平面向量的坐标运算一题多解

一题多解 触类旁通由一道课本例题引发的思考摘要由人教版高一数学（下册）平面向量的坐标运算中的一道例题，引导学生构建正常的数学模型，渗透数学建模思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透数形结合思想，寻求发现正确的解题思路。关键词 数学思维方式 数学模型 数形结合 一题多解一、 问题的提出在课堂教学中为了能更有效地发挥问题在构建知识网络中的作用，往往采取从不同角度、不同的侧面、不同的层次设计变式问题，引导学生去分析寻找结果。当然这样训练的目的并非单纯为了让学生得出相应的结果，而是在训练中实现对知识的梳理。为构建更完善的知识网络创设条件，实现认知水平向更高的台阶迈进。例：已知平行四边形ABCD的三个点为A、B、C 的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D的坐标。二、展示课本解法数学课本作为数学知识的载体，具有极强的逻辑性和层次性。教材中每章节的内容都是处于特定的知识结构中，知识之间的内在联系以及表述方式犹如一条链子环环相扣，任何一节的松动就会造成链子的脱节。对此题，课本是利用向量相等（即=）来求解，方法较为简便。其解法如下： ， 由=可知： 解得： 即：顶点D的坐标为：（2，2） 三引发的思考 高中教材的编写旨在提高学生的思想道德品质、文化科学知识、审美情趣，培养学生的创新精神、实践能力、终身学习能力和适应社会生活的能力，促进学生的全面发展。知识之间的联系也与这相仿，因而知识之间的关联处是学生有效理解和掌握教材内容并形成数学能力的关链部分，若处理不好，则很容易成为制约学生正确掌握教材内容的“瓶颈”。那么如何才能更好地抓住关联处设计好问题呢？我们知道，向量具有两个明显特点“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把坐标与向量联系起来，利用数形结合的解析几何思想解决问题。为了开拓同学们的解题思路，运用向量的一些性质进行求解，下面介绍几种解法，以供参考。解法一：（利用向量加法）先依据题意在坐标系内做出平行四边形ABCD（如图），设顶点D的坐标为，xyABCDO并连结OA，OD，则= 顶点D的坐标为：（2，2） 解法二：（利用向量减法） 先依据题意在坐标系内做出平行四边形xyABCDOABCD（如图），设顶点D的坐标为，并连结OA，OD， 则= , 顶点D的坐标为：（2，2）解法三：（利用中点的向量表达式） 如图：在平行四边形ABCD中，AC的中点M即是BD的中点。xyABDCOM , 顶点D的坐标为：（2，2）解法四：（利用中点坐标公式） ABDCOxy如图：在平行四边形ABCD中，AC的中点即为BD的中点。设顶点D的坐标为，则： 解得： 顶点D的坐标为：（2，2）解法五：（利用平面内两点间距离公式）如图：设顶点D的坐标为，则： 在平行四边形ABCD中，有待添加的隐藏文字内容3ABDCOxy解得： 顶点D的坐标为：（2，2）解法六：（利用平行四边形对边的向量相等）ABDCOxy如图：设顶点D的坐标为，则：在平行四边形ABCD中，= 即： 解得： 顶点D的坐标为：（2，2）五总结 虽然这样做有意将问题“复杂化”，但却符合学生的认知规律，使教学在学生已有的认知发展水平的基础上展开。如果不分层次地进行讲解，虽然学生也能听懂，但由于学生的思维未能深入到整个解题过程之中，其结果必然是问题的情境稍加变化，一些学生又将“不识庐山真面目”形成新的思维障碍。因此若将问题设计在知识与知识的关联处，是很有利于培养学生分解剖析习题的能力，以此来诱发思维，往往能收到事半功倍的效果。 遇到题目不是急于动手，而是应该分析题构建正确得数学模型，利用数学思维方式，采取数学思想进行探讨思考，归纳总结。真正做到掌握相关内容方法，触类旁通。 参考文献1 中华人民共和国教育部. 新课程标准. 2003年版2 优秀教案. 高一数学（下）任志鸿. 20033 一道应用题的正确解法. 数学考试报(高一版). 2000.12.