所属地区福田区 （），罗湖区（），南山区（） 盐田区（），宝安区（），龙岗区（），光明新区（）有关。附表1中是某公司的原始数据。建立模型，分析各销售地区对食品安全的影响程度。假如变量与另外7个变量，,的内在联系是线性的，它的第次试验数据是 =1,2，,7 （1）那么这一组数据可以假设有如下的结构式： （2）其中，是7个待估计参数，,是7个可以精确测量的一般变量，是7个相互独立且服从同一正态分布的随机变量，这就是多元线性回归的数学模型。 令， ， ， 那么多元线性回归的数学模型（2）可以写成矩阵形式 （3）其中是7维随机向量，它的分量是相互独立的。3、参数的最小二乘估计为了估计参数，我们采用最小二乘估计法。设分别是参数，的最小二乘估计，则回归方程为 （4）由最小二乘法知道，应使得全部观察值与回归值的偏差平方和达到最小，即使 (5)所以是的非负二次式，最小值一定存在。根据微积分学中的极值原理，应是下列正规方程组的解： (6)显然，正规方程组的系数矩阵是对称矩阵，用来表示，则，且其右端常数项矩阵亦可采用矩阵和来表示：。所以可以得到回归方程的回归系数： (7)4、由于利用偏回归平方和可以衡量每个变量在回归中所起的作用大小（即影响程度），设是p个变量所引起的回归平方和，是p-1个变量所引起的回归平方和（即除去），则偏回归平方和为：=-=-= （8）就是去掉变量后，回归平方和所减少的量。2.2 模型的求解 食品安全涉及的总类过多，我们着重考虑蔬菜，肉类，水产品这三种类别的数据分析销售地区对食品安全的影响。由于深圳市有7个区，因此，将所有的销售地点以区来划分从而分析食品安全与销售地点之间的关系。2010年第一季度与第二季度蔬菜，肉类，水产品因得知属于哪个区而无数据。1.1蔬菜类 从搜集到蔬菜类的数据（附录表1）中，由于食品检测受季节因素影响，蔬菜在2010年第一季度，2010年第二季度，2010年第四季度，2011年第三季度，2012年第三季度未受检测，无法获取相关数据。则将以上这些不纳入考虑对象中，又由于2011年第一季度与2011年第四季度中有些地区的数据缺失，为减少误差，也剔除2011年第一季度与2011年第四季度数据，且不考虑地区得到新的数据表（附录表2）。 通过MATLAB（程序见附录1）作图如下：此时可见第五个点是异常点，于是删除原始数据中第五行数据。1.2 回归方程的求解 由附表1和所得的公式（7），运用MATLAB进行编程（程序见附录2）则得到：P=00.05 S2=0.203由于P=0.50330.05,则回归方程 y=1.1947-1.1793x1+0.2448x3+0.4973x5+0.0355x6 不成立。3.1 水产品 水产品的数据不完整度高，无法使用多元线性回归的方法来求回归方程。则使用折线图来表示2010年第三季度，2011年第一季度，2011年第三季度，2012年第二季度，2012年第四季度都合格率分布和走势。2.3 模型的分析食品安全通常和很多因素有关，但它们之间并不是确定性关系，所以我们用回归分析来处理，并建立了多元线性回归模型。用最小二乘的方法给出了变量间相关关系的回归方程，针对各因素对食品安全的影响我们与偏回归平方和联系起来，并将各因素的影响程度进行了排序。在讨论蔬菜类中，由于不考虑地区，仅考虑其他五个地区对食品安全的影响，得出食品安全指标（）与所属地区福田区 （），罗湖区（），南山区（），宝安区（），龙岗区（）有关。且对食品安全的影响程度由深至浅的排列为龙岗区（），罗湖区（），宝安区（），福田区 （），南山区（）。而在肉类的讨论中，不考虑地区仅考虑其他6个地区对食品安全的影响，无法得出食品安全指标（）与所属地区福田区 （），罗湖区（），南山区（），宝安区（），龙岗区（）有关，从而无法确定是否该地区与食品安全状况存在线性关系。在水产品的讨论中，数据的局限性导致模型无法建立，无法判断水产品的安全问题与销售地区之间的线性关系。因此，初步得出食品安全与销售地区之间无明显关系。