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直线和平面所成的角教学设计新人教版必修2教学目标：（1）知识目标：学生理解掌握直线和平面所成的角定义学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤. （2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力. （3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法.教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义. （2）求直线和平面所成的角的方法步骤.教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤教学方法：问题探索法及启发式讲授法教 具：多媒体及传统教具教学环节教学过程设计意图复习回顾一：复习提问直线与平面的位置关系有哪几种：直线在面内，直线和平面平行，直线和平面相交（对相交的情况作进一步的复习：当直线与平面相交而不垂直时指把这条直线称为这平面的斜线，从而提出第二个要复习的问题，设计的要复习问题的逻辑性，学生思考的层次一步步引导）如何做出一条斜线在一个平面内的射影？温故而知新：通过对旧知识的复习，为本节课的作出铺垫，并在原有知识上进一步展开创设情境电脑演示：倾斜的大树；因为倾斜而闻名的斜塔；高昂的塔克炮筒；发射导弹的壮观场面解说：在这些画面里都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子引导：把大树，斜塔，炮筒，导弹抽象成直线，把地面抽象地面，让学生画出抽象后的图象 在大部分学生画好以后，电脑演示出抽象后的图象从学生身边的实例入手，让学生体会到数学就在我们身边：来自于生活，又高于生活。同时又让学生动手，动脑，引起学生的学习兴趣导入新课引导：观察图象，可以看到这些直线相对于平面有着不同的倾斜程度提问1：如何刻划一条直线相对于平面的倾斜程度？因为在图中直线与平面给人以角的感受，并且在解析几何中学过用倾斜角来刻划直线的倾斜程度，学生会想到用角来刻划，根据学生的回答，接着提出下列问题提问2：用怎样的角来刻划直线相对与平面的倾斜程度呢？（生）思考教师揭示课题并板书课题引导：类比两条异面直线所成的角的定义，是把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角来定义，那么，直线与平面所成的角是否也可以转化为两条相交直线所成的角来定义呢？（1）通过老师的引导，提问使学生的思考层次逐渐深入（2）揭示本节课的研究对象，使学生明确了学习目标，并利用前位学习形成的思维习惯进行迁移，直接产生对新知研究内容、方式方法的影响。尝试探究一问题1：如果要转化两条直线所成的角，那么还需要要平面过斜足再作一直线，而过斜足在平面内可以作无数直线，用哪一条直线呢？尝试：学生动手，用手中的模型作以下尝试：过斜足任意作直线，用量角器量一量所作的直线与斜线所成的角的度数问题2：任作一条直线，它与斜线所成的角是否相同，那么这些角是否可刻划直线的倾斜程度？学生思考问题3：能否在平面内找到一条过斜足的直线，并且它随着斜线的确定而确定，使得它和斜线的夹角唯一确定 定义：平面的斜线与它在这个平面的射影的所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角斜线与平面平面的所成的角的范围（0, 90）（1）给学生以直观感性的认识，培养学生观察、表述，归纳的能力。（2）激发学生的思维力与想象力，能促进学生主动地探究知识,不断创新,有利于想象力、创造力的发挥。（3）在前面的复习的基础上，在学生通过问题引导，自主探究，合作交流，让学生感受到成功的快乐，学习的乐趣，也水到渠成地给出本节课第一个重点内容：斜线与平面所成的角的定义（4）在教学活动中，教师对学生的成果激励性评语给学生以充分的肯定，为学生今后的学习打下良好的心理基础，更进一步激发学习的兴趣深层次探究二问题4：如果把斜线与平面所成角改为直线与平面所成角，那么必须作何种补充？规定： 如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角。 直线和平面所成角的范围是： 0, 90趁热打铁，穷追不舍，由特殊推广到一般，符合学习，认识的一般规律与开头复习内容呼应，使所学的知识得以系统，完整例题示范例1：在单位正方体中，求：直线与平面所成角的正切值.强调：（1）求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.（2）求直线和平面所成的角的关键是作（找）斜线在平面内的射影.OABDC变式：在单位正方体中，求直线与截面所成的角.此题直接运用定义就可以得到结果，本题的目的进一步熟悉定义，运用定义，强化定义，为作此类题的步骤给出一个示范本题要想运用定义，条件不成熟，所以需要创设条件此题的目的：创设，运用的条件，从而来运用定义课堂练习求斜线和平面所成的角一般步骤作：作（或找）出斜线在平面上的射影证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算 针对练习形成技能归纳小结教学小结主要由学生讨论、小结得出，教师作适当的补充。1这节课学习的主要内容是什么？2这节课揭示了什么数学思想？3请同学们认真总结在探索和交流中的体会。（1）引导学生对所学知识、思想方法进行总结，力图达到使学生对所学知识结构进行编码处理，强化记忆的目的（2）引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中进行有效调控打下良好基础（3）激发引导学生大胆想象，完善学生个性心理品质和培养创造性思维的目的布置作业巩固提高作业一、在四棱锥中，平面，平分，为的中点，求直线与平面所成角的正切值 二：课后思考：根据直线和平面所成角的定义，结合我们前面学习的有关向量的知识，大家探讨：与斜线共线的向量与平面的法向量的夹角与斜线和平面所成角的关系，思考能否用向量的知识解决直线和平面所成角的问题呢？三：课外思考：搜集有关坦克发射时炮筒与地面所成的角的调整，如何才能准确击中目标搜集意大利比萨斜塔的有关信息，了解斜塔的纠斜进程（1）布置作业有弹性，避免一刀切使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥（2）给学生以主动思考的空间，提高学生综合素质使学生感到数学研究不仅仅是数学家的事，每个人都可以研究，生活中处处都有数学研究性题综合性大，主要是用于拓宽学生思维板书设计课题：7.4.1 1直线与平面所成的角的定义2、求直线和平面所成的角的一般步骤例1变式练习1练习2练习3小结作业反映教材的知识体系，符合总的教学目的，体现教学意图，注意教材的特点和学生的实际，渗透了教法附：2.3.1OAA直线和平面所成的角一、知识回顾1.直线和平面的位置关系： 二、内容详解1.斜线和平面所成的角的概念（1）斜线： ；（2）斜足： . （3）斜线在平面内的射影： 平面的一条斜线和它在这个平面上的 的所成的 角叫做斜线和这个平面所成的角2.重要说明：（1）如果直线和平面垂直，就说该直线和平面所成的角是 .（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说该直线和平面所成角是 .注意：直线和平面所成的角的范围是： .三、例题精讲： 例1：在单位正方体中，求直线与平面所成角的正切值.DCBCAD OABDC变式：在单位正方体中，求直线与截面所成的角.四、小试牛刀：1如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱的中点，求与平面所成角的正弦值2如图，四棱锥的底面是正方形，点E为PB的中点，求AE与平面PDB所成的角3如图，DC平面ABC，EBDC，AC=BC=EB=2DC=2，ACB=120，P,Q分别为AE，AB的中点.求AD与平面ABE所成角的正弦值.五、课堂小结： 1.直线和平面所成角的定义： 2.求直线和平面所成角的步骤： ； ； 六、课后作业：如图，在四棱锥中，平面，平分，为的中点，求直线与平面所成角的正切值
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