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2013北京高考理科数学试题第一部分 (选择题 共40分)一、选择题共8小题.每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合A=1,0,1,B=x|1 x1,则AB= A.0 B.1,0 C.0,1 D.1,0,12.在复平面内,复数(2i)2对应的点位于( )A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“=”是“曲线y=sin(2x)过坐标原点的”A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为开始是否输出结束A.1 B. C. D.5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=A. B. C. D. 6.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为A.y=2x B.y= C. D.7.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于A. B.2 C. D.8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x02y0=2,求得m的取值范围是A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中,点(2,)到直线sin=2的距离等于 .10.若等比数列an满足a2a4=20,a3a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= .11.如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D.若PA=3,则PD= ;AB= .12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .13.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=ab (,R),则= .14.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15. (本小题共13分)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(I)求cosA的值; (II)求c的值.16.( 本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.()求此人到达当日空气重度污染的概率;()设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;()由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)17. (本小题共14分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.()求证:AA1平面ABC;()求二面角A1BC1B1的余弦值;()证明:在线段BC1存在点D,使得ADA1B,并求的值.18. (本小题共13分)设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.19. (本小题共14分)已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.20. (本小题共13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,,的最小值记为Bn,dn=AnBn 。(I)若an为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,),写出d1,d2,d3,d4的值;(II)设d为非负整数,证明:dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列;(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 参考答案一、 选择题:1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 二、填空题:9.1 10.2, 11. ;4 12.96 13.4 14. 三.解答题:15.解:(I)因为a=3,b=2,B=2A. 所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故.(II)由(I)知,所以.又因为B=2A,所以.所以.在ABC中,.所以.16.解:设表示事件“此人于3月日到达该市”( =1,2,13).根据题意, ,且.(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则,所以.(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3A6A7A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,P(X=2)=P(A1A2A12A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,P(X=0)=1P(X=1)P(X=2)= ,所以X的分布列为:故X的期望.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.解:(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(II)由(I)知AA1 AC,AA1 AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,则,即,令,则,所以.同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1BC1B1为锐角,所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,.所以. 由,即.解得.因为,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B.此时,.18.解: (I)设,则.所以.所以L的方程为.(II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于. 满足,且.当时,所以,故单调递减;当时,所以,故单调递增.所以,().所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.又解:即变形为,记,则,所以当时,在(0,1)上单调递减;当时,在(1,+)上单调递增。所以.)19.解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是.(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.由消去并整理得.设A,C,则,.所以AC的中点为M(,).因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.20.(I)(II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以因此,,.(必要性)因为,所以.又因为,,所以. 于是,.因此,即是公差为的等差数列.(III)因为,所以,.故对任意.假设中存在大于2的项.设为满足的最小正整数,则,并且对任意,.又因为,所以,且.于是,.故,与矛盾.所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2.因此对任意,所以. 故.因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1.
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