同济高数教案

教学目的：第一章函数与极限1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、掌握极限的性质及四则运算法则。7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质。教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用。 1 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合（简称集）：集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A, B, C.等表示 .元素：组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为a?M集合的表示:列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来.例如 A?a, b, c, d, e, f , g.描述法：若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表小为A? a1, a2, ? ? ?,an,M?x | x 具有性质 P .例如 M?( x, y)| x, y 为实数 , x2?y2?1.几个数集 :N 表示所有自然数构成的集合 , 称为自然数集.N?0, 1, 2, ?, n, ?.N?1, 2, ?, n, ?.R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集.Z?, ? n, ?, ?2, ?1, 0, 1, 2, ?, n, ?.Q 表示所有有理数构成的集合 , 称为有理数集.子集：若x?A则必有x?B,则称A是B的子集，记为A?B(读作A包含 于 B) 或 B?A .如果集合A与集合B互为子集,A?B且B?A则称集合A与集合B相等，记 作 A?B.若A?B且A?B则称A是B的真子集，记作A B.例如，N Z Q R.不含任何元素的集合称为空集, 记作 ?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A 与 B 的 并集 （ 简称并 ）, 记作 A?B, 即A?B? x| x?A 或 x?B.设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A 与 B 的 交集 （ 简称交 ）, 记作 A?B, 即A?B? x| x?A 且 x?B.设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A 与 B 的 差集 （ 简称差 ）, 记作 A B, 即A B? x| x?A 且 x?B.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行 , 所研究的其他集合A都是I的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集.称IA为人的余集或补集 , 记作AC.集合运算的法则 :设 A、 B、 C 为任意三个集合, 则(1) 交换律 A?B?B?A, A?B?B?A;(2) 结合律 ( A?B)?C?A?( B?C), ( A?B)? C?A?( B?C);(3) 分配律 ( A?B)?C?(A?C)?( B?C), ( A?B)?C?(A?C)?( B?C);(4) 对偶律 ( A?B) C?AC ?BC, ( A?B) C?AC ?BC.(A?B)C?AC ?BC 的证明：x?(A?B)C?x?A?B?x?A且 x?B?x?AC且 x?BC ?x?AC ?BC,所以(A?B) C?AC ? BC.直积 ( 笛卡儿乘积):设 A、 B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素 , 它们全体组成的集合称为集合 A与集合B的直积，记为A?B,即A?B?( x, y)|x?A且 y?B.例如，R?R?( x, y)| x?R且y?R即为xOy面上全体点的集合，R?R常 记作R2.3. 区间和邻域有限区间 :设 ab, 称数集 x| axb 为开区间 , 记为 (a, b), 即a, b)? x| axb.类似地有 a, b ? x | a ?x?b 称为闭区间 , a, b) ? x | a?xb 、 ( a, b ? x | ax?b 称为半开区间 .其中 a 和 b 称为区间 ( a, b) 、 a, b 、 a, b) 、 ( a, b 的端点 , b?a 称为区间的长度 .无限区间 : a, ?) ? x | a?x , (?, b ? x | x b , (?, ?)? x | | x | ?.区间在数轴上的表示:邻域 : 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域 , 记作 U(a).设?是一正数, 则称开区间 ( a?, a?) 为点a 的?