再观察其他类别的食品的安全状况与销售地区之间的关系，只有部分类别的食品与地区之间存在线性关系，大部分类别的食品与地区之间并无多大关系。因此，可以说，食品安全的情况与销售地区无关。但是，观察食品合格率的走势能很好得起到提高检测效率和监督的作用。因此，通过对折线图的分析，来预测蔬菜，肉类，水产的未来趋势。此为蔬菜这三年的合格率折线图：从图可知，折线图中蔬菜的合格率出现逐年增加的趋势，每个地区的合格率都出现上升的现象，这说明食品检测对蔬菜的合格率控制起到很大的作用。预测未来蔬菜的合格率应该会持续在较高的水平。此为肉类这三年的合格率折线图：预测对于肉类食品中罗湖区（），宝安区（），光明新区（）有明显的合格率下降趋势，因此，在未来的食品安全检测中，应着重这些地区肉制品的检测，从而提高整体的合格率。此为水产品这三年的合格率折线图：剔除反常的点，水产品的合格维持在80.00%-100.00%之间，但对于坐落于海边的深圳来说，水产品是必不可少的，因此，仍须增强对水产品的检测，防止不合格水产品大范围流入市场。2.4 季节因素对于季节因素，我们对多年的不同月份进行采集数据整理一年数据来反映季节因素对食品质量的影响，并通过数据处理用散点图表示。根据图形可以用三次方程进行拟合，图形如下所示：(拟合程序见附录)运用Matlab软件可以得到拟合直线方程y=0.0003x3-0.0032x2+0.0005x+0.8865此方程用于检验2013年的原始数据，误差在合理范围内。从所建立的模型明显看到7,8,9,10月份合格率较低，符合深圳市的气候。深圳在8,9，10月份气温极高微生物生长快，各种细菌疯狂增长，食品腐烂快，保质期短。 （三）问题三的分析与解答生产基地的合格率如下表：蔬菜水产品禽畜产品2011第一季度100%100%100%2011第二季度100%100%100%2011第三季度100%100%100%2011第四季度83.33%100%100%2012第一季度83.33%100%100%2012第二季度100%100%100%2012第三季度100%100%100%2012第四季度83.33%100%100%2013第一季度96.7%/100%平均94.08%100%100% 由于数据有限，我们无法获取2010年有关生产基地的相关数据，但从我们已知的这些数据中，我们很容易得到：对于生产基地的产品检测抽样中，水产品和禽畜产品这两大类的产品合格率都高达100%，而蔬菜的平均合格率也有94.08%。另一方面，我们从蔬菜的合格率分布情况可以看出：蔬菜的不合格都集中在每年的第四季度和次年的第一季度。因此，我们大胆猜测，蔬菜是由于气候的原因而导致的不合格。在春冬季节里，气温低，蔬菜不易种植，导致蔬菜生产欠缺，因此很多农民会选择搭棚进行栽培蔬菜。而这个季节里，雨水十分泛滥，使得很大一部分蔬菜直接烂在泥土里，同时害虫活动频繁，农民们不得不选择喷洒农药来消灭害虫，因而导致这两季度蔬菜的农药残余大大增加。对于上述分析结果，我们可以通过减少抽检水产品和禽畜产品的次数与频率，从而减少抽检费用。另外，我们可以抽取部分减少的费用来增加蔬菜的抽检次数，更好的反映蔬菜的质量安全状况，提高蔬菜的质量水平。对于问题一，我们得出的结论是：食品添加剂这一因素对食品安全的影响占领着绝大一部分的比例，而重金属和微生物这两因素对食品安全的影响相对于食品添加剂这个因素来较小。假设除了蔬菜及其制品，水产品，肉制品三类产品以外，其余的产品质量安全都趋于稳定且抽检频率为最优。由于我们所考虑的食品中大部分产品属于加工性的产品，而非初级产品，因此在食品保鲜上许多食品都加入了大量的添加剂使之保质期延长。通过问题二的数据整理与分析，以及模型建立，我们可以得到：销地和季节因素都会影响到食品质量安全，而季节因素是影响食品质量安全的最主要的因素，但销地对食品的影响只是对于部分产品。由问题二，我们得到了夏季食品的合格率偏低，由于夏季食品的保质期较短，气温偏高，导致绝大一部分食品由于高温产生变质，从而许多加工商为了增长食品的保质期大量的添加食品添加剂。