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04. 三角函数知识要点1. 与 （ 0 360 ）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）： |k 360, k Z终边在 x 轴上的角的集合：|k180, kZ终边在 y 轴上的角的集合：|k 18090 , kZ终边在坐标轴上的角的集合：|k90 , kZ终边在 y=x 轴上的角的集合：|k18045 , kZy32sinxsinx41cosxcosxxcosxcosx14sinxsinx23SIN COS三角函数值大小关系图终边在yx 轴上的角的集合：|k18045 , kZ1、 2、3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：360k若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：360k 180若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360 k902. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad 180 57.30 =57 181 0.01745（ rad）1803、弧长公式： l| | r.扇形面积公式：s扇形1 lr1 | | r 2224、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于y原点的）一点Pa的终边y（ x,y ） P 与原点的距离为r ，则y ；x ；sincostanrrP （ x,y )xx ；r ； .r .rcotseccscoxyxy5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余yyy+-+-+oxo+ xox-+-弦）yTPOMA x正弦、余割余弦、正割正切、余切6、三角函数线16. 几个重要结论:(2)y(1)y正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： AT.|sinx|cosx|sinxcosx|cosx|sinx|cosx|sinx|OxOxcosxsinx第 1 页 共 6 页|sinx|cosx|(3) 若 ox2 ,则sinxxtanx7. 三角函数的定义域：三角函数f ( x)sinxf ( x)cosxf ( x)tanxf ( x)cotxf ( x)secxf ( x)cscx8、同角三角函数的基本关系式：tancot1 cscsin1sin 2cos21sec2tan 2定义域x | xRx | xRx | xR且 x k1, k Z2x | xR且xk, kZx | x R且 x k1, k Z2x | xR且xk, kZsintancoscotcossinseccos11csc2cot 219、诱导公式：把 k的三角函数化为的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式： （一）基本关系公式组一公式组二sinxcscx=1sin x22sin(2ktanx=sin x+cos x=1cos xcos(2kx= cos xcosx secx=11+tan2 x =sec2xtan(2ksin xcot(2ktanxcotx=11+cot2x=csc2 x公式组四公式组五公式组六sin(x)sin xsin(2x)sin xsin(x)sin xcos(x)cos xcos(2x)cos xcos(x)cos xtan(x)tan xtan(2x)tan xtan(x)tan xcot(x)cot xcot(2x)cot xcot(x)cot x（二）角与角之间的互换公式组一公式组二cos()coscossinsinsin 22 sincoscos()coscossinsincos 2cos2sin 2sin()sincoscossintan 22 tan1tan2sin()sincoscossinsin1cos22tan()tantancos1cos1 tan tan22公式组三x)sin xsin(x)sin xx)cosxcos(x)cos xx)tan xtan(x)tan xx)cot xcot(x)cot x2 cos21 1 2 sin 2第 2 页 共 6 页tan(tantantan1cossin1 cos)tantan21cos1cossin1公式组三公式组四公式组五sincos1 sinsin12 tan2)sincos(sin2cossin1 sinsin21tan221)cos21 cossin(coscoscos2tan22tan(1)cot12sinsin1coscoscos22tan2cos( 112sinsin2 sin2cos)sin22sinsin2 cossin2 tan1)cot222tan(tancoscos2coscos21tan22212coscos2 sinsinsin()cos222sin 15cos 7562 , sin 75cos15642 , tan15 cot 7523 , tan75cot152 3 .410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y sin xy cosxy tan xy Asinxy cot x 0）（ A 、定义域RR值域1, 11, 1周期性22奇偶性奇函数偶函数x | x R且x k1, k Zx | xR且 x k , kZR2RRA, A2奇函数奇函数当0, 非奇非偶当0, 奇函数2k,222k 上 为 增 函数；单调性2k,232k2上 为 减 函数（ k Z ） 2k1 , ；k,kk , k1 上为减函2k2k22数（ kZ ）2( A),上 为 增 函上为增函数数（ kZ ）2k1 2k,2(A)2k1 上 为 减 函上为增函数；数2k（ kZ ）2(A),2k32(A)上为减函数（ kZ ）第 3 页 共 6 页注意： ysin x 与 ysin x 的单调性正好相反；ycos x 与 ycos x 的单调性也同样相反.一般地，若yf ( x) 在 a, b 上递增（减），则 yf ( x) 在 a, b 上递减（增） .sin x 与 ycosx 的周期是 .y y ysin(x) 或 ycos( x) （0）的周期2.TxxOy的周期为 2（TT2，如图，翻折无效） .tan2 ysin(x) 的对称轴方程是xk（ k Z ），对称中心（ k,0 ）； ycos( x ) 的对称轴方程是2xk（ kZ ），对称中心（k1,0）； ytan(x) 的对称中心（ k,0 ） .22ycos 2 x原点对称ycos( 2x )cos 2 x当tantan1,k(kZ )； tantan1,k(kZ ).22 ycosx 与 ysinx22k是同一函数 ,而 y( x) 是偶函数，则y(x)sin( xk1 )cos( x).2函数 ytan x 在 R 上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， ytan x 为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数：f ( x)f ( x) ，奇函数： f ( x)f (x) ）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： ytan x是奇函数， ytan( x1) 是非奇非偶 .