邻域 , 记作 U(a, ?), 即U ( a, ?)? x | a? x a?x | |x?a| ?.其中点 a 称为邻域的中心, ? 称为邻域的半径.去心邻域 U ( a, ?):U (a, ?)? x |0 | x ?a |1 时，y?1?x.例如 f(1) 2, 1 2; ”1) 2 1 2； f(3)?1?3?4.2.函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D数集X?D如果存在数Ki,使对任一 x?X,有 f(x)?K,则称函数f(x)在X上有上界，而称K为函数f(x)在X上的一个上 界.图形特点是y?f(x)的图形在直线y?Ki的下方.如果存在数K2,使对任一 x?X,有f(x)? K2,则称函数乂)在*上有下 界，而称K为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是，函数y?f(x)的图 形在直线y?K的上方.如果存在正数M使对任一 x?X,有| f(x) |? M则称函数乂)在*上 有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界.图形特点是，函数 y?f(x)的图形在直线y? ?M和y ? M的之间.函数f(x)无界，就是说对任何M总存在xi?X,使| f(x) | M例如(1) f(x)?sin x 在(?？, ?)上是有界的：|sin x|?1.(2)函数f(x)工在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0, 1)内有 x下界，无上界.这是因为，对于任一 M1,总有x/?0均 21,使Mf(Xi)所以函数无上界.函数f(x) 1在(1,2)内是有界的. x(2)函数的单调性设函数y ? f(x)的定义域为D,区间I ?D如果对于区间I上任意两点X1及X2,当XlX2时，何有f(Xi) f(X2),则称函数f(X)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点Xi及X2,当X1 f (X2),则称函数f(X)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例：函数y ? X2在区间(?？, 0上是单调增加的，在区间0, ?)上是单调减 少的 , 在( ?, ? )上不是单调的 .(3) 函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x?D,则？x?D).如果对于任一 x?D, 有f(?x) ? f(x),则称f (x) 为偶函数.如果对于任一x?D,有f(?x) ? ? f(x),则称f (x) 为奇函数.偶函数的图形关于 y 轴对称 , 奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例 :y ?x2, y?cos x 都是偶函数. y?x3, y?sin x 都是奇函数, y?sin x?cos x是非奇非偶函数.(4) 函数的周期性设函数f(x)的定义域为D如果存在一个正数l ,使得对于任一 x?D有(x?l )? D, 且f(x?l ) ? f(x)则称 f (x) 为周期函数, l 称为 f (x) 的周期 .周期函数的图形特点 : 在函数的定义域内 , 每个长度为 l 的区间上 , 函 数的图形有相同的形状.3 反函数与复合函数反函数 :设函数f : D?f(D)是单射，则它存在逆映射f?1: f(D)?D,称此映射f ?1 为函数 f 的反函数 .按此定义 , 对每个 y?f(D), 有唯一的 x?D, 使得 f(x)?y, 于是有?1f (y)?x.这就是说 , 反函数 f ?1 的对应法则是完全由函数f 的对应法则所确定的 .一般地，y?f(x), x?D 的反函数记成 y?f?1(x), x?f(D).若f是定义在D上的单调函数，则f : D?f(D)是单射，于是f的反函数 f?1必定存在，而且容易证明f ?1也是f(D)上的单调函数.相对于反函数y?f?1(x)来说，原来的函数y?f(x)称为直接函数.把函数y?f(x)和它的反函数y?f ?1( x) 的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y?x 是对称的 . 这是因为如果P(a, b)是y?f (x)图形上的点,则有b?f(a).按反函数的定义,有 a?f ?1(b),故 Q(b, a)是 y?f ?1(x)图形上的点；反之，若 Qb, a)是 y?f?1(x) 图形上的点，则P(a, b)是y?f (x)图形上的点.而P(a, b)与Qb, a)是关于 直线 y?x 对称的 .复合函数 :复合函数是复合映射的一种特例 , 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述 .设函数y?f(u)的定义域为Di,函数u?g(x)在D上有定义且g( D)? Di,则 由下式确定的函数y?fg(x), x?D称为由函数u?g(x)和函数y?f(u)构成的复合函数，它的定义域为D,变量u 称为中间变量.