单元课程设计(新改版)

高等数学单元课程设计1课题函数授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解函数、分段函数掌握基本初等函数的图像和性质能力目标：能熟练建立简单问题的函数关系式，感知数学知识的逻辑性情感目标：通过实际案例激发学生学习数学的积极性教学重点与难点重点理解函数的概念，掌握基本初等函数的图像和性质难点就实际问题形成函数,建立实际问题的数学模型任务描述任务一：了解学习高等数学的意义、方法、内容，学习的要求任务二：通过案例分析，学会建立简单问题的函数关系式。教学方法案例驱动，提问，启发，探讨，多媒体教学教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容设计意图1引言任务1：学习高等数学的意义、方法、内容，学习的要求认识应用高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣2案例引入任务2：通过案例分析，学会建立简单问题的函数关系式。案例1气温与时间案例2邮件付费从学生实际生活中遇到的问题入手，引导学生分析问题引入概念，这样能激发学生的学习兴趣。3理解函数的概念1.函数的定义2. 函数的两要素3 函数的记号4 函数的三种表示方法,（1）图像法 （2）表格法 （3）公式法讲清概念的内涵和外延，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力，4函数的性质函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性对于这部分知识只是通过例子和图象讲清性质、定理的内涵和外延，重点是对性质的运用 ，从而培养学生的解题技巧和逻辑推力能力.这也体现了高职数学必须遵循的“以应用为目的，以必需、够用”为度的原则5练习巩固1.某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.2. 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型.巩固知识,形成技能,反馈矫正.6.课堂小结主要知识点： 1. 学习高等数学的意义、方法、内容、要求2.函数、分段函数、基本初等函数、复合函数和初等函数的定义，函数的表示法，基本初等函数的图形，初等函数的函数值、定义域、值域的确定，复合函数的分解。3.函数的基本性态（奇偶性、周期性、单调性和有界性）的定义及其几何特巩固知识，明确要求，整理知识结构与思想方法，培养学生的组织能力，形成完整的知识体系.7.作业课本习题、教学案例结合本专业特点，达到理解概念，培养能力，发展学生面对实际问题，运用所学知识，解决问题的应用意识.高等数学单元课程设计2课题函数授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解复合函数、初等函数的概念、掌握初等函数的定义;能力目标：能熟练判函数关系是否为初等函数，感知数学知识的逻辑性情感目标：通过实际案例激发学生学习数学的积极性教学重点与难点重点理解初等函数的概念，掌握初等函数的类型难点分析复合函数的结构，建立实际问题的数学模型任务描述任务一：了解学习高等数学的意义、方法、内容，学习的要求任务二：通过案例分析，学会区分函数类型.教学方法案例驱动，提问，启发，探讨，多媒体教学教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容设计意图1引言任务1：学习从数学的角度看待世间万物之变化.认识应用高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣2案例引入任务2：通过案例分析，认识复合函数.案例:收入和价格变化和销量变化之关系. 从学生实际生活中遇到的问题入手，引导学生分析问题引入概念，这样能激发学生的学习兴趣。3理解复合函数的概念1.复合函数的定义: 若函数的定义域为，函数在上有定义，其值域为且，则对于任一，通过函数有确定的与之对应，通过函数有确定的值与之对应这样对于任一，通过函数有确定的值与之对应，从而得到一个以为自变量，为因变量的函数，称其为由函数和复合而成的复合函数，记为，其定义域为，称为中间变量2. 判定函数是否是复合函数讲清概念的内涵和外延，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力，4复合函数的拆分复合1. 将基本初等函数合成复合函数2. 将复合函数拆成简单函数通过练习锻炼学生思维,结合例题讲清概念的内涵和外延，重点是对复合函数的结构的分析.5.初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，且用一个式子表示的函数，称为初等函数。让学生学会运用概念,分析问题解答问题.6.典型例题例题1分析下列复合函数的结构：(1) =；(2) =.例2有一个圆锥形的漏斗,其母线长 20厘米,试将漏斗的容积V表示为它的高h的函数,并指明定义域. 根据相关知识建立函数关系，以培养学生分析问题、解决问题的能力7练习巩固1.某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.2. 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型.巩固知识,形成技能,反馈矫正.8.课堂小结主要知识点： 1. 学习高等数学的意义、方法、内容、要求2.复合函数和初等函数的定义，函数的表示法，基本初等函数的图形，初等函数的函数值、定义域、值域的确定，复合函数的分解。巩固知识，明确要求，整理知识结构与思想方法，培养学生的组织能力，形成完整的知识体系.9.作业课本习题、教学案例结合本专业特点，达到理解概念，培养能力，发展学生面对实际问题，运用所学知识，解决问题的应用意识.高等数学单元课程设计3课题极限（一）授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：了解函数极限的描述性定义能力目标：具有用极限思想分析问题的意识，感知极限与生活的紧密联系情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中教学重点与难点重点1.