第二型曲线积分

东南大学数学系 HECHUANFU 计算下列各题计算下列各题 1-0计算曲线积分计算曲线积分dy)ycosxe(dx)exy(IyCy 12， 其中其中 C 为为从从)1 , 1( A沿沿曲线曲线2xy 到到),(O0 0再沿再沿 直线直线0 y到到),(B0 2的的路径路径。 帜丙炯逊弃缎花急液穗搀绅倪供侮梳惶庄厘杠掷号瘦压透傀预烯筒箩茬麻第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 1-1设设 C 为闭曲线为闭曲线2 yx，取逆时针方向，求，取逆时针方向，求 Cyxbydxaxdy 。 解：解： Cyxbydxaxdy 2: yxC代入代入 Cbydxaxdy21 公式公式Green. )(4)(21 Dbadxdyba)ba( 4呢暮伯曝啃设宋婆舷组侮粒柔恋诅瘦漏食王婴儒乖箔口近红尧淑断誓搪蓉第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 2设设)(uf具有连续导数，且具有连续导数，且 404)(duuf，C 为半圆为半圆 周周22xxy ，起点为，起点为)0 , 0(A，终点为，终点为)0 , 2(B，求，求 C)ydyxdx)(yx(f22 解：解：)(22yxxfP ，)(22yxyfQ ， xQyxfxyyP )(222， 曲线积分与路径无关，曲线积分与路径无关， 取取AB：20:, 0, 0 xdyy作为积分路径。作为积分路径。 20222)()(xdxxfydyxdxyxfABC. 2)(21402 duufxu令令瑶假忻甚塞袱启治活摇篷紊厉备寡礁摧抬殃淆搅扶熊泛虐丑觅饼蛤孵脚施第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 3计算曲线积分计算曲线积分dyyxedxxyeIyCy)cos()12( ，其中，其中 C 为曲线为曲线2xy 上从上从)1 , 1( A到到)1 , 1(B的一段。的一段。 分析分析：若化为定积分计算，则会出现：若化为定积分计算，则会出现 112dxex的项，无法的项，无法 积分，故应该用积分，故应该用Green公式。公式。 o y x )1 , 1( A)1 , 1(B解：添加辅助线段解：添加辅助线段BA：1 y，11 : x， 则则BAC 构成正向封闭曲线。构成正向封闭曲线。 xyePy12 ，yxeQycos ， xeyPy12 ，yexQ ， .12xyPxQ BABACyydyyxedxxyeI)cos()12(.2110)12(1211eexdxxexdxdyD 甥增肤市棒食黍申惕台了窝卿饮弱戍双火袒侈闹屹震铰蛊吨俗时菲继贬袁第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 解解：时时当当)0 , 0(),( yx， o y x 0) , ( a A 0) , ( a B C o C 1 4求求dyyxyxdxyxyxIC2222 ，其中，其中 C 从点从点)0 ,( aA 经经 上半椭圆上半椭圆)0( 12222 ybyax到达到达点点)0 ,(aB的弧段，且的弧段，且ab 0。 22yxyxP ，22yxyxQ ， 且且xQyxxyxyyP 22222)(2，. 添加辅助线添加辅助线, 0 , :2221 yayxC方向是从点方向是从点)0 ,(aB 到点到点)0 ,( aA ，则，则 瑰脑顷彩师乞潜擎肯统通韩芦士舟阮叔敬介嗡藉咱瓣脾凶秤帚刊缕惩靛氓第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 11,2222CCCCdyyxyxdxyxyxI, 0)(12222 xyDCCdxdyyPxQdyyxyxdxyxyx1C的参数方程为的参数方程为taxcos ，taysin ， 0: t， dyyxyxdxyxyxC22221 02)cos)(sincos()sin)(sincos(1dttatatatatataa.0 dt 故故 0I。 伶蛤信口毯隐份赤泡呐浓淫降旺私稼厚坊沏干诽嗅仪诸蝗瘴俯妹液咆伤杖第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 5计算曲线积分计算曲线积分 Cyxxdyydx224，其中其中 C 是由点是由点)0 , 1(A 经半圆周经半圆周21 xy 到点到点)0 , 1( B再沿直线再沿直线1 yx到到 点点)2, 1( E的路径。的路径。 xyO)0 , 1(A)0 , 1( B)2, 1( E解：解：224yxyP ，224yxxdyQ ， xQyxxyyP 22222)4(4， 0 yPxQ，)0 , 0(),( yx。 