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常见递推数列通项的求法类型1、 型解题思路:利用累差迭加法,将,=,=,各式相加,正负抵消,即得.例1、在数列中,,,求通项公式.解:原递推式可化为:则 ,逐项相加得:.故.例2在数列中,且,求通项.解:依题意得,把以上各式相加,得【评注】由递推关系得,若是一常数,即第一种类型,直接可得是一等差数列;若非常数,而是关于的一个解析式,能够肯定数列不是等差数列,将递推式中的分别用代入得个等式相加,目的是为了能使左边相互抵消得,而右边往往能够转化为一个或几个特殊数列的和。例3、已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。练习:1、 已知满足,求的通项公式。2、 已知的首项,()求通项公式。3、 已知中,求。类型2 型解题思路:利用累乘法, 将各式相乘得,即得.例4在数列中,求通项.解:由条件等式得,得. 【评注】此题亦可构造特殊的数列,由得,则数列是以为首项,以1为公比的等比数列,得.例5、设数列是首项为1的正项数列,且则它的通项公式是=(2000年高考15题).解:原递推式可化为: =0 0, 则 , 逐项相乘得:,即=.练习:1、已知:,()求数列的通项。2、已知中,且求数列通项公式。类型3、 型解题思路:利用待定系数法,将化为的形式,从而构造新数列是以为首项,以为公比的等比数列.例6数列满足,求. 解:设,即对照原递推式,便有故由得,即,得新数列是以为首项,以2为公比的等比数列。(n=1,2,3),即通项【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离,配凑成等比数列的结构,从而构造出一个新的等比数列。练习:1、已知满足,求通项公式。 2、已知中,()求。分析:构造辅助数列, ,则同类变式1、已知数列满足,且,求通项分析:(待定系数),构造数列使其为等比数列,即,解得求得2、已知:,时,求的通项公式。解:设 解得: 是以3为首项,为公比的等比数列 3、已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故所以,则评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出+,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。类型4型例7 已知数列的前项和满足(1) 写出数列的前3项;(2) 求数列的通项公式.解:(1)由,得.由,得,由,得(2)当时,有,即 令,则,与比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目:1、已知中,()求2、在数列中,求通项公式。解:原递推式可化为: 比较系数得=-4,式即是:.则数列是一个等比数列,其首项,公比是2. 即.3、已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故数列是以为首,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式4、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式6、已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则x=1,代入式,得由0及式,得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。类型5、取倒数例8、已知数列中,其中,且当n2时,求通项公式。解: 将两边取倒数得:,这说明是一个等差数列,首项是,公差为2,所以,即.例9、数列中,且,求数列的通项公式.提示 例10、,求解:即 则例11、数列中,求的通项。解: 设 练习:1、在数列中,求类型6、取对数法例12 若数列中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=解 由题意知0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为2的等比设 练习:1、在数列中,求类型6、取对数法例12 若数列中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=解 由题意知0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为2的等比数列,数列,
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