空间测边交会的优化解法及精度分析

空间测边交会的优化解法及精度分析李全信摘要给出了形式简单、规律,无需初值、迭代和过渡点的优化解法公式,适合于手工计算和计算机编程;推出了空间测边交会点位精度的通用精度估算公式,并据此找到了各精度指标与各边倾角的内在关系。对应用条件提出了具体建议。关键词空间测边交会; 优化解法; 点位精度; 应用条件中国图书资料分类号P228 测绘信息网Optimum Solution Method and Accuracy Analysis of Space Distance IntersectionLi Quanxin(Zhengzhou Muniapal Institute of Planning, Investigation and Design, Zhengzhou, 450052)AbstractIn this paper, the formulae for the optimum solution method without initial values, interation and transition points are introduced, which are simple in form, quite suitable for manual calculation and computer programming. The precision formulae of position for the intersection point are derived, according that the expressions about all precision indexes with all inclined angles of linear sides are also given. Some suggestions for using this network are proposed.Key wordsSpace linear intersection; Optimum solution; Position precision; Application condition 测绘信息网空间测边交会的解法已在许多文献中见到15,提出了多种解算方法,包括迭代法和直接法,但这些解法都存在着多值性问题。文献2通过测定测距边的竖角来赋予待定点的近似坐标、文献3通过给定待定点的高程等方法来解决多值性问题。下面将利用点号的编排法则,给出一种无需初值就能唯一解得待定点的三维坐标的直接解法,并对精度进行分析。1空间测边交会的解法 测绘信息网1.1预备公式如图1,已知三点1、2、3,S1、S2、S3分别为待定点P至1、2、3的观测斜距。三斜边与三已知点确定的平面构成三棱锥P123。点1、2、3与P的排列应符合右手法则,即右手拇指指向P,则其余4指自然弯曲指向123的方向。这样的赋号规定能确保最终给出唯一的P点坐标。图1三棱锥高h的确定由空间解析几何理论知,棱锥P123的体积V可由下式求得(1)式中,cosi、cosi、cosi(i=13)为已知点i至P的方向余弦。用A表示(1)式中由方向余弦组成行列式所对应的矩阵,则有: 测绘信息网(2)文献2已给出了AAT值,即 测绘信息网(3)式中,分别为S1与S2、S1与S3、S2与S3的交角,这些角称为空间测边交会的交会角。由行列式性质知(4)因此,即 测绘信息网(5)由于三棱锥P123的体积V又可表示为 测绘信息网(6)因此,P点至平面123的垂距h可由(2)、(5)、(6)式联立求得,即(7)(2)式和(7)式表明,在待定点坐标未解得之前,三棱锥的体积及高皆可先行求出,这给后续的坐标解算带来了方便。另外,由三已知点1、2、3所确定的平面的方程为(8)其法向量为 测绘信息网(9)按照上述赋号规定知,其的方向是指向P点的,如应用点到平面的垂距公式按(8)式求P到平面123的垂距,即三棱锥的高h应为正值;如为负值,则说明P在已知平面123的另一面。1.2优化解法的公式推导为简便起见,先将1号点平移至坐标原点,则各点的坐标分别为1(0,0,0)、2(X2,Y2,H2)、3(X3,Y3,H3)、P(XP,YP,HP)。显然,=(X2,Y2,H2),=(X3,Y3,H3),根据向量的数量积,可以列出下列方程组 测绘信息网(10)式中Ki由下式确定: 测绘信息网(11)解(10)式中的前两式可得(12)将(12)式代入(10)式中的第三式得: 测绘信息网(13)求得HP后,代入(12)式,即可求得XP,YP,因此(13)、(12)式即为本文给出的优化解法的公式。综上所述,优化解法的解算过程为:1) 按右手螺旋法则对已知点赋予点号1、2、3;2) 按(5)式求得A值,按(10)式求得Ki值;3) 按(13)、(12)式求得XP、YP、HP;4) 最后求得待定点P的三维坐标为显然,优化解法公式规律明显,计算简捷,无需初值,非常适合计算机编程及手工计算。2空间测边交会的三维点位精度估算 测绘信息网E.T.BOHKO给出的空间测边交会精度估算式1(14)式中,i为Si与它所对平面的夹角,如1为S1与平面23P的夹角。笔者利用矩阵迹的性质推出空间测边交会的另一精度估算式2(15)式中,N由(3)式确定。显然,两估算式各有优点,可以互为补充,相互验证。文献6已通过直线与平面交角的定义及两矢量交角的定义证明了(14)式与(15)式的一致性。下面通过三棱锥的体积证明,过程将十分简洁。 测绘信息网由(2)式、(4)式知,棱锥P123的体积可表示为(16)而棱锥分别以1P2、1P3、2P3为底求其体积为(17)比较(16)、(17)式即有 测绘信息网(18)将(18)式代入(15)式,可知两估算式是完全相同的。3空间测边交会的平面与高程精度估算公式由文献2知,空间测边交会的误差方程式为(19)则 测绘信息网(20)其中, 测绘信息网由于dS1、dS2、dS3相互独立,因此,对(20)式应用误差传播律可得(21)由行列式性质即(4)式可求得,这里仅以为例同理可求得其它元素,将结果代入(21)式可得空间测边交会各分量的精度公式(22)(23)(24)上述公式稍显复杂,但形式却很规律,括号内的项非常类似于N,即(3)式。