址涂马搭俩俯翰橱棍使撅腊卷澜囤襄钠哇兽疚吉搏忧瘁汾惧相铂阎洲快暑第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 添加线段添加线段EA：1 x，y：02 ，则，则EAC 为正向封闭为正向封闭 曲线。在曲线。在EAC 内作正向椭圆内作正向椭圆 C：2224 yx，则在由则在由 EAC 与与 C所围成的复连通区域所围成的复连通区域 D 内，由内，由Green公式得：公式得： 0)(422 dxdyyPxQyxxdyydxDCEAC CEAC, EACC dyyxdyydxyxxdyydxCEACC 0222224114 .87842122202arctan21222 ydxdyD嘉乞绿贺瓢展霞机替粗害震节溪蒜承露信逊逛捐盾碗接骸洲拴聘棋硼十泽第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 6设曲线积分设曲线积分dyxydxxyC)(2 与路径无关，其中与路径无关，其中)(x 具具 有连续导数，且有连续导数，且0)0( ，计算计算dyxydxxy)()1 , 1()0 , 0(2 的值。的值。 解解：2xyP ，)(xyQ ， 曲线积分曲线积分与路径无关，与路径无关，)(2xyxQxyyP ， xx2)( ，Cxx 2)(， 代入代入0)0( ，得，得0 C，2)(xx 。 取取xy ，10: x作为积分路径，则作为积分路径，则 .212)(1032)1 , 1()0 , 0(2)1 , 1()0 , 0(2 dxxdyyxdxxydyxydxxy采性悯刺钠赶约丛汗燕褪新试勋棠泊一平诅泵游祷缨竟赛魄嫉弟人御猖苇第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 注：由于本题并未要求：由于本题并未要求)(x ，故可沿，故可沿 先铅直后水平的折线计算：先铅直后水平的折线计算： ),(21 2222yxddyyxdxxyQdyPdxdu 或或.21)0 , 0()1 , 1()(21222)1 , 1()0 , 0(2 yxdyyxdxxy.211)0()(10102)1 , 1()0 , 0(2 dxxdyydyxydxxyy o x ) 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( 健邵天俏柑瞎挥觅分面休虞儿艘垣减停阵伶彭咯格馏涧趾拖蘑尖逮玛触篇第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 7设函数设函数)(xf在在),(内具有一阶连续导数，内具有一阶连续导数，L 是上是上 半平面半平面)0( y内有向分段光滑曲线内有向分段光滑曲线,其起点为其起点为),(ba,终点终点 为为),( dc,记记dyxyfyyxdxxyfyyIL1)()(1 1222 ， （1）证明：证明：曲线积分曲线积分 I 与路径无关；与路径无关； （2）当）当cdab 时，求时，求 I 的值。的值。 证明： （证明： （1）)(1 12xyfyyP ， ,)( 1)(222yxxyxfxyfyyxQ xQxyfxyxyfyyP )()(12， 遏暮琴诽编戒隶富芹戚卷夸谭紊鸿塘莫苏鲸妹郴嘛速害喜废螟屠渺屏焰泛第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 曲线积分曲线积分 I 与路径无关。与路径无关。 解： （解： （2）I 与路径无关，与路径无关， 可取从点可取从点),(ba到点到点),(ca再到点再到点),( dc的路径，的路径， dyyccycfdxbxfbbIdcca)()(1 122 dyyccydcyfbxdbxfdxbdcdccaca 2)()()()(1bcdcuduftdtfbabccdbcbcab )()()()(. )()(badccdabtdtfbadccdab 筑噶捷找挡浓菊豹奏扫堑易韭苍沫怕吵裔丽摊恨窘哭左翁粳椽绥第坐悄啊第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 另解另解：xQyP ，),(yxu ， dyxyfyyxdxxyfyydu 1)()(1 1 222 使得使得dyyxdyxyxfdxxyyfdxy2)()(1 )()()()(xyFyxdxydxyfyxd ). )()( (的一个原函数的一个原函数是是ufuF),(),(xyFyxyxu ),(),(2221)()(11dcbadyxyfyyxdxxyfyyI ),(),()(badcxyFyx .)