函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 f g , 即( f g)?fg(x).与复合映射一样，g与f构成的复合函数f g的条件是：是函数g在D 上的值域g(D)必须含在f的定义域Df内，即g(D)?Df.否则，不能构成复合 函数.例如，y?f (u)?arcsin u,的定义域为?1, 1, u g(x) 2N时的一切xn?不等式|Xn?a |0?要使|Xn?1|? ?只要 ？即门口？ n证明？因为？ ?0, ? N - ?N?当n?N时？有|Xn?1|? |n( 1)n 1 1| 1?n n所以 lim n ( 1)n 1 1? n n例2?证明lim 0? n (n 1)2分析？ | Xn?0| |( 0|，？(n 1)2(n 1)2 n 1对于？ ?0?要使|Xn?0|? ?只要吉 ？即门1 1证明？因为？ ?0? ? N - 1 ?N?当n?N时？有|Xn?0|?l峰 01 符所以lim n(1)n(n 1)20?例3?设|q |0?要使|xn?0|?| q n?1?0|?| q| n?1log|q|? ?1 就可以了 ?故可取 N?log |q|? ?1 0证明？因为对于任意给定的？ 0?存在N? log ni? ?1?当n?N时？有| q n?1?0|?| q| n?1? ?所以lim qn 1 0?收敛数列的性质？n定理1（极限的t一性）数列Xn不能收敛于两个不同的极限？证明？假设同时有lim xn a及lim xn b?且a0?存在充分大的正整数N?使当nN时？同时有|xn?a| b2a 及|xn?b|N时的一切Xn ?不等式 | Xn?a|N时？|xn|?|（ xn ?a）?a|?|xn?a|?| a|0? ? N?N+?当n?N时？有|xn?a|? ?取 K?N?则当 k?K时？ nk?k?K?N?于是| xnk?a|? ?这就证明了lim xn a ?kk讨论 ?1?对于某一正数？ o?如果存在正整数 N?使得当n?N时？有| xn?a|? ? 0?是否有 xn ? a ( n ?)?2?如果数列Xn收敛？那么数列Xn 一定有界？发散的数列是否一定无界 ? 有界的数列是否收敛?3? 数列的子数列如果发散? 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛?但其极限不同 ? 原数列的收敛性如何 ?发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列1? ?1? 1? ?1? ? ? ? （?1）N?1? ? ? ? 是发散的？ 1? 3 函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势?X 无限接近X0 ? X?X0?X从X0的左侧（即小于Xo）无限接近Xo ? X?X0?X从Xo的右侧（即大于Xo）无限接近Xo ? X?Xo?X 的绝对值 | X| 无限增大 ? X?X 小于零且绝对值| X| 无限增大? X?X 大于零且绝对值| X| 无限增大? X?1 自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义？如果当x无限接近于X0 ?函数f(x)的值无限接近于常数 A?则称当x 趋于X0时？ f (x)以A为极限？记作lim f(x)?A或 f(x)?A(当 x?x。)? x x0分析？在x?x0的过程中？ f(x)无限接近于A就是|f(x)?A能任意小？或 者说?在x与xo接近到一定程度(比如|x?xo? ?为某一正数)时? | f(x)?A 可以小于任意给定的(小的)正数？?即？f (x)?A|? ?反之？对于任意给定的 正数？ ？如果x与xo接近到一定程度(比如|x?xo|? ?为某一正数)就有 |f(x)?A|? ?则能保证当x ?xo时？ f(x)无限接近于A?定义1设函数f (x)在点xo的某一去心邻域内有定义？如果存在常数A?对 于任意给定的正数？(不论它多么小)?总存在正数？使得当x满足不等式 0|x?xo?时？对应的函数值f(x)都满足不等式 | f(x)?A? ?那么常数A就叫做函数切当乂 ？x0时的极限？记为lim f(x) A或 f (x)?A(当 x?xo)? x xo定义的简单表述？lim f(x) A?0? ?0?当 0?|x?x0|?时？ | f(x)?A|? ?x %函数极限的几何意义例1?证明lim c c? x X0证明？这里|f(x)?A|?| c?c|?0?因为？?0?可任取？?0?当0?| x?xo|? ?时？有|f(x)?A|?| c?c|?0? ?所以lim c c? x x0例2?证明lim x x0 ? x x分析？ |f(x)?A|?| x?x0|?因此？0?要使|f(x)?A|?只要？x?x0?证明？因为？?0? ? ?当 0?| x?x0|? ?时？有|f(x)?A?| x?x0|? ? ? 所以 lim x x0? x x0例 3?证明 lim (2x 1) 1? x 1分析？ |f(x)?A?|(2 x?1)?1|?2| x?1|? ?0?