我对布丰投针概率公式的证明

我对“布丰投针概率公式”的证明索杨军2008年11月7日注：此文于2008年曾在澄城县教学论文大赛中获奖。翻阅初三数学课本，有幸看到布丰投针试验，非常有趣。在平面上画有间距为d的平行线，针的长度是l，ld，将针随意投在平面上，求针与平行线相交的概率。早在二百多年前，法国数学家布丰就证得此概率p（2l）/（d），如此简洁美丽，令人惊叹称奇。经过半天的苦苦思索，终于也证得此式。猛然间看起来，想证两条线相交的概率，绝非易事，好似无从下手，但仔细想来，还是有章可循。当针的中点O落在平面某一点O 时，所有的可能性形成了一个圆，其面积如图1的S1： S1=l24 此时，针与平行线相交的所有可能性是两个扇形，其面积如图2的S2： S2=l242cos-12xl=l22cos-12xl 其中，x为O到平行线的距离，看图2的注解。到此为止，解决问题的关键还在于选取一个最小的基本单元一条竖直线段，这条竖直线段长d/2，一端在平行线上，见图3的单元线段。让O在其上移动，这样，所有的可能性形成一个圆柱，其体积如图3的V1： V1=S1d2=l2d8 此时，针与平行线相交的可能性类似于一个锥体，其体积的微分如图4的dV2： dV2=S2dx=l22cos-12xldx 针要与平行线相交，其中点O与平行线距离X不能大于l/2，故：x 0，l 2对其求定积分，不难得出特殊锥体的体积： V2=0l2dV2=0l2l22cos-12xldx=l34 积分时要注意扇形半角的范围，即：0 于是有 cos-11=02则针与平行线相交的概率为： p=V2V1=2ld 证毕。点评：从以上证明过程可以看出，难点不在于计算，而在于两次抽象。首先让针的中点绕基本单元线段上的某点转动，积分得出两个面积之比，然后再让针在基本单元线段上平动，积分得出两个体积之比。不久，向一位好友发出邀请，探求他的新证法，以便交流，看能发现什么规律。虽然未果，但却有意外收获，从他的“概率论”上查得当代数学家的证明，附录如下：如图5所示，设针与平行线的夹角为，则0；设针的中点O到平行线的距离为x，则相交时满足：xl2sin先保持不变，跟上面的证法类似，让针的中点O在最小的基本单元线段（一条竖直线段，这条竖直线段长d/2，一端在平行线上）上平动，则点O所有的可能性将形成一条线段轨迹，正好是单元线段本身，如图6的l1，其长度： l1 = d 2 此时，针与平行线相交的可能性也是一条线段轨迹，如图7的l2，其长度： l2 =l2sin 然后让变化（注意：O仍在基本单元线段上），即让针在0到之间转动，则所有的可能性形成一个矩形，长为，宽为d/2，其面积如图8的S1： S1 =d 2 此时，针与平行线相交的所有可能性是一条正弦曲线与 轴围成的面积，如图8的S2，其面积的微分dS2是： dS2=l 2 sind 对其求定积分，容易得出S2的面积为： S2 =0dS2=0l 2 sind = l 则针与平行线相交的概率为： p=S2S1=2 ld 证毕。注：原证明过程相对粗糙，插图只有5和8，外加一个综合算式，较难看懂，为方便读者透彻理解，笔者增加了图6、图7 以及讲解部分，且对图8进行了加工处理。点评：从以上证明过程可以看出，难点也不在于计算，仍在于两次抽象。首先让针的中点在基本单元线段上平动，积分得出两个长度之比，然后再让针在基本单元线段上转动，积分得出两个面积之比。比较两种证法，获益匪浅：1. 大同。难点和关键都在于去粗取精、去伪存真，灵活机动地放弃无穷大平面，紧紧瞄准一个基本单元，进行单独分析，即可迎刃而解，更为神奇的是，二者选中的单元线段竟不谋而合，殊途同归，难道巧合？绝非，它揭示了投针概率的本质特点，也是抽象思维的的必然产物。此外，数学工具都涉及到微积分，解题过程都分为六个步骤。2. 小异。前者先将线积成面，再将面积成体，得到体积之比；后者直接将针看作点，先将点积成线，再将线积成面，得到面积之比。后者简化了一维空间，为何会造成此差别？根本原因在于颠倒了积分顺序，前者先转动后平动，后者先平动后转动。平动时可将针抽象为一个点，而转动时却不能。总之，不管是思想和方法，还是工具与步骤，都完全一致，只是后者更加抽象，稍难理解却换来了计算量的简化，有失有得，得大于失。可见，对于多重积分，适当选取积分顺序，可避免繁琐计算。至于布丰如何证得，笔者无法考证，但有一点是肯定的，即使对于一个当时著名的数学家，有着非凡的数学思想，但在微积分这一数学工具尚不完善的时代，证得此公式还是稍微有些难度的。5