华师大版九年级数学下册教案 第27章 二次函数

第27章 二次函数27.1二次函数27.2 二次函数的图象与性质第一课时 y=ax2的图象与性质第二课时 yax2bxc的图象与性质第三课时 二次函数yax2bxc的图象与性质第四课时 二次函数yax2bxc的图象与性质第五课时 二次函数yax2bxc的图象与性质第六课时 二次函数yax2bxc的图象与性质第七课时 求二次函数的函数关系式第八课时 求二次函数的函数关系式(二)27.3 实践与探索27.3 实践与探索第27章 二次函数27.1二次函数一、教学目标 知识与技能：认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式。过程与方法：通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系和求自变量的取值范围。情感态度与价值观：培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识。二、重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。三、难点：熟练地列出二次函数关系式。四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：（一）、试一试 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 x 10。2 / 37 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(202x)(0 x 10)就是所求的函数关系式（二）、提出问题（p3问题2） 分析：1商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? 利润=(售价进价)销售量 2如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? 108=2(元)，(108)100=200(元) 3若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (108x)；(100100x) 4x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， x的值不能任意取，其范围是0x2 5若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 y=(108x) (100100x)(0x2) 将函数关系式y=x(202x)(0 x 10化为： y=2x220x (0x10)(1) 将函数关系式y=(108x)(100100x)(0x2)化为： y=100x2100x20D (0x2)(2)（三）、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式2x220和100x2100x200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。 2二次函数定义：形如y=ax2bxc (a、b、c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计 1下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x4x21 (2)y=x1 (3)y=3x24x (4)y=x2x (5)y=(x3)2x2 (6)y=3(x1)21 2.yax2bxc(其中a、b、c为常数)为二次函数的条件是( ) Ab0 Bc0 Ca0，b0，c0 D.a0 3.在半径为5cm的圆面上从中挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，求y与x的函数关系式 4边长为4的正方形中间挖去一个边长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为ym2，求y与x的函数关系式。5巳知矩形的周长为80cm，设它的一边为xcm，那么矩形的面积Scm2与x之间的函数关系式是什么？27.2 二次函数的图象与性质第一课时 y=ax2的图象与性质一、教学目标 知识与技能：使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。过程与方法：使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程。情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。二、重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象三、难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：（一）、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? 2我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? 3一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?（二）、范例 例1、画二次函数y=ax2的图象。解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x3210123y9410149 (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点（三）、做一做 1在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)(四)、归纳、概括函数yx2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数yx2、y=-x2、y2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想： 函数y=ax2的图象是一条_，它关于_对称，它的顶点坐标是_。 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察yx2、y2x2的图象，填空； 当a0时，抛物线y=ax2开口_，在对称轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，曲线自左向右_，_是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质?先让学生观察下图，回答以下问题； (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？ (2)yA、yB大小关系如何? (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0? (4)yC、yD大小关系如何? (XAXB，且XA0，XByB；XC0，XD0，yCyD) 其次，让学生填空。 当XO时，函数值y随X的增大而_；当X_时，函数值y=ax2 (a0)取得最小值，最小值y=_ 以上结论就是当a0时，函数y=ax2的性质。 思考以下问题： 观察函数y-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当aO时，抛物线yax2有些什么特点?它反映了当aO时，函数y=ax2具有哪些性质?让学生思考、讨论、交流，达成共识，当aO时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当aO时，函数y=ax2的性质；当xO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值yax2取得最大值，最大值是y0。六、作业七、板书设计：八、小结：第二课时 yax2bxc的图象与性质一、教学目标 知识与技能：使学生能利用描点法正确作出函数yax2b的图象。过程与方法：让学生经历二次函数yax2bxc性质探究的过程，理解二次函数yax2b的性质及它与函数yax2的关系。情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。二、重点：会用描点法画出二次函数yax2b的图象，理解二次函数yax2b的性质，理解函数yax2b与函数yax2的相互关系三、难点：正确理解二次函数yax2b的性质，理解抛物线yax2b与抛物线yax2的关系四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：（一）、提出问题1二次函数y2x2的图象是_，它的开口向_，顶点坐标是_；对称轴是_，在对称轴的左侧，y随x的增大而_，在对称轴的右侧，y随x的增大而_，函数yax2与x_时，取最_值，其最_值是_。 2二次函数y2x21的图象与二次函数y2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?（二）、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y2x2 +1 和函数y2x2的图象，并加以比较)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与y2x21的图象吗? 教学要点 1先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y2x2的图象。 2教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y2x21的对应值表，并让学生画出函数y2x21的图象 3教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表：（略） (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y2x2和y2x21的图象，如图所示。问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系? 教师引导学生观察上表，当x依次取3，2，1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y2x21的函数值都比函数y2x2的函数值大1。 教师引导学生观察函数y2x21和y2x2的图象，先研究点(1，2)和点(1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y2x21的图象上的点都是由函数y2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4：函数y2x21和y2x2的图象有什么联系? 