理解数列、函数的极限概念和性质；2.掌握极限存在的充要条件；难点熟练练判断分段函数在分段点处极限是否存在.任务描述任务一：会求分段函数在分界点的极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容设计意图1数列极限1引例：公元前3世纪，道家代表庄子天下篇：一尺之棰，日取其半，万世不竭2.数列极限3.单调有界定理由我国古代数学案例引入概念, 培养学生的的学习兴趣和民族自豪感2函数的极限1.时函数的极限2. ()时函数的极限定理3. 时函数的极限定理2讲清概念的内涵和外延，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力，3极限的性质1唯一性 2有界性 3保号性 注：逆命题不成立 4.夹逼准则讲清定理的条件和结论，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力4.无穷小量1.无穷小量的定义2极限与无穷小之间的关系3.无穷小量的运算性质定理2.有限个无穷小量的代数和是无穷小量定理3. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量推论1. 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量推论2. 常数与无穷小量的乘积是无穷小量注意: 两个无穷小之商未必是无穷小，对于这部分知识只是通过例子和图象讲清性质、定理的内涵和外延，重点是对性质的运用 ，从而培养学生的解题技巧和逻辑推力能力.5.无穷大量（1）无穷大的定义在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时, 是无穷大量” （2）无穷小量与无穷大量的关系定理4.（在无穷小量与无穷大量的关系）自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量例3.自变量在怎样的变化过程中，下列函数是无穷大量1.结合例题讲清概念的内涵和外延，重点是对复合函数的结构的分析6练习巩固课本习题2：1（1）（2）（3）（4），2（1）（2），3（1）（2）巩固知识,形成技能,反馈矫正.7课堂小结主要知识点：1. 极限的概念与方法，及时函数极限定义及数列极限的定义；2. 函数极限和数列极限的几何意义；3. 无穷小量、无穷大量的定义；4. 无穷小量与无穷大量的关系。巩固知识，明确要求，整理知识结构与思想方法，培养学生的组织能力，形成完整的知识体系.8作业课本习题结合本专业特点，达到理解概念，培养能力，发展学生面对实际问题，运用所学知识，解决问题的应用意识.高等数学单元课程设计4课题极限（二）授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握极限的四则运算法则能力目标：具有用极限思想分析问题的意识，感知极限与生活的紧密联系情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中任务描述任务一：对某种电子产品的销售作出预测任务二：运用极限的四则运算法则求极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1.导入任务一：某商场推出某种电子产品时，在短期内销量会迅速增加，然后下降，其函数关系为，请你对该产品的长期销售作出预测分析：所以购买次电子产品的人将越来越少，转而买新的电子产品2.极限的运算法则极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若，则存在，且。注：本定理可推广到有限个函数的情形。定理2：若，则存在，且。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理3：设，则。注：以上定理对数列亦成立。分析：定理和推论只要求掌握它的意义和运用，对证明不作要求任务二：求下列例题中的极限【例1】。【例2】。推论1：设为一多项式，当。推论2：设均为多项式，且，则。【例3】。【例4】（因为）。注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。【例5】求。解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以 。【例6】求。解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，所以。【例7】求。解：当时，故不能直接用定理5，又，考虑：， 。【例8】若，求a,b的值。当时，且【例9】设为自然数，则 。证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6定理5，先变形： 【例10】求。解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形： 原式3.课堂练习课本习题2：1（1）（2）（3）（4）（5）（6）， 2.4.课时小结 1. 函数极限的运算法则及其应用；2. 综合应用极限的运算法则计算函数极限的方法5.作业题课本习题3：1（1）（2）（3）（4）（5）（6）高等数学单元课程设计5课题极限（三）授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：会用两个重要极限求极限，会无穷小的比较能力目标：能用极限的概念分析实际问题情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，严谨求是的作风任务描述任务一：会计算连续利率问题任务二：会利用两个重要极限求极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1导入任务一：连续利率问题储户在银行存钱银行要给储户利息。如果年利率一定，但银行可以在一年内多次付给储户利息，比如按月付息、按天付息等。某储户将1000美元存入银行，年利率为5%。