(22)(24)式表明,各分量的精度与所取坐标系密切相关,因为mx、my、mz与各方向余弦相关。由(22)(24)式不难推得空间测边交会平面与高程精度估算公式为(25)(26)(25)、(26)式说明,交会点的平面与高程精度仅与交会角和各斜边的竖角(V1、V2、V3)有关,这给实际应用带来了方便。4平面精度、高程精度及三维点位精度与测距边倾角的关系文献6、7通过对正三棱锥的研究得知,空间测边交会的平面、高程及三维点位精度皆与测距边倾角密切相关。其中,平面精度随着倾角增大而降低,高程精度随着倾角增大而提高。三维点位精度变化较复杂,倾角较小或较大皆不利,在一定区间内(如2050),三维点位精度较好;当倾角为3516时,MP取得最小值,此时图形即为最优构形,则各交会角皆等于902、6。4.1平面精度m平与各测距边倾角Vi的关系为便于讨论,设由三已知点构成的平面与高程H方向相垂直,则由图2知:(27)将上式代入(25)式,化简得 测绘信息网(28)图2O点位置与Vi关系上式即为表达空间测边交会平面精度m平与各测距边倾角关系的公式,从中我们可以看出:1) m平除与测距精度相关外,主要取决于已知三角形的构形和P点在底平面中投影位置以及各测距边的倾角;2) 当给定三已知点时,m平主要取决于各测距边的倾角及其斜距的投影值;3) 成反比,即Vi增大时,m平也增大;当Vi=0时,m平取得最小值,考虑到实际地形Vi所可能取得的最大值为45,因此m平一般不会超过,这说明,空间测边交会的平面精度与各测距斜边的倾角关系不十分密切。当3已知点构成正三角形,且各测距边相等时,则(28)式简化为:(29)4.2高程精度mH与各测距边倾角Vi的关系将(27)式代入(26)式,不难得到 测绘信息网(30)或(31)上两式即为空间测边交会高程精度mH与各测距边倾角关系的公式,从中可以看出:1) mH除与测距精度mS相关外,主要取决于待定点在平面上的投影点O与已知点的连线将123划分成三块面积的大小和各测距边倾角;2) 当给定3已知点时,mH主要取决于各测距边的倾角及投影值(因Doi一定,则hoi一定);3) 成反比,当Vi=0时,mH=,因此,空间测边交会任一测距边倾角过小,都会使mH过大;当Vi越大时,则mH越接近最小值(因Vi中有两个均为90时,不可能构成空间测边交会),考虑到实际地形的最大倾角,因此,欲取得较好的mH,空间测边交会应布设在有足够起伏的山区或高山区。假设实际可能最大倾角为45,则可能取得的最优高程精度为:,当Vi=10时,mH=4mH优,因此各测距边的倾角均大于10是空间测边交会取得有用精度的起码条件。当3已知点构成正三角形,且各测距边相等时,则(31)式简化为(32)4.3三维点位精度MP与各测距边倾角Vi的关系由(28)式和(30)式可得 测绘信息网(33)上式即为三维点位精度MP与各测距边倾角Vi的关系式,显然,它较之平面精度或高程精度与Vi的关系更为复杂。当Vi增大时,平面精度降低,但高程精度提高,这种矛盾性,使得有可能找到一个V0值,使m平=mH,例如对于正三棱锥,当V0=2634时,高程精度与平面精度相等;对于任意构形,由(33)式不难得到:。同时,这种矛盾性,有可能使得(33)式取得极值。根据文献2对最优图形的研究及(14)式可知,只有下式成立,才能取得取优构形,即MP取得最小值。(34)由上式解得的V1,V2,V3即为空间测边交会最优构形时的测距边倾角。(34)式表明,MP要取得较好的精度,Vi既不能太大也不能太小,而要在一定区间,该区间称为空间测边交会的应用条件。5结束语 测绘信息网1) 给出的空间测边交会直接解法,无需初值、迭代,无需过度点,只需利用(13)、(12)式即能求得待定点的三维坐标,而且由于解算之前先进行了坐标平移,减小了解算的数值,因此提高了解的稳定性。2) 空间测边交会的两种精度估算公式具有一致性,可以相互补充,相互验证。实际估算时,应用实用精度估算式(15)较为简单;讨论最优构形时,应用E.T.BOHKO估算式(14)较为方便。3) 给出的各精度与各倾角的本质的、内在的联系,为进一步深入研究空间测边交会的应用范围奠定了坚实的理论基础。4) 对照现行测量规范关于地形分类标准可知,空间测边交会适用于山区或高山区,这样的条件,尤其对待定点的高程求解有利。对于高山区,空间测边交会求得的高程精度约相当于现行光电测距的精度或GPS弦长的测量精度。鉴于现行测距精度的提高,采取适当技术措施,求定重力异常未知的高山区的正常高,可以极大地提高作业效率,获得常规水准难以获得的精度。作者简介:李全信高级工程师,郑州市规划勘测设计研究院主任工程师,郑州市跨世纪学术技术带头人。主持或主要参与20余项大中型测绘工程获省、部、市级优秀工程勘察奖,在工程勘察、军测学报、勘察科学技术、城市勘测等刊物上发表论文60余篇,其中有10篇获省学会以上及省自然科学优秀学术论文二、三等奖。 测绘信息网地址:郑州市嵩山北路6号; 邮编:450052作者单位:李全信郑州市规划勘测设计研究院参考文献 测绘信息网1E.T.BOHKO空间测边交会的解法及精度分析测绘技术,1987(3,4)2李全信空间测边交会的解法、精度估算和最佳图形探讨解放军测绘学院学报,1991(4) 测绘信息网3曾卓乔测边空间后方交会的解法及精度矿山测量,1992(1)4N.F.Danial. Small trilateration nets in three dimensions. Surveying Review, Vol.28, 1985(4) 测绘信息网5法惟刚地面空间三边交会的计算及其精度分析勘察科学技术,1989(2)6李全信空间测边交会有关问题的讨论地矿测绘,1995(1)7高井祥,叶玉田三维工程控制网应用条件的探讨工程勘察,1990(6)