由问题3的探索，可以得到结论：函数y2x21的图象可以看成是将函数y2x2的图象向上平移一个单位得到的。 问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 让学生观察两个函数图象，说出函数y2x21与y2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y2x21的图象的顶点坐标是(0，1)。 问题6：你能由函数y2x2的性质，得到函数y2x21的一些性质吗? 完成填空： 当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_ 以上就是函数y2x21的性质。 你能说出函数y2x22的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计 1分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y2x2与y2x22； (2)y3x21与y3x21。 2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象， yx2，yx22，yx22 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。 你能说出抛物线yx2k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 3根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛 物线yx22和yx22? 4试说出函数yx2，yx22，yx22的图象所具有的共同性质。第三课时 二次函数yax2bxc的图象与性质一、教学目标 知识与技能：使学生能利用描点法画出二次函数ya(xh)2的图象。过程与方法：让学生经历二次函数ya(xh)2性质探究的过程，理解函数ya(xh)2的性质，理解二次函数ya(xh)2的图象与二次函数yax2的图象的关系。情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。二、重点：会用描点法画出二次函数ya(xh)2的图象，理解二次函数ya(xh)2的性质，理解二次函数ya(xh)2的图象与二次函数yax2的图象的关系三、难点：理解二次函数ya(xh)2的性质，理解二次函数ya(xh)2的图象与二次函数yax2的图象的相互关系四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：一、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y2(x1)2和二次函数y2x2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y2x2与y2(x1)2的图象吗? 教学要点 1让学生完成下表填空。x3210123y2x2y2(x1)2 2让学生在图(1)的直角坐标系中画出图来： 3教师巡视、指导。问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?教学要点1教师引导学生观察画出的两个函数图象根据所画出的图象，完成以下填空：开口方向对称轴顶点坐标y2x2y2(x1)2 2让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y2(x1)2与y2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y2(x一1)2的图象可以看作是函数y2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，0)。 问题4：你可以由函数y2x2的性质，得到函数y2(x1)2的性质吗?三、做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y2(x1)2与函数y2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗? 问题6；你能由函数y2x2的性质，得到函数y2(x1)2的性质吗? 问题7：在同一直角坐标系中，函数y(x2)2的图象与函数yx2的图象有什么关系? 问题8：你能说出函数y(x2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 问题9：你能得到函数y(x2)2的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x2时，函数值y随x的增大而增大；当x2时，函数值y随工的增大而减小；当x2时，函数取得最大值，最大值y0。六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计 1在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y4x2与y4(x3)2 (2)y(x1)2与y(x1)2 2已知函数yx2，y(x2)2和y(x2)2。 (1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y1/4x2的图象得到函数y(x2)2和函数y(x2)2的图象? (4)分别说出各个函数的性质。 3已知函数y4x2，y4(x1)2和y4(x1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y4x2的图象得到函数y4(x1)2和函数y4(x1)2的图象， (4)分别说出各个函数的性质 4二次函数ya(xh)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系?第四课时 二次函数yax2bxc的图象与性质一、教学目标 知识与技能：使学生理解函数y=a(xh)2k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。会确定函数y=a(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。过程与方法：让学生经历函数y=a(xh)2k性质的探索过程，理解函数y=a(xh)2k的性质。情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。二、重点：确定函数y=a(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(xh)2k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(xh)2k的性质三、难点：正确理解函数y=a(xh)2k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(xh)2k的性质四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：（一）、提出问题1函数y=2x21的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x21的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的，见P7图26.2.2)2函数y=2(x1)2的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2(x1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)3函数y=2(x1)21的图象与函数y=2(x1)2的图象有什么关系?函数y=2(x1)21有哪些性质?（二）、试一试你能填写下表吗?y=2x2 向右平移的图象1个单位y=2(x1)2向上平移1个单位y=2(x1)21的图象开口方向向上对称轴y轴顶 点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x1)21与函数y=2(x1)2、y=2x2的图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x1)21有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识； 函数y2(x1)21的图象可以看成是将函数y=2(x1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x1时，函数值y随x的增大而减小，当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。（三）、做一做 问题4：在图2623中，你能再画出函数y=2(x1)22的图象，并将它与函数y=2(x1)2的图象作比较吗? 教学要点 1在学生画函数图象时，教师巡视指导； 2对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。 问题5：你能说出函数y=(x1)22的图象与函数y=x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? (函数y(x1)22的图象可以看成是将函数y=x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计1巳知函数yx2、yx21和y(x1)21(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛物线yx21和抛物线y(x1)21；(4)试讨论函数y(x1)21的性质。2已知函数y6x2、y6(x3)23和y6(x3)23。(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y6x2得到抛物线y6(x3)23和抛物线y6(x3)23；(4)试讨沦函数y6(x3)23的性质；3不画图象，直接说出函数y2x25x7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。4函数y2(x1)2k的图象与函数y2x2的图象有什么关第五课时 二次函数yax2bxc的图象与性质一、教学目标 知识与技能：使学生掌握用描点法画出函数yax2bxc的图象。过程与方法：使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。情感态度与价值观：让学生经历探索二次函数yax2bxc的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数yax2bxc的性质。