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔的地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问1) 随着结算次数的增多，一年后该储户的本息和是否也在增多？2) 随着结算次数的无限增加，一年后该储户在银行的存钱是否会无限变大？案例分析 若该储户每月结算一次，则每月利率为：0.05/12故第一个月后储户本息共计：; 第二个月后储户本息共计：， ，依此，一年后该储户本息共计：. 若该储户每天结算一次，假设一年365天，则每天利率为：0.05/365故第一天后储户本息共计：;第二天后储户本息共计：， 则一年后储户本息共计： 一般地，若该储户等间隔地结算n次，则有一年后本息共计： 于是，可以得到如果储户等间隔地结算n次，一年后本息共计的一个函数：随着结算次数的无限增加，有,故一年后本息共计：怎样计算上述极限？引入课题. ， 2.重要极限11. 第一个重要极限：下面将证明第一个重要极限：。说明：（1）此极限中的一定要用弧度作单位。（2）应用时要保证极限中的、和分母三者中的形式一致（3）对于此极限要求掌握它的结构特点和应用，它的证明只是了解任务2：求下列极限【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。3.重要极限2第二个重要极限：即 注意： 1：我们可证明：， 2：指数函数及自然对数中的底就是这个常数。3. 对于此极限要求掌握它的结构特点和应用。任务1的解决：nnn)05.01(1000lim+=1051.27结论： 计算结果说明随着结算次数的无限增加，一年后该储户在银行的存钱不会无限变大，该储户一年本息和最多不超过1052美元。 通过实验结果可以知道，只要年利率一定，不管银行采取多么小时间间隔的付息方式，都不会导致付息的无限增多的结果任务2：求下列极限 【例1】 【例2】 【例3】【例4】 4.练习1. 求下列极限： （强调函数的恒等变换及变量替换） （1） ； （2） ； （3） ；（4） 。2. 求下列极限：（强调与其它方法的综合运用） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 。5.知识小结1. 掌握两个重要极限2. 两个重要极限计算函数极限的方法6.作业 习题2：6，7，8高等数学单元课程设计6课题函数的连续性授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解函数在一点连续的概念，能力目标：能用连续的定义描述电流等专业现象的特征情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中任务描述任务：会判断函数在一点是否连续教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1案例分析导入课题连续性是函数的重要性态之一。他不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开辟了新途径。本节将运用极限概念对它加以描述和研究，案例1某日气温变化案例2小孩个子的长高2 函数在一点连续的概念定义设函数在点的某个邻域内有定义，若当自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 ，则称函数在点处连续，或称是的一个连续点定义若，则称函数在点处连续 左右连续的概念若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续 函数在一点连续的充分必要条件函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：函数在点的某邻域内有定义，存在，这个极限等于函数值函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续说明：（1） 点连续性的两个定义本质相同，只是叙述的角度不同。（2） 函数在某点连续必须同时满足三个条件：函数在该点的某个邻域内有定义； 函数在该点的极限存在； 极限值等于该点的函数值 （3）用“点连续性的两个定义”可证明初等函数的点连续性；用“左连续和右连续” 可证明分段函数在其分段点处的连续性。例1 讨论函数在处的连续性解 ，而，即因此，函数在处连续例2. 讨论函数在点的连续性解 这是一个分段函数在分段点处的连续性问题由于在点的左、右两侧表达式不同，所以先讨论函数在点的左、右连续性因为，所以在点左、右连续，因此在点连续例3.由上图可看出：，虽然当时的左、右极限都存在，但当时，函数并不趋近于某一个确定的常数，因而当时的极限不存在，故函数在点不连续3.练习讨论函数在点的连续性解 作出它的图象（如下图所示）， y -1 O 1 x -1 -2 4.课堂小结1.函数的点连续性、区间连续性定义及判定条件；5.作业习题2：10 （1） （2）高等数学单元课程设计7课题函数的连续性-间断点授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型，了解初等函数的连续性能力目标：能用连续的定义描述专业现象的特征情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中任务描述任务一：会判断函数间断点的类型任务二：会利用函数的连续性求极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1案例分析导入课题前面我们了解了函数在一点连续的情况,通过例题看到了优势函数在某处是不连续的情况,如练习题.此时我们称函数为间断.复习内容-如: 讨论函数在点的连续性解 作出它的图象（如下图所示）， y -1 O 1 x -1 -2 由上图可看出：，虽然当时的左、右极限都存在，但当时，函数并不趋近于某一个确定的常数，因而当时的极限不存在，故函数在点不连续称此处函数间断.2.间断点若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点1 间断点的分类设为的一个间断点，如果当时，的左极限、右极限都存在，则称为的第一类间断点；否则，称为的第二类间断点对于第一类间断点有以下两种情形： 当与都存在，但不相等时，称为的跳跃间断点； 当存在，但极限不等于时，称为的可去间断.3.