常见递推数列通项的求法

常见递推数列通项的求法类型1、 型解题思路：利用累差迭加法，将，=，=,各式相加，正负抵消，即得.例1、在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，逐项相加得：.故.例2在数列中，且，求通项.解：依题意得，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若非常数，而是关于的一个解析式，能够肯定数列不是等差数列，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往能够转化为一个或几个特殊数列的和。例3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习：1、 已知满足，求的通项公式。2、 已知的首项，（）求通项公式。3、 已知中，求。类型2 型解题思路：利用累乘法, 将各式相乘得，即得.例4在数列中，求通项.解：由条件等式得，得. 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.例5、设数列是首项为1的正项数列，且则它的通项公式是=（2000年高考15题）.解：原递推式可化为： =0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.练习：1、已知：，（）求数列的通项。2、已知中，且求数列通项公式。类型3、 型解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列.例6数列满足，求. 解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。（n=1,2,3），即通项【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习：1、已知满足，求通项公式。 2、已知中，（）求。分析：构造辅助数列， ，则同类变式1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得2、已知：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故所以，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。类型4型例7 已知数列的前项和满足（1） 写出数列的前3项；（2） 求数列的通项公式.解：（1）由，得.由,得,由,得(2)当时,有,即 令,则,与比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目：1、已知中，（）求2、在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式，得由0及式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型5、取倒数例8、已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解： 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例9、数列中，且，求数列的通项公式.提示 例10、，求解：即 则例11、数列中，求的通项。解： 设 练习：1、在数列中，求类型6、取对数法例12 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比设 练习：1、在数列中，求类型6、取对数法例12 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，数列，