其次，我们可以得到食品的质量安全与产地并不存在必然的线性关系，但是原料受到污染可能会使后面的一系列加工产品的合格率急剧下降。例如，我们在问题一中分析的粮食制品，由于原料的污染而导致了馒头等产品的重金属含量急剧上升等等。2011年全国爆发的“瘦肉精”事件，导致那年的肉制品抽检频率急速上升，从而肉制品的合格率也呈指数关系飞速上涨，因此对于现在肉制品的抽检结果来说，其不合格率相比之前有所下降。通过上述分析，我们对于食品质量检测有以下建议：对于一些产品的生产基地来说，我们可以对一些合格率高且结果稳定的产品减少其抽检频率，或者将其定于免检产品。对于销地来说，整个深圳市有八个区，如果进行逐一且详细频繁的抽检，肯定会耗费大量的人力物力。因此，对于这么一个大工程，我们可以适当延长其抽检周期，对于部分抽检合格率高的区，可以给予适当的嘉奖，形成一个竞争体系，这样不仅可以鼓励其他几个抽检合格率低的区加强食品安全意识，而且渐渐的也可以减少这部分抽检的资金。对于一些污染性比较严重的地区，不管是产地或者是销地，适当增加抽检频率，让其危害降到最低。缩短对于加工环节的抽检周期，特别是在夏季这种高温天气，食品保质期较短且容易变质。增大其抽检频率，减少食品变质带来的危害。对于抽检结果稳定且抽检频次过高的食品领域延长其抽检周期，对于部分商品进行免检资格认定；对于合格率低的商品适当增加其抽检频率；对于高温季节缩短商品的抽检周期等等策略，使改进后的抽检方法更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本，同时给人们一个安心舒适不再为食品安全的问题而发愁的生活！ 六、模型的评价在问题一中建立的层次分析综合评价模型，比较清晰、科学地对三危害因素做出了定量的比较评估分析，进行了并对各个危害因素进行了评价，便于有关部门参考。通过对整体和部分的分析与比较，得出的结果具有一定的准确性与可信性。整个数据繁多复杂，但我们选取三年具有一定联系的数据以及部分重要的数据，在建立层次分析法模型中，数据虽多但简单明了，便于计算决策。不过在此模型中也存在部分局限性，即模型中由定性到定量的转化过程中，没有统一的依据，没有相关的历史数据作为参考，部分数据难以形成统一的标准，因此在模型的求解过程中对数据的处理（例如判断矩阵的构造）存在一定的主观性。但是，由于层次分析法中对构造出的判断矩阵有一致性检验，因而只要通过一致性检验，就已经将由主观性造成的误差控制在合理范围内了，所得的结果也就具有较强的说服力。讨论过程中只考虑部分因素而忽略影响模型其它因素，可能对结果有一定的影响。总体来说，这种方法合理地给出了是三因素的变化趋势，而且从层次分析法所求得到的权重我们可以客观的评价其变化趋势的缘由，保证了对三因素的评价的科学性和准确性。这种方法在实际生活中不失为一种操作性极强而且应用范围广的方法，我们也可以把它应用于生活中的任何一方面，例如旅游问题等等。 对于问题二，本文对于各种因素对于销售额的影响建立了多元线性回归模型，全面综合考虑了各个地区的因素，避免了单一因素分析的不准确性，得出了合理的数学模型。较符合实际情况，模型可靠，并且模型相对简单，利于操作；该方法不仅适用于本题，也适用于其他方面的数据预测，有实际背景，可运用于实践，具有广泛适用性。但本文对于各种因素对于销售额的影响建立了多元线性回归模型，全面综合考虑了各个地区的因素，避免了单一因素分析的不准确性，得出了合理的数学模型。较符合实际情况，模型可靠，并且模型相对简单，利于操作；该方法不仅适用于本题，也适用于其他方面的数据预测，有实际背景，可运用于实践，具有广泛适用性。对于问题三，数据不够全面，导致部分分析无法很深入很透彻，但是我们结合了多种因素，尽可能的从多方面去考虑，使改进后的抽检方法更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本。 七、模型的改进与推广1、模型的改进本文在建立层次分析法的判断矩阵时，由于数据的分散性和匮乏，导致了在各因素的相对重要性的判断上的主观性太强，因此对此缺点作如下改进：在收集和整理大量数据的基础上建立一套完整的重要性评估体系，以便于进行科学的、准确的判断。