练习例 4讨论函数 ， 在点处的连续性 解 由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续例5 计算下列极限： 解 因为是初等函数，且是它的定义区间内的一点，由定理3，有例6 计算下列极限： 。解 所给函数是初等函数，但它在处无定义，故不能直接应用定理3易判断这是一个“” 型的极限问题经过分子有理化，可得到一个在处的连续函数，再计算极限，即4初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值根的存在定理 设为闭区间上的连续函数，且异号，则至少存在一点，使得介值定理 设是闭区间上连续函数，且，则对介于之间的任意一个数，则至少存在一点判断函数连续性的方法 由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性5.课堂小结1.函数的点连续性、区间连续性定义及判定条件；2.初等函数的连续性；3.闭区间上连续函数的最值和介值性质及其推论；4.函数间断点与判定方法；5.求函数极限方法综合。作业习题2：10 （1） （2）高等数学单元课程设计8课题极限习题课授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握本模块的知识要点能力目标：能利用求函数极限的各种方法求极限情感目标：通过求函数极限的练习，培养学生的钻研精神，强化逻辑思维的能力任务描述任务一：掌握本模块的知识要点任务二：能利用求函数极限的各种方法求极教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容一、知识要点一、知识要点 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) ， (2) (代表同一变量). 3.基本方法 利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极限； 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限； 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限； 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.二、例题精解二、例题精解 例1 求下列极限: (1) ； (2) (3) (4) ； (5) ； (6) .解 (1)由于讨论函数在处有定义，而且在处连续，所以有(2) （这是型，设法将其化为）(3) (4) （5）、（6）解略。课堂练习练习：习题二：5,6,7,8作业课本习题2：9，10，11，12高等数学单元课程设计9课题导数的概念授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解导数和微分的概念、了解导数的几何意义，知道函数可导与连续之间的关系能力目标：能用导数描述生活和建筑工程专业中与变化率相关的问题。情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，求是严谨，积极学习的精神。任务描述任务一：如何计算变速直线运动的瞬时速度？任务二：怎样求平面曲线的切线斜率？教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1.课题导入任务1.变速直线运动的瞬时速度。知. 物体在到+这段时间内 的平均速度： t 任务2：切线问题切线的定义：设有曲线C及C上一点（如图）在点外另取C上一点，作割线，当点沿曲线C趋于点时如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线C在点处的切线这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零TyoMy=f(x)x0 Nx0+xQx设曲线C为函数的图形，设（是曲线上一个点，则根据上述切线的定义，要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了为此在C上于点外另取一点，于是割线和斜率为 其中为割线的倾角，当点沿曲线C趋于点时，如果当时，上式的极限存在，设为即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率，这里为切线的倾角，于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线C在点处的切线事实上，=，可见，时（这时），因此直线确为曲线C在点处的切线2.导数的概念1定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即 .若极限不存在，则称在点处不可导.若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为 .2 左导数与右导数 函数在点处的左导数 . 函数在点处的右导数.函数在点处可导的充要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等3.导数的几何意义导数的几何意义 函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率.关于导数的几何意义的3点说明:曲线上点处的切线斜率是纵标变量对横标变量的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.如果函数在点处的导数为无穷(即,此时在处不可导),则曲线上点处的切线垂直于轴.函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于轴的切线.4.变化率变化率：函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 5.可导与连续的关系可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导.例1 求在处的导数.