（定义域不关于原点3对称）奇函数特有性质：若0x 的定义域，则f ( x) 一定有 f (0)0.（ 0x 的定义域，则无此性质） ysin x 不是周期函数；y sin x 为周期函数（ T）；yyx1/2ycos x 是周期函数（如图） ； ycos x 为周期函数（ T）；xy= cos|x| 图象y=| cos2x+1/2|图象1y的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：cos2 x2yf ( x) 5f ( x k), kR . ya cosb sina2 b 2 sin()cosb有 a 2b 2y .a11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.第 4 页 共 6 页）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等2，频率 f1| |，相位 x ;初相 （即当 x 0函数 y Asin （ x ）的振幅 |A| ，周期 TT2|时的相位） （当 A 0， 0 时以上公式可去绝对值符号） ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0|A| 1）到原来的 |A|倍，得到 y Asinx 的图象，叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y）由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0 | | 1）或缩短（ | |1）到原来的 | 1 |倍，得到 y sin x 的图象，叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 (用 x 替换 x)由 y sinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 y sin（ x ）的图象，叫做 相位变换 或叫做沿x 轴方向的平移 (用 x替换 x)由 y sinx 的图象上所有的点向上（当b 0）或向下（当 b 0）平行移动 b个单位，得到 ysinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+(-b) 替换 y）由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin （ x ）（ A 0， 0）（ x R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数 y sinx， x，的反函数叫做 反正弦函数 ，记作 y arcsinx，它的定义域是 1，1，值域是 ， 2222函数 y cosx，（x 0，）的反应函数叫做反余弦函数 ，记作 y arccosx，它的定义域是 1，1，值域是 0， 函数 y tanx， x，的反函数叫做 反正切函数 ，记作 y arctanx，它的定义域是（，），22值域是，22函数 y ctg x， x（ 0， ）的反函数叫做反余切函数 ，记作 y arcctgx，它的定义域是（，），值域是（ 0， ）II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：反正弦函数yarcsin x 是奇函数，故 arcsin( x)arcsin x ， x1,1 （一定要注明定义域，若 x,，没有 x 与 y 一一对应，故ysin x 无反函数）注： sin(arcsin x)x ， x1,1 ， arcsin x2,.2反余弦函数 yarccos x 非奇非偶，但有arccos(x) arccos(x)2k ， x1,1 .注： cos(arccos x)x ， x1,1 ， arccosx0,. y cos x 是偶函数， y arccosx 非奇非偶，而ysin x 和 yarcsin x 为奇函数 .反正切函数：yarctanx ，定义域 ( ,) ，值域（, ）， yarctanx 是奇函数，arctan( x)arctan x ， x (22,) .第 5 页 共 6 页注： tan(arctan x)x ， x(,) .反余切函数：yarc cot x ，定义域 (,) ，值域（2,）， yarc cot x 是非奇非偶 .， x2arc cot(x) arc cot( x)2k(,) .注： cot( arc cot x)x ， x(,) .y arcsin x 与 yarcsin(1x) 互为奇函数， yarctanx同理为奇而 yarccosx 与 yarc cot x 非奇非偶但满足 arccos( x) arccos x2k, x1,1 arc cot xarc cot(x)2k, x 1,1 . 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围解集a 的取值范围解集 sin xa 的解集 cos xa 的解集a 1a 1a =1x | x2karcsin a, kZa =1x | x2karccosa, kZa 1x | xk1 karcsin a, kZa 1x | xkarccosa, kZ tan xa 的解集： x | xkarctan a, kZ cot xa 的解集： x | xkarccota, kZ二、三角恒等式 .组一.cos2 nsin 2n 1sin 33sin4 sin3sin2sin2sinsincos cos2 cos42 n1 sincos34 cos33coscos2cos2组二nsin1 coscoscoscoscosk2 k2482 n2nsin2 nnsin( n 1)d ) cos(x nd )cos(xkd)cos xcos(xd )cos(xnd )sin dk0nsin( n1)d) sin( xnd )sin( xkd )sin xsin( x d )sin( xnd )sin dk0tan()tantantantan tantan1tantantantantantan组三 三角函数不等式sin x x tan x, x(0,)f (x)sin x 在 (0,) 上是减函数2x若 A BC，则 x2y 2z 22 yz cos A2xz cos B2xy cos C第 6 页 共 6 页
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