全国高中数学联合竞赛一模拟试题及答案

1 20142014 年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 6464 分分. . 1 1 已知 已知A=A= x x| |x x2 24 4x x+30+344 或或 00 x x1 1 或或 11x x 722 6 6、【解】首项为【解】首项为 a a 为的连续为的连续 k k 个正整数之和为个正整数之和为21212kkkkaSk 由由 SkSk20002000，可得，可得 6060k k62.62. 当当 k=60k=60 时，时，Sk=60a+30Sk=60a+305959，由，由 SkSk20002000，可得，可得 a a3 3，故，故Sk=1830,1890,1950Sk=1830,1890,1950； 当当 k=61k=61 时，时，Sk=61a+30Sk=61a+306161，由，由 SkSk20002000，可得，可得 a a2 2，故，故 Sk=1891Sk=1891，19521952； 当当 k=62k=62 时，时，Sk=62a+31Sk=62a+316161，由，由 SkSk20002000，可得，可得 a a1 1，故，故 Sk=1953.Sk=1953. 于是，题中的于是，题中的 n n 有有 6 6 个个. . 7 7、【解】令【解】令 lglgx=tx=t，则得，则得t t2 22 2= = t t 作图象，知作图象，知t=t=1 1，t=t=2 2，及，及 11t t22内有一解当内有一解当 11t t22 时，时， t t = =1 1，t=t=3 3故得：故得：x=x=1 11010，x=x=100100，x=x=10103 3，即，即共有共有 3 3 个实根。个实根。 8 8、【解】首先【解】首先q q1 1，于是，于是，a a1 1q q1 1( (q q10101)1)= =1010，a a1 1q q1 1( (q q30301)1)= =7070， q q2020+ +q q1010+1+1= =7 7q q1010= =2 2( (3 3 舍舍) ) S S4040= =10(10(q q40401)1)= =150150 6 二、二、解答题：本大题共解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 5656 分分 9 9、 【解】、 【解】对对 P P0 0进行操作，容易看出进行操作，容易看出 P P0 0的每条边变成的每条边变成 P P1 1的的 4 4 条边，故条边，故P P1 1的边数为的边数为 3 34 4；同样，对；同样，对 P P1 1进行操作，进行操作，P P1 1的每条边变成的每条边变成 P P2 2的的 4 4 条条边，故边，故P P2 2的边数为的边数为 3 34 42 2，从而不难得到，从而不难得到 P Pn n的边数为的边数为 3 34 4n n 5 5 分分 已知已知 P P0 0的面积为的面积为 S S0 0=1=1，比较，比较 P P1 1与与 P P0 0，容易看出，容易看出 P P1 1在在 P P0 0的每条边上增加的每条边上增加了一个小等边三角形， 其面积为了一个小等边三角形， 其面积为231， 而， 而 P P0 0有有 3 3 条边， 故条边， 故 S S1 1=S=S0 0+3+3231=1+=1+31 再比较再比较 P P2 2与与 P P1 1， 容易看出， 容易看出 P P2 2在在 P P1 1的每条边上增加了一个小等边三角形，的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为其面积为231231，而，而 P P1 1有有 3 34 4 条边，故条边，故 S S2 2=S=S1 1+3+34 4431=1+=1+31+ +334 类似地有：类似地有：S S3 3=S=S2 2+3+34 42 2631=1+=1+31+ +334+ +5234 5 5 分分 S Sn n= =121523343434311nn =1+=1+nkk1)94(43 = =n)94(5358 ( () ) 1010 分分 下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明( () )式式 当当 n=1n=1 时，由上面已知时，由上面已知( () )式成立，式成立， 假设当假设当 n=kn=k 时，有时，有 S Sk k= =k)94(5358 当当 n=k+1n=k+1 时，易知第时，易知第 k+1k+1 次操作后，比较次操作后，比较 P Pk+1k+1与与 P Pk k，P Pk+1k+1在在 P Pk k的每条边的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为上增加了一个小等边三角形，其面积为)1(231k，而，而 P Pk k有有 3 34 4k k条边。故条边。故 7 S Sk+1k+1=S=Sk k+3+34 4k k)1(231k= =1)94(5358k 综上所述，对任何综上所述，对任何 n nN N，( () )式成立。式成立。 58)94(5358limlimnnnnS 1616 分分 1010、 【解】、 【解】 设设00(,), (0, ),(0, )P xyBb Cc，不妨设，不妨设bc 直线直线PB的方程的方程: :00ybybxx， 化简得化简得 000()0yb xx yx b 又圆心又圆心(1,0)到到PB的距离为的距离为 1 1， 0022001()ybx bybx ， 5 5 分分 故故22222000000()()2()ybxybx b ybx b， 易知易知02x ，上式化简得，上式化简得2000(2)20 xby bx， 同理有同理有2000(2)20 xcy cx 1010 分分 所以所以0022ybcx，002xbcx，则，则22200020448()(2)xyxbcx 因因00(,)P xy是抛物线上的点，有是抛物线上的点，有2002yx，则，则 220204()(2)xbcx，0022xbcx 1515 分分 所以所以00000014()(2)4222PBCxSbcxxxxx2 448 当当20(2)4x 时，上式取等号，此时时，上式取等号，此时004,2 2xy 因此因此PBCS的最小值为的最小值为 8 8 2020 分分 1111 、 【 证 明 】（ ） 如 果【 证 明 】（ ） 如 果2a ， 则， 则1(0)| 2fa， 8 aM。 （5 5 分）分） （）如果（）如果124a ，由题意，由题意 1(0)fa，12(0)(0)nnffa, ,2,3,n . . 则则 当当 104a时，时，1(0)2nf（1n ） . . 事实上， 当事实上， 当1n 时，时，11(0)2fa, , 设设1nk时 成 立 （时 成 立 （2k 为 某 整 数 ） ， 则 对为 某 整 数 ） ， 则 对nk， 221111(0)(0)242kkffa. . 当当 20a 时，时，(0)nfa（1n ）. .事实上，当事实上，当1n 时时，1(0)fa, , 设设1nk时 成 立 （时 成 立 （2k 为 某 整 数 ）， 则 对为 某 整 数 ）， 则 对nk， 有， 有212|(0)(0)kkaaffaaa. .注意到注意到 当当20a 时时, ,总有总有22aa ，即，即 2|aaaa . . 从而有从而有(0)|kfa. .由归纳法，推出由归纳法，推出 12,4M。 （1515 分）分） （ 3 3 ） 当） 当14a 时 ， 记时 ， 记(0)nnaf， 则 对 于 任 意， 则 对 于 任 意1n ，14naa且且121(0)(0)()nnnnnaff ff aaa。对于任意。对于任意1n ，221111()244nnnnnaaaaaaaa, , 则则114nnaaa。 所 以 ，所 以 ，1111()4nnaaaan a。 当。 当214ana时 ，时 ，11()224nan aaaa， 即， 即1(0)2nf。 因 此。 因 此aM。 综 合 （ ）（ ）（ ）， 我 们 有。 综 合 （ ）（ ）（ ）， 我 们 有41 , 2M。 （2020 分）分）