要使 | f(x)?A|?只要 |x 1| -?证明？因为?0? ? /22 ?当 0?|x?1?时？有|f(x)?A|?|(2 x?1)?1|?2| x?1?所以 lim(2x 1) 1 ? x 1例4?证明lim2? x 1 x 1分析？注意函数在x?1是没有定义的？ 无关系？.一 一 一 ，一 一 一一 x2 1 _ _ _ _ 当 x?1 时？ | f(x)?A| |= 2|?|x?1? ?x 1| x?1? ?证明？因为?0? ?x2 1f(x)?A |2|?|x?1|? x 1所以limx2?x 1 x 1单侧极限？若当x?x0?时？ f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫做函数f(x)当x?x0时的左极限 记为 lim f (x) A或 f(x0)?A ?x xo若当x?x0时？ f(x)无限接近于某常数A但这与函数在该点是否启极限并? ?0?要使 |f(x)?A|? ?只要当 0?|x?1?时？有 |A ?y/y?x?11 卜？iA?x/?1y?x?1Z则常数A叫做函数f(x)当x?xo时的右极限？记为lim f(x) A或f(x0.)?A ? x x0讨论 ?1?左右极限的?定义如何叙述?2? 当x?x。时函数f(x)的左右极限与当x?x。时函数f(x)的极限之间的关系怎样 ?提示 ? 左极限的 ? - ? 定义：lim f(x) A?0? ?0? ?x? xo?x?xo?有|f(x)?A?x x0lim f(x) A?0? ?0? ?x? x0?x?x0? ? 有| f(x)?A|X时？对应的函数数值 f(x)都满足不等式| f (x)?A|?则常数A叫做函数乂)当乂?时的极限？记为lim f(x) A 或 f(x)?A(x?)?lim f(x) A? ?0? ?X?0?当|x|?X时？有|f(x)?A? ?类似地可定义lim f (x) A和 lim f (x) A?xx结论？ lim f (x) A? lim f (x) A且 lim f(x) A? xxx极限lim f (x) A的定义的几何意义x例6?证明lim 1 0 ? x x111分析？ |f(x) A| |- 0| ? ? ?0?要使 |f(X)?A? ?只要 |x|,？ x|x|证明？因为？?0? ? X 1 0?当 |x|?X时？有|f(x) A| |1 0| ?x |x|所以lim 1 0 ? x x直线y?0是函数y 1的水平渐近线？ x一般地？如果！im f(x)c?则直线y?c称为函数y?f(x)的图形的水平渐 近线？二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果极限lim f(x)存在？那么这极限唯一 ？ x x0定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)?A(x?x。)？那么存在常数 M?0和？使得当0?|x?x0|?时？有 | f (x)|? M?证明 因为f (x)?A(x?x。)？所以对于？ ?1? ?0?当0?|x?x0|?时？有| f (x)?A|? ?1?于是|f(x)|?| f(x)?A?A?| f(x)?A?| A|?1?| A|?这就证明了在x。的去心邻域x| 0?| x?xo? 内? f(x)是有界的？定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)?A(x?x。)？而且A?0(或A?0)?那么存在常数？?0?使当 0?|x?xo?时？有 f(x)?0(或 f(x)?0)?证明？?就A?0的情形证明？因为lim f(x) A?所以对于金？ ? ?0?当0?|x?x0|?时？有x x02A AA|f(x) A| 万？A - f(x)?f(x) -?0?定理3?如果f (x)?A(x?x)( A?0)?那么存在点x0的某一去心邻域？在该邻域内？ -1 .一有 |f(x)| 2|A|?推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)?0(或f(x)?0)? 而且f (x)? A x?x)?那么 A?0(或 A?0)?证明 ? 设 f ( x)?0? 假设上述论断不成立? 即设 A0? 那么由定理1 就有X0的某一去心邻域？在该邻域内f (x)?0?这与f (x)?0的假定矛盾？所以A?0?定理 4( 函数极限与数列极限的关系 )如果当X?X0时f(x)的极限存在？ Xn为f(x)的定义域内任一收敛于 X0的数列 ? 且满足xn?x0(n?N?)? 那么相应的函数值数列f(xn) 必收敛? 且lim f (xn) lim f (x) ? nx x0证明设 f(X)?A(X?X0)?则？ ?0? ? ?0?当 0?|X?X0?时？有| f (x)?A|? ? ?又因为 Xn?X0(n?)?故对？ ？0? ? N?N?当 n?N时？有| Xn?x0|? ? ?由假设？ Xn ?X0( n?N?)?故当 n?N 时？ 0?| x n?x。|? ? ?从而 | f (x n)? A? ? ?即 1? 