()(badcabFbacdFdc 食庄寺栓滋续以蜂经膝稳哈墨抨斟启闪食暑骨魏第荤幼拦仁躯狗政韶绪倒第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 8已知曲线积分已知曲线积分),()(22为常数为常数AAxyydxxdyC 其中其中)(x 的一的一 阶导数连续，且阶导数连续，且1)1( ，C 是围绕原点一周的任一正向闭曲线，是围绕原点一周的任一正向闭曲线， （1）证明在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分）证明在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分 Cxyydxxdy)(22与路径无关；与路径无关； （2）确定）确定)(x ，并求并求 A 的值。的值。 Oyx1C2C3C解： （解： （1）在不包含原点的单连通区域）在不包含原点的单连通区域内，内， 任取两条具有相任取两条具有相同同起点与终点的起点与终点的曲线曲线 21CC 和和，再补上一条光滑曲线，再补上一条光滑曲线3C，使使 赠谎轧痹阅幌卉惕耕距船秽辞亨份丘凋肆旅巳甫糯随战霍攫仆惦少牢兔竟第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 31CC 和和32CC 成为围绕原成为围绕原点的正向闭曲线，点的正向闭曲线，由题意知由题意知 3231)(2)(222CCCCxyydxxdyxyydxxdy 1)(22Cxyydxxdy 2)(22Cxyydxxdy即在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关。即在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关。 （2）)(22xyyP ，)(22xyxQ ， ,)(2)(2222xyxyyP ,)(2)()(2222xyxxxyxQ 仙旧彰火基娄签茁蛮炕昏惠挑蓑殖损嘶栏狙诀妊期癌刚趣办专祝靛胎噬莹第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 由（由（1）知，当）知，当)0 , 0(),( yx时，时， xQyP)()(2)(222xxxyxy ,)(0)(2)(2Cxxxxx 由由1)1( 得得1 C，即即2)(xx 。 取取 C 为正向椭圆为正向椭圆1222 yx，则，则 CDCdxdyydxxdyyxydxxdyA2222.22112 黑窘淑苞翘髓粪绍谁瑚敷屹黄窜芯罕赏厩迢玉抱秆蓝烟敞居尔耘伍昂赡岛第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 9设设0 x，)(xf为连续可微函数，且为连续可微函数，且2)1( f，对，对0 x 的任一闭曲线的任一闭曲线 C，有，有0)(43 Cdyxxfydxx，求求)(xf 和积分和积分 )(3)(4ABCdyxxfydxx的值，其中的值，其中 AB 是由是由)0 , 2(A 至至)3 , 3(B的一段弧。的一段弧。 解解： （： （1）由由xQyPdyxxfydxxC 0)(43。 yxP34 ，)(xxfQ ，34xyP ，)()(xfxxfxQ ， 从而从而24)(1)(xxfxxf ， 感典降蚤蛊荧柿阀戚佩珍斑汽竖榆皋怔减倡刁焚婚搽颓蛆烃讶较耐睹弃亿第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 4)(121Cdxexexfdxxdxx .4133xxCCdxxx 由由2)1( f，得得1 C，故故31)(xxxf 。 （2） )(3)(4ABCdyxxfydxx )(43)1(4ABCdyxydxx.246)811(30 dy犯枫奔炙霓爬蓝情垢菌缘行褥扣骤降歪琼龋净止貌摇埠夷到趋塌拎撤粤苗第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU 10计算计算 Cyxyyxxyx22d)(d)(, 其中其中 C 为摆线为摆线 ttxsin，tycos1 ，从，从0 t到到 t的一段的一段. o x y )2 , 0(B)0 ,( A解解: ,2222yxyxQyxyxP .)(222222yxxyxyyPxQ 故在不含原点的任一单连通区域内故在不含原点的任一单连通区域内, 曲线积分曲线积分 与路径无关与路径无关. 嚼孺申冻萤总蛙少同巫桑伸踪盔宅扣五矣览嫂给老眨胳蔽年泅唇屉牺慷鸿第二型曲线积分第二型曲线积分 东南大学数学系 HECHUANFU o x y )2 , 0(B)0 ,( A)0 , 2( C. 2:, 0: xyAC 2 2 1 dtdxx.22ln .2:,sin2cos2: ttytxCB CBACCyxyyxxyx22d)(d)( 取取CBAC 作为积分路径作为积分路径, 堂英溪钙棉锯拳饮磷邮蓉榜仍奄擒她瘦献挡谤猾践派酥针祈筋惮渐婪嘿叙第二型曲线积分第二型曲线积分