高中数学（北师大版）选修2-2教案：第2章 拓展资料：正确理解函数的平均变化率和导数

正确理解函数的平均变化率和导数导数的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过度的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是导数的核心概念之一，正确的理解导数的概念，成为学习导数的前提和基础，下面对平均变化率与导数的概念作简单分析，以供大家参考：一、认识函数的平均变化率：函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，增量取值越小，越能准确体现函数的变化情况，式中的值可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零，若函数为常数函数，则式子中，与是相对应的“增量”，即在时，例1、求函数在区间内的平均变化率解析： 函数在区间内的平均变化率为点评：直接利用函数平均变化率的表达式，再代入数据就可以求得相应的平均变化率的值，解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，同时解答过程中注意计算的准确性变式练习1、在2008年北京奥运会的比赛中，某自行车运动员的位移与比赛时间存在函数关系（单位：米，时间单位：秒）求，时的与- 1 - / 4解析：由定义得， 米/秒二、函数的平均变化率与导数的区别： 已知函数在及其附近有意义，则任取，那么比值，叫做函数函数在到之间的平均变化率，当趋近于0时，该比值趋近于常数，此时又称为在的瞬时变化率，把定义为函数在处的导数，记作：即函数的平均变化率是指函数在某一段区间上的平均值,而函数在一点处的导数是函数在该点的瞬时变化率例2、已知某物体自由落体运动时，时间关于位移的关系式为（其中） 求物体在到这段时间内的平均速度；求物体在时的瞬时速度解析：当由取一个改变量时，取得相应改变量物体在到这段时间内的平均速度物体在时的瞬时速度点评：要求瞬时速度，首先求出平均速度，然后当时间改变量趋近于零时的极限即为物体的瞬时速度变式练习2、物体运动方程，求此物体在和时的瞬时速度解析：当时，； 当时，物体在和时的瞬时速度分别为6和6三、正确理解导数的概念：函数在某点的导数即函数在该点的变化率，即为该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数，因此求函数在某点处的导数时，一般先求出函数的导数，再计算这点的导数值，而导函数简称导数，不是具体数值求导数的步骤：由导数的定义知，求函数在点处的导数的步骤： 求函数的增量；求平均变化率；求极限，得导数，可简记为：一差、二化、三极限例4、求函数在处的导数解析： ，当无限趋近于0时，无限趋近于，即，点评：在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不论选择哪种形式，与必须选择与之相对应的形式，将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式，概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题变式练习3、已知，求适合的的值解析：由导数的定义知： ，因为，所以，即，解得或 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！