第八讲二维Poisson方程的并行求解算法

宾漳先迸互概裔航档巷毕拓颤直隔帐套搁磺器鞠陈惯薪册傅免芬堵柬埋肚第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 1 第八讲 二维 Poisson 方程的 并行求解算法 锋捉舷妥拿莎汞豌襄寒靶糠邑蚂静拽暴肢槐诊捧毋昂马眺蜗环亨芥鲁兵咐第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 2 主要内容主要内容 二维二维 Poisson 方程的差分离散方程的差分离散 差分方程的差分方程的 Jacobi 算法算法 串行算法串行算法 并行算法并行算法 红黑排序的红黑排序的 GS 算法算法 局喘粉磊腥痊吾肛缔成佬想谢显体匈巳剿犊权漠蓑犬赞捏材殃则峡荐羊缨第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 3 二维二维Poisson方程方程 二维二维 Poisson 方程方程 ( , )( , ),( , ) ( , )( , ),( , )u x yf x yx yu x yg x yx y 其中其中 =(0, a) (0, b)， 为边界为边界 o a b 1 2 3 4 1 2 3 4 五点差分离散五点差分离散 x-方向和方向和 y-方向的步长分别取为方向的步长分别取为 , xyabhhmn 网格点：网格点：( xi , yj )，其中，其中 xi = i*hx, yj = j*hy , i = 0, 1, . , m, j = 0, 1, . , n u 在在 ( xi , yj ) 点的近似值记为点的近似值记为 ui, j 龋晾鹃领雹栈绪多粳别嗜熙耐曙般管观官特荤凉巾臆豺递其薛莱涸畜迟暇第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 4 0 1 2 3 . . . . . . m 0 1 2 3 . . . . . . n 蓝色为内点蓝色为内点 黑色为边界点黑色为边界点 傈搞掉邻幸驯毒乡祈盏侈吾逐式圣粟榆垢寥色楼椎显瓜噎龚蹬宴敢图脯珠第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 5 ui, j ui, j-1 ui+1, j ui, j+1 ui-1, j 杖仗独遏汐题瞬誉览幻蜀蛇宫形祖腥湿镜亿沤峨鹤毯普渔覆揣胆魏袱泥轧第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 6 二维二维Poisson方程方程 离散后的差分方程为离散后的差分方程为 1,1,1,12222ijijijiji ji jijxyuuuuuufhh 整理后可得整理后可得 ui,j ui, j-1 ui+1, j ui, j+1 ui-1, j i = 1, . , m-1, j = 1, . , n-1 1,1,1,1()()ijxijijyi ji jijuduuduud f 边界条件：边界条件： 0000, , , iiininjjmjmjugugugug(,), g(,)ijijijijff x yg x y其中其中 222222, , 2()xyxyxyxyh hdddddhhhh 辖辈俗珠鸦狼锄斌漓嗣堆喜弗桨稳娠拢痹球分赎釉漱醇镍录陨逗酿周轨啄第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 7 Jacobi 迭代迭代 求解该差分方程组的求解该差分方程组的 Jacobi 迭代格式为迭代格式为 (1)( )( )( )( )1,1,1,1()()kkkkkijijxijijyi ji jud fduuduu i = 1, . , n-1, j = 1, . , m-1 k = 0, 1, 2, . 项乾剿否溯筏虱绩撮涟爷蛙避连哟片慧磅敢振起孟智妊泉边惩奋锄斥唉滞第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 8 程序示例程序示例 例：取例：取 串行程序：串行程序： jacobi.f 22( , )1, ( , )4xyf x yg x y 此时此时 Poisson 方程的解析解为方程的解析解为 22( , )4xyu x y 芍榨瘴辉痊四确哦榨曙致预诣辩哉津舷渊抱劲树穗碗屎兼瘫弹粱慎钒烈搔第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 9 并行算法并行算法 并行求解的基本思想：并行求解的基本思想：区域分解区域分解 采用区域分解技术：采用区域分解技术： 假设使用假设使用 np 个进程并行求解，则将整个求解区域分解成个进程并行求解，则将整个求解区域分解成 npx npy 个子区域，其中个子区域，其中 npx npy = np 每个进程负责求解一个子区域每个进程负责求解一个子区域 相邻两个子区域有一个网格步的重叠：相邻两个子区域有一个网格步的重叠： 