数学论文幂零矩阵迹的特征

幂零矩阵迹的特征（孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘 要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设是复数域上向量空间，是上的线性变换，且满足，那么的所有特征值均为0，并且和之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即，求证和有公共特征向量，并且求出和的公共特征向量.关键词： 幂零矩阵；迹；特征值；特征向量Features of Nilpotent matrix trace YAN Wen(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China)Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)： Based vector space V is the complex field, are the linear transformation, and satisfies , Then all the eigenvalues of are 0, Between and there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that , Verify:and have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public.Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.1 引言在2009年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：例1 假设是复数域上维线性空间（），是上的线性变换如果，证明的所有特征值都是0，且有公共特征向量（2009年全国大学生数学竞赛试题）在2002年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：例2 设是有理数域上的向量空间，是上的线性变换，其中可对角化，且满足，证明存在正整数，使得是零变换（2002年苏州大学研究生试题） 由于的所有特征值都是0是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题在全国大学生数学竞赛组委会为例1提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换下不变，最后利用的迹为零的结果，间接导出的任意特征值为0，整个证明复杂繁琐而例2中条件“可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明是幂零矩阵呢？另外，对例1中关于有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是命题11若是复数域上维线性空间上的线性变换，且，则和存在公共的特征向量尔后由Laffey与Choi在1978-1981年将之推广为 命题22,3若都是复数域上的阶方阵，满足，则和存在公共的特征向量对于命题2的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的4.从以上诸例及相关结论上看，对线性变换而言，关于的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵的讨论.本文将讨论与解决如下问题：1、关于矩阵或线性变换的性质；2、对满足或的线性变换，不仅证明之间存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；3、某些逆命题.2 性质设为阶矩阵，令，则具有如下基本性质：性质1.证明 设、，则，.性质2 对任何阶矩阵，.证明 反证法 假设，则由性质1可知，显然矛盾，所以.命题得证.性质3 设，是阶矩阵，令，且同，可交换，求证：存在整数使 .证明 因为同，可交换即，所以有,即与可交换.同理可证（）与可交换，（）与可交换. 下证（）.同理可证：.下证的所有特征值为零. 设的所有特征值为，所以的所有特征值为.下面证明都为零.由，可得： 设的不为零的特征值分别为，且分别为重.则上式可写成：令，所以上式可写成.而由范德蒙行列式可知，又的特征值互不相等，所以，所以上式只有零解，所以的特征值全为零.若的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在使.命题得证.注：对于中的线性变换，令，则有（为恒等变换）.133 可换矩阵的公共特征向量命题1 若，且，则与一定存在公共的特征向量.证明 因为，则在复数域上一定存在特征值，取的任一个特征值，考虑的特征子空间设，则，设为的一组基，则，于是有，.在下面的证明中，我们将证明存在的属于的一个特征向量，使也是的一个特征向量，即存在某数使成立，从而为与的公共特征向量.由于为的一组基，设 （1）由，则，即得，.则有，使得下步将寻找不全为零的，使（1）成立，并且使为与的公共特征向量. 而由及线性无关，得 （2）即，记，即得，也即 （3）当时，上式有非0解，此式说明是的特征值.命题1证毕.命题1证明了与有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在的特征向量.于是有推论：推论 1 若复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则与至少有个线性无关的公共特征向量.证明 设是的个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在的每个特征子空间中都存在的特征向量，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得是与的个线性无关的公共特征向量.推论 2 若阶复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵，使得与都是对角矩阵. 证明 由推论1知与有个线性无关的公共特征向量，作矩阵，则与都是对角矩阵.下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量.例1 求可换矩阵所有的公共特征向量.， 解 容易验证，的特征多项式为 .所以， .对，由，得，从而基础解系为，而，定理1中的为矩阵，于是，于是公共特征向量为，其中为任一不为零的常数对，由，得，从而基础解系为，而，由命题1可知，从而有，对，得，于是公共特征向量为，即，其中为任意不为零的常数.对，得，于是公共特征向量为，即，其中为任意不为零的常数.于是所有公共特征向量的形式为：，为任意不为零的常数.4 逆命题 设为阶矩阵，且，则必存在阶矩阵与，使证明 若，则一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参考文献12定理1的证明，在此略.下证必存在阶矩阵与，使分两种情况讨论：（1）若是主对角元全是零的方阵，即，.取两两互异.取，其中（），而任意，可验证.（2）对任何的阶矩阵，由引理存在可逆阵，使为一个主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在阶矩阵与，使于是，有，令，则.命题得证.5 一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献2中P261却有如下一道习题：习题2 设矩阵与可交换，试证：如果有特征向量，则一定有公共特征向量.在文献3中对该习题作出了如下解答：解3 设是两个可交换的矩阵，系数在数域中，并设其阶数为.可看成维线性空间的线性变换在基下的矩阵，从可交换可推出可交换.如果有特征向量，则有特征值.在对于的特征子空间中，有公共特征向量，也是矩阵的公共特征向量.上述结论不真.事实上，在实数域上，取，令是在实数域没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则与可交换，有特征向量，但没有特征向量.例1 在实数域上，（单位阵），则，有特征值，从而有特征向量，但在实数域上没有特征值，自然没有特征向量.6 进一步的讨论 结论 1 若，且有个互不相同的特征值，则可逆阵使得 ， .结论 2 已知 ，则（1）不是的特征值，也不是的特征值；（2）若相似于对角阵，则也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵.结论3 若，至少有一个可以对角化，则 （1）一定能表成的多项式.（2）每一个特征向量都是的特征向量.（3）至少有一个公共特征向量.结论4 若，可对角化，则有个公共特征向量，且它们线性无关.参考文献1 屠伯埙.线性代数方法导引M.上海：复旦大学出版社，1986.2Laffey T J .Simultangularization of matrices-low rank cases and the nonderogetory caseJ.Lin and Multilin .Alg ,1978 ,6(4):289-305.3Choi M P ,Lourie C ,Radjavi H.On commutators and invariant subspacesJ.Lin and Multilin.Alg,1981,10(4):329-340.4胡付高.矩阵的弱相似性及其应用J.信阳师范学院报(自然科学版),2003,16(1):4-6.5 王萼芳.高等代数教程（下册）M.北京: 清华大学出版社，1997.6 王萼芳.高等代数辅导与习题解答M.北京:清华大学出版社，1997.7 屠伯埙，徐诚浩,王芬.高等代数M.上海:上海科学出版社,1987.8 王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社,1987.9 朱靖红，朱永生.矩阵对角化的相关问题J.辽宁师范大学学报，2005，28（3）：383-384.10 陈绍刚.矩阵对角化的弱可逆矩阵刻画J.数学的实践与认识，2005，35（9）164-166.11 姜晓艳.化方阵为相似对角阵的一个判别条件J.辽宁师专学报，2004，6（2）2,29.12 绍逸民.迹为零的矩阵的性质J.沈阳师范大学学报，2008，26（4）1-2.13 王萼芳等.高等代数（第三版）M.高等教育出版社致 谢在写论文的过程中，谢谢百忙之中的胡付高老师抽出宝贵的时间来指导，在此衷心感谢胡老师的悉心指导！