4 无穷小与无穷大一、无穷小如果函数f(X)当X?X0(或X?)时的极限为零？那么称函数f(x)为当X?X0(或X?)时的无穷小？特别地？以零为极限的数列Xn称为n?时的无穷小？例如？因为liml 0?所以函数1为当x?时的无穷小？ x xx因为lim(x 1) 0?所以函数为x?1当x?1时的无穷小？ x 1因为lim，0?所以数列工为当n?时的无穷小？ n n 1n 1讨论？很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示？无穷小是这样的函数？在x?x0(或x?)的过程中？极限为零？很 小很小的数只要它不是零？作为常数函数在自变量的任何变化过程中 ？其极 限就是这个常数本身？不会为零？无穷小与函数极限的关系？定理1在自变量的同一变化过程x?x0(或x?)中？函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)?A?其中？是无穷小？证明？设 lim f(x) A? ? ?0 ? ? ? ?0?使当 0?| x?x0? ?时？有 x x0| f(x)?A|? ?令？?f(x)?A?则？是x?x。时的无穷小？且f(x)?A?这就证明了 f(x)等于它的极限A与一个无穷小？之和？反之？设f(x)?A? ?其中A是常数？ ？是乂?乂。时的无穷小？于是|f(x)?A?| ?|?因？是x?xo时的无穷小？ ？ ?0 ? ? ? ?0?使当0?| X?Xo|? ?有|?|?或|f(x)?A|?这就证明了 A是f(x)当？ x?x0时的极限？简要证明？令？?f(x)?A?则|f(x)?A?| ?|?如果？ ?0 ? ? ? ?0?使当 0?|x?x0|?有 f(x)?A|?就有 |?|? ?反之如果？ ?0 ? ? ?0?使当 0?|x?x0|?有 |?|?就有 f (x)?A? ?这就证明了如果A是f(x)当？ x?x0时的极限？则？是x?x0时的无穷小？如果？是x?x。时的无穷小？则A是f(x)当？ x?x。时的极限？类似地可证明x?时的情形？例如？因为爰3 2x3?而!im50?所以xim姜I?、无穷大如果当X?Xo(或X?)时？对应的函数值的绝对值|f(X)|无限增大？就称函数f(x)为当X?Xo(或X?)时的无穷大？记为(或 Hm f(X)?应注意的问题？当X?X0(或X?)时为无穷大的函数f(X)?按函数极限定 义来说？极限是不存在的？但为了便于叙述函数的这一性态？我们也说“函 数的极限是无穷大” ？并记作lim f (x)(或 lim f (X)?X XX讨论？无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大？提示？ lim f(X)?M?0? ? ?0?当 0?|x?Xo?时?有|f(X)|? MX X0正无穷大与负无穷大？lim f (x)? lim f (x)?X X0x x0(X )(X )例2证明lim ?x 1 x 11 .证 因为？M?0? ?疝？当0?|x?1?时？有1八| | M ? q i1所以lim x 1 x 1提示？要使小看m?只要1x 1?铅直渐近线？如果lim f(x) ?则称直线x沏是函数y?f(x)的图形的铅直渐近线？ x xo例如？直线x?1是函数y工的图形的铅直渐近线？定理2(无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中？如果f(x)为无穷大？则,为无穷小？反之？如果f(x)为无穷小？且f(x)?0?则，为无穷大？ f(x)f(x)简要证明？1,如果 lim f(x) 0?且 f(x)?0?那么对于? ?0?当 0?|x?xo?x xoM时？1有|f(x)lMT?由于当 0?|x?x0?时？ f(x)?0?从而所以，为X?Xo时的无穷大？ f(x)如果 lim f(x) ?那么对于 M 1? ?0?当 0?|x?x0 ?时？ x x0有|f(x)| M 1? gp |L| ?所以为x?x时的无穷小？ f (x)简要证明？如果 f (x)?0(x?xo)且 f (x)?0?则？? ?0? ? ?0?当 0?|x? x0|?时？有|f(x)|? ? ?即？所以 f (x)?( x?x。)？如果 f (x)?(x?x。)？则？M?0? ?0?当 0?|x? x0|?时?有|f(x)|? M?即？所以 f (x)?0( x?x。)？ 1? 6极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小？例如？当x?0时？ x与sin x都是无穷小？ x?sin x也是无穷小？简要证明？设？及？是当x?x。时的两个无穷小？则？ ?0? ?1?0及？2?0?使当 0?| x?x0|? ?1?时？有| ?|? ?当 0?| x?x0|? ?2?时？有| ?|? ? ?取？min?i? ?2?则当 0?|x?x0?时？有| ?|?| ?|?| ?|?2 ? ?这说明？?也是无穷小？证明？考虑两个无穷小的和？设？及？ 是当 X?X0时的两个无穷小？而？ ？?？ ？任意给定的？ ？0?因为？是当X?X0时的无穷小？对于-?0存在着？1?0?当0