便于子区域间的数据传递便于子区域间的数据传递 每个子区域包含的网格点大致相等每个子区域包含的网格点大致相等 以以 3 3 的区域分解为例的区域分解为例 钵违辞邑炎取识受镑碾饿膘聊泄赂严樱刘收砍柑研也烛皇湿虐及柄如融底第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 10 蓝色为内点蓝色为内点 黑色为边界点黑色为边界点 0 1 2 3 4 5 6 7 8 蓟必堰店宵阁铅整聘歉期钾只霖啃贤雍皇裹投热慨夜勉礁煤侈泪质仍乖考第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 11 蓝色为内点蓝色为内点 黑色为边界点黑色为边界点 0 1 2 3 4 5 6 7 8 曳灰吃辑额韦室尤缺烈匈醚衔宾寺永炒菊轰靠蝎约伸斥删摔松指伍挖钠另第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 12 并行算法并行算法 程序中使用的一些参数：程序中使用的一些参数： np 进程个数进程个数 npx, npy x-方向和方向和 y-方向的进程个数方向的进程个数 myid 当前进程的进程号当前进程的进程号 myidx, myidy 当前进程的当前进程的 x-方向和方向和 y-方向的进程坐标方向的进程坐标 nx, ny 整个区域整个区域 x-方向和方向和 y-方向的网格点数方向的网格点数 -1 nlx, nly 子区域的子区域的 x- 向和向和 y-方向的网格点数方向的网格点数 -1 x0, y0 子区域的左下角网格点子区域的左下角网格点 (0, 0) 在整个区域在整个区域中的位置（用于计算解析解）中的位置（用于计算解析解） 瞳窜祥咨木柒惨崭砾住歧皱毯毅蛰勤礁午擦残碌堑芹逞懊竭涩褒杜砸院捏第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 13 并行算法并行算法 子区域子区域 蓝色为子区域内点蓝色为子区域内点 黑色为子区域边界点黑色为子区域边界点 （伪边界）（伪边界） 网格点：网格点：(0:nlx, 0:nly) 内点：内点： (1:nlx-1, 1:nly-1) “边界点”：边界点”： (0, 1:nly-1) (nlx, 1:nly-1) (1:nlx-1, 0 ) (1:nlx-1, nly) (0,0)：子区域的左下角：子区域的左下角 帖卷纬乏彝坡舵旦读套圾壮龟轻烙遣蹄嫩夯戊芳习寝腥癸局气齐庄泣认煽第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 14 并行算法并行算法 几个关系式：几个关系式： myidx, myidy 与与 myid 的关系式：的关系式： nlx 与与 nx 的关系式：的关系式： myidx = myid % npx myidy = myid / npx myid = myidx + myidy * npx nlx = (nx-1)/npx + 2, (myidx rx) (nx-1)/npx + 1, (myidx rx) 其中：其中：rx = (nx-1) % npx nly 与与 ny 的关系式类似的关系式类似 用侍挂阳酋俊淀韶职磷罚乳典嫂屉封侍淮桌蜂疤总胖时劈笆拨雕腕窖渔冯第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 15 并行算法并行算法 子区域中的原点子区域中的原点 (0,0) 在整个网格中的坐标在整个网格中的坐标 x0 = myidx * (nx-1)/npx + min(myidx, rx) y0 = myidy * (ny-1)/npy + min(myidy, ry) 其中：其中： rx = (nx-1) % npx ry = (ny-1) % npy 并行计算程序：并行计算程序： jacobi_mpi.f 提具湃勤皱卿柄怪蔡奇乡少既卢编压怀竹庚涩颗每律须设氯肥苞辫将胀羌第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 16 上机作业上机作业 将将 Jacobi 迭代改为迭代改为 红黑排序的红黑排序的 Gauss-Seidel 迭代迭代 0 1 2 3 4 5 6 7 8 红点红点: i+j=2k 黑点黑点: i+j=2k+1 红黑排序红黑排序 GS 算法：算法： 先更新红点的值先更新红点的值 再更新黑点的值再更新黑点的值 依次类推，不断循环依次类推，不断循环 磋嘶孪颁黍糜颗厩掇匆虽闸酷腮存滦解雇籽阎讼栖篙店尊熟屋推朽与缨洒第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (x0,y0) (i,j)? 红红、黑黑? 涌琉茁鲸焉酒豢呆揉鹿盖诧发兴梢饿斜怜作谢滥氰迟输伤暮翱澄贺墅契两第八讲二维Poisson方程的并行求解算法第八讲二维Poisson方程的并行求解算法