二、重点：用描点法画出二次函数yax2bxc的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标三、难点：理解二次函数yax2bxc(a0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x、(，)四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：一、提出问题 你能画出函数yx2x的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?因为yx2x(x1)22，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，2)二、解决问题 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数yx2x的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数yx2x的图象，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；x2101234y6422246 (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数yx2x的图象，如图所示。 说明：(1)列表时，应根据对称轴是x1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质； 当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x1时，函数取得最大值，最大值y2三、做一做 1请你按照上面的方法，画出函数yx24x10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗? 2通过配方变形，说出函数y2x28x8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数yax2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识； yax2bxc a(x2x)c ax2x()2()2c ax2x()2c a(x)2 当a0时，开口向上，当a0时，开口向下。 对称轴是xb/2a，顶点坐标是(，)六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计1填空：(1)抛物线yx22x2的顶点坐标是_；(2)抛物线y2x22x的开口_，对称轴是_；(3)抛物线y2x24x8的开口_，顶点坐标是_；(4)抛物线yx22x4的对称轴是_；(5)二次函数yax24xa的最大值是3，则a_2画出函数y2x23x的图象，说明这个函数具有哪些性质。3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y3x22x；(2)yx22x(3)y2x28x8 (4)yx24x34求二次函数ymx22mx3(m0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。第六课时 二次函数yax2bxc的图象与性质一、教学目标 知识与技能：能根据实际问题列出函数关系式、过程与方法：使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。情感态度与价值观：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。二、重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围三、难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：一、复习旧知 1通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y6x212x； (2)y4x28x10 y6(x1)26，抛物线的开口向上，对称轴为x1，顶点坐标是(1，6)；y4(x1)26，抛物线开口向下，对称轴为x1，顶点坐标是(1，6) 2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? (函数y6x212x有最小值，最小值y6，函数y4x28x10有最大值，最大值y6)二、范例 有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题； 例1、p18。问题1。 例2某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 解：设每件商品降价x元(0x2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y(10x8)(1001OOx) 即y1OOx21OOx200 配方得y100(x)2225 因为x时，满足0x2。 所以当x时，函数取得最大值，最大值y225。 所以将这种商品的售价降低元时，能使销售利润最大。例3。p18。例5。六、作业七、板书设计：八、小结：作业优设计1：求下列函数的最大值或最小值。 (1)yx24x2 (2)yx25x (3)y5x210 (4)y2x28x2。已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大?3填空：(1)二次函数yx22x5取最小值时，自变量x的值是_；(2)已知二次函数yx26xm的最小值为1，那么m的值是_。4如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米?(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米?(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论?5如图(2)，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，B30，若边长ABx(cm)。(1)写出ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。(2)当x取什么值时，y的值最大?并求最大值。第七课时 求二次函数的函数关系式一、教学目标 知识与技能：使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数yax2的关系式。过程与方法：使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。情感态度与价值观：让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。二、重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数yax2、yax2bxc的关系式三、难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：一、创设问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。 如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： yax2 (a0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB 2(cm)，又CO0.8m，所以点B的坐标为(2，0.8)。 因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 0.8a22 所以a0.2 因此，所求函数关系式是y0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展 问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系? 问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 问题3：请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同? 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么? 请同学们阅渎P20例7。六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计 1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。 2若二次函数的图象经过A(0，0)，B(1，11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。 3如果抛物线yax2Bxc经过点(1，12)，(0，5)和(2，3)，；求abc的值。4已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，求这个二次函数的关系式； 5二次函数yax2bxc与x轴的两交点的横坐标是，与x轴交点的纵坐标是5，求这个二次函数的关系式。第八课时 求二次函数的函数关系式(二)一、教学目标 知识与技能：复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。过程与方法：使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。情感态度与价值观：让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。二、重点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学三、难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：一、复习巩固 1如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(1，1）。 (1)求二次函数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案：(1)yx2x1，(2)图略，(3)对称轴x，顶点坐标为(，)。 3二次函数yax2bxc的对称轴，顶点坐标各是什么? 对称轴是直线x，顶点坐标是(，)二、范例 例1已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 例2已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和(0，5)两点，求二次函数的关系式。 