高中数学（北师大版）选修2-2教案：第2章 拓展资料：导数的创新应用

导数的创新应用有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化下面选解几例一、求数列的n项和 例1 已知x0，x1，求数列1，2x，3x，nx，的前n项和分析：根据题特点，可构造等式1 + x + x+ x+ + x=，求导即可解：当x0，x1时，1 + x + x+ x+ + x=，两边都是关于x的函数，求导得：1+ 2x + 3x+ + nx=评注：这样的问题可以通过错位相加(减)求和，但运用导数运算更加简明二、求组合数的和 例2 求和：C+ 2C+ 3C+ + nC分析：根据题特点，可构造等式(1 + x)= 1 + Cx + Cx+ Cx+ + Cx，求导即可解：由二项展开式，得：两边求导，得：n(1 + x)= C+ 2Cx + 3Cx+ + nCx 令上式x = 1，得：C+ 2C+ 3C+ + nC= n2 评注：利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解，但运算量都比求导麻烦 三、证明不等式例3 证明：分析：构造函数，求导，再用单调性即可解决证明：构造，则- 2 - / 3该二次式的判别式，是上的增函数，而，评注：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用架桥铺路，使问题得解.四、方程根的问题例4求证方程xlgx1在区间（2，3）有且仅有一个实根.分析：可构造函数，利用导数法解决解：设yf(x)xlgx1，ylgxlgelgex ，当x（2，3）时，y0，f(x)在（2，3）上为增函数，又f(2)2lg21lg0.40，f(3)3lg31lg2.70，在（2，3）内xlgx10有且仅有一个实根.评注：本题是通过构造函数f(x)xlgx1，利用导数判断函数f(x)在区间(2，3)上的单调性及函数f(x)在两个端点的值的符号进行求解的.一般地，如果函数在区间(a，b)上具有单调性，那么，当f(a)f(b)0时，方程f(x)0在区间(a，b)有唯一解；当f(a)f(b)0时，方程f(x)0在区间(a，b)无实数解 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！