对此，我们还查阅和整理了2013年的部分数据，用于检验模型的准确性。模型中得到最优回归方程的方法是从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子，这种方法是在不显著因子不多时采用，当不显著因子较多时，则工作量将会相当大，因为每剔除一个变量就得重新计算回归系数。2、模型的推广本文中的模型都是针对食品进行抽样检测，但值得注意的是，在生产实践中各种商品都要进行抽样检测，来确定它们的合格率。本文中的模型虽然是针对食品安全抽检建立的，但是它们在建立的过程中并没有受到食品行业相关因素的限制，因此我们可以将改进后的模型用于日常生产生活中的多种抽样检测，决策者只要将相应的因素进行分类，即可制定出最佳的抽检方案。若回归方程是拟合好的，就可以进一步利用它来进行预报和控制。预报问题，用统计数学的语言来说就是一个区间估计问题。在建立气象预报、地震预报、自动控制等数学模型时，都可以用到本文的模型。 八、参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第四版），高等教育出版社北京，2011年1月2 影响食品安全的因素及应对措施.孙玉清，王晓梅.中国食物与营养, 2007年第12期3 深圳市市场监督管理局网站4 数学建模论文_食品安全的抽检问题 附录问题一 通过对不合格产品的数据整理与分析，我们给出了准则层对方案层的判断矩阵A：（此矩阵A所得到的权重w表示在所有不合格产品中各分类产品所占比重）蔬菜水产品肉制品粮食制品饮品休闲食品调味品第八类w蔬菜11/21/21/31/2 1/51/3 1/60.0369水产品211 1/211/41/21/50.0596肉制品2111/211/41/21/50.0596粮食制品322121/3 1 1/40.1034饮品2111/211/41/21/50.0596休闲食品54434131/20.2376调味品322121/311/40.1034第八类655452410.3399 判断矩阵A一致性比例为：0.0011459，对总目标的权重为：1.0000方案层对准则层的判断矩阵分别为Ai，Bi，Ci（i=1,2,38) (Ai，Bi，Ci分别表示2010年，2011年，2012年各分类中重金属，微生物，添加剂的比重）2010年：蔬菜重金属微生物添加剂w1重金属11/21/50.1168微生物211/40.1998添加剂5410.6833水产 品重金属微生物添加剂w4重金属11/41/30.1220微生物4120.5584添加剂31/210.3196肉制 品重金属微生物添加剂w7重金属11/51/30.1095微生物5120.5816添加剂31/210.3090粮食制品重金属微生物添加剂w10重金属11/51/20.1283微生物5120.5954添加剂21/210.2764饮品重金属微生物添加剂w13重金属11/51/20.1220微生物5130.6483添加剂21/310.2297休闲食品重金属微生物添加剂w16重金属11/51/40.0974微生物5120.5695添加剂41/210.3331调味品重金属微生物添加剂w19重金属11/51/40.0974微生物5120.5695添加剂41/210.3331第八类重金属微生物添加剂w22重金属11/41/30.1220微生物4120.5584添加剂31/210.3196 2011年：蔬菜重金属微生物添加剂w2重金属121/30.2297微生物1/211/50.1220添加剂3510.6483水产品重金属微生物添加剂w5重金属11/41/40.1085微生物411/20.3445添加剂4210.5469 肉制 品重金属微生物添加剂w8重金属11/51/40.0974微生物5120.5695添加剂41/210.3331粮食制品重金属微生物添加剂w11重金属1520.5954微生物1/511/20.1