例3。已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 解法1：设所求的函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得 ya(x2)24 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(02)244，解得a2。 所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)24，即y2x28x4。 解法2：设所求二次函数的关系式为yax2bxc?依题意，得 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数关系式为y2x28x4。三、课堂练习 1. 已知二次函数当x3时，有最大值1，且当x0时，y3，求二次函数的关系式。2已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是(5，2)，求二次函数关系式。（yx210x23。）六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计 1. 已知抛物线的顶点坐标为(1，3)，与y轴交点为(0，5)，求二次函数的关系式。 2函数yx2pxq的最小值是4，且当x2时，y5，求p和q。 3若抛物线yx2bxc的最高点为(1，3)，求b和c。 4已知二次函数yax2bxc的图象经过A(0，1)，B(1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是_。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是_。 5已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的关系式。 6如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?27.3 实践与探索第一课时 一、教学目标 知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。过程与方法：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。情感态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。二、重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。三、难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。二、探索问题问题1：（p24。问题1）教学要点1让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数yx22x最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；2学生解答，教师巡视指导；3让一两位同学板演，教师讲评。问题2：（p24。问题2）解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：yax2 (a0) (1)因为AB与y轴相交于C点，所以CB0.8(m)，又OC2.4m，所以点B的坐标是(0.8，2.4)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 2.4a0.82所以：a因此，函数关系式是yx2 (2)因为OF1.5m，设FDx1m(x10)，则点D坐标为(x1，1.5)。因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得1.5x12x12x1x1不符合假设，舍去，所以x1。ED2FD2x123.1621.26(m)所以涵洞ED是m，会超过1m。问题3：（p25。问题3）教学要点1先让学生回顾函数yax2bxc图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数yx2x的图象。2教师巡视，与学生合作、交流。3教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。4教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(，0)和(，0)。5让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。6对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数yx2x的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2x0的解；从“数”的方面看，当二次函数yx2x的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2x0的解。更一般地，函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2bxc0的解；当二次函数yax2bxc的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2bxc0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。三、试一试 根据问题3的图象回答下列问题。 (1)当x取何值时，y0?当x取何值时，y0? (当x时，y0；当x或x时，y0) (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2x0的解集是什么?x2x0的解集是什么?) 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数yax2bJc在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2bxc0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标即为一元二次不等式ax2bxc0的解。 (2)从“数”的方面看，当二次函数yax2bxc的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bxc0的解；当二次函数yax2bxc的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bcc0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计1. 二次函数yx23x18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。2已知函数yx2x2。 (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 (2)观察图象确定：x取什么值时，y0，y0；y0。3学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是yx2x，请回答下列问题： (1)花形柱子OA的高度； (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外? 4如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线yx23.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距27.3 实践与探索第二课时 一、教学目标 知识与技能：复习巩固用函数yax2bxc的图象求方程ax2bxc0的解。过程与方法：让学生体验函数yx2和ybxc的交点的横坐标是方程x2bxc的解的探索过程，掌握用函数yx2和ybxc图象交点的方法求方程ax2bxc的解。情感态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。二、重点：用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。三、难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。五、教学过程：一、探索问题问题1：(P27问题4) 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2小刘解法的理由是什么? 让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。 3函数yx2和ybxc的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? 4，函数yx2和ybxc的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2bxc的解吗? 5如果函数yx2和ybxc图象没有交点，一元二次方程x2bxc的解怎样?三、做一做 利用图2634(见P24页)，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。 (1)x2x10(精确到0.1)； (2)2x23x20。 教学要点 要把(1)的方程转化为x2x1，画函数yx2和yx1的图象； 要把(2)的方程转化为x2x1，画函数yx2和yx1的图象；在学生练习的同时，教师巡视指导；解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。六、作业七、板书设计：八、小结：作业优化设计1. 利用函数的图象求下列方程的解，(1)x2x60； (2)2x23x502利用函数的图象求下列方程的解。(1)、， (2)、 3填空。 (1)抛物线yx2x2与x轴的交点坐标是_，与y轴的交点坐标是_。 (2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_。 4已知抛物线y1x2xk与直线y2x1的交点的纵坐标为3。 (1)求抛物线的关系式； (2)求抛物线yx2xk与直线y2x1的另一个交点坐标 5已知抛物线yax2bxc与直线yx2相交于(m，2)，(n，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x3，求函数的关系式。l 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！