例2 求 ，的导数.解 当时， ， 当时，当时，所以 ，因此 ，于是 6.求导举例求导举例 例2求函数sinx的导数解：xR，即，xR，类似地，xR，例3求函数lnx的导数解：x(0，)，即任意x0，举例： 总结：求导步骤1求增量 2算比值 3取极限7.课堂小结1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.可导与连续的关系 3.几个基本初等函数的求导公式高等数学单元课程设计10课题导数的运算导数的基本公式和四则运算法则授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握导数的基本公式和运算法则能力目标：能用导数描述生活和建筑工程专业中与变化率相关的问题。情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，求是严谨，积极学习的精神。任务描述任务一：学会利用导数的四则运算法则求导教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1.函数的和差积商的导数定理1 设函数在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在处可导，且（1） （2） （3） 推论 （C为常数）说明：定理1中的（1）、（2）可推广到有限个可导函数的情形如设均可导，则有 2.求导举例例1 设，求.解： .例2 设，求：.解: 例3 设，求.解: . 例4 已知,求: .解: . 例5 设,求:.解: 原式化简为. .求的导数.解: 首先. 同样,例6 设，求3.基本初等函数的导数公式导数的基本公式（1）、 （2）、（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、 （8）、（9）、 （10）、（11）、 （12）（13）、 （14）、（15）、 （16）、4.巩固练习课本习题3：1（1）-（10），5.课堂小结(1)熟练记住常数和基本初等函数的导数公式;(2)熟练运用求导法则;(3)掌握一定的计算技巧.高等数学单元课程设计11课题导数的运算复合函数的求导法则授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握复合函数和反函数求导的运算法则能力目标：能用复合函数的导数解决生活和建筑工程中与变化率相关的问题。情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，积极学习的精神。任务描述任务一：怎样求气球充气式半径增加的速度任务二：能用复合函数的求导法则求导教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容课题引入任务1：设气体以100的常速注入球状的气体，假定气体的压力不变，那么当半径为10时，气球半径增加的速率是多少？要解决此类问题，我们需先学习复合函数的求导法则 1.复合函数的求导法则复合函数求导法则设，则复合函数的导数为 复合函数求导法是函数求导的核心：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础 复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出2.求导举例例1 设，求. 解 令，由复合函数求导法则有 ，如果不写中间变量，可简写成 ，3.应用任务1 解 设在时刻时，气球的体积与半径分别为和.显然 所以通过中间变量与时间发生联系，是一个复合函数 根据题意，已知，要求当时的值.所以得 将已知数据代人上式得. 4.练习案例2：若水以的速度灌入高为，底面半径为的圆锥型水槽中，问当水深为时水位的上升速度为多少？课本习题3：4（11）-（20）5.反函数的求导定理3 如果单调连续函数在点处可导，而且，那么它的反函数在对应的点处可导，且有或 例1函数证明R，相应的且有法则,得特别地，例2 函数证明:(略)说明:.为什么?6.课堂小结复合函数的导数的求导法则反函数的求导法则7.作业课本习题3的部分习题及 案例解答，以书面形式高等数学单元课程设计12课题隐函数的求导法则和高阶导数授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握隐函数所确定的函数的导数，掌握高阶导数的概念及求法 能力目标：会求隐函数的导数，能用二阶导数的意义分析实际问题概念情感目标：通过实际案例激发学生学习数学的积极性任务描述任务一：会求隐函数和参数式函数的导数任务二：会求高阶导数教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1.隐含数的导数一隐含数的导数定义 由例1求由方程确定的隐含数的导数解方程两边分别对求导，得解得，所以.例求曲线解 因为,所以,两边分别对求导得,则.因此在(1,-1)处切线的斜率为,从而,所求切线方程为,即例设解等式两边分别取绝对值后再取对数,有,两边分别对x求导,得所以, 注:上述解法求导时可省略取绝对值.例设解等式两边分别取对数,得两边分别对x求导,得所以,.2.参数式函数的导数二、参数式函数的导数求导法则 设由参数方程其中函数可导且,例5求摆线解 摆线上,又所以,所求切线斜率,从而所求切线方程为,即 .3.对数求导法二、对数求导法由几个初等函数能过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数，幂指函数的求导，在的两边先取对数，然后利用隐函数求导法求导，可简化求导运算例3、 已知解：将两边同时取对数，得 将上式两边分别对求导，注意到是的函数，得于是 解法二：因为 ，根据复合函数的求导法则，得 例4、 求的导数解：将将方程两边同时取对数，得 ，将上式两边分别对求导，得 所以 4.高阶导数一、高阶导数定义一般地，函数的导数仍是x的可导函数时,则称为函数的二阶或等类似地，有例函数解：例函数解： 一般地， 例函数解：(1) 一般地， (2)例函数解： =5.课堂练习习题3：21，22，246.课堂小结小结: (1)学会用两边取对数的方法进行隐函数求导运算; (2)学会参数式函数的导数计算;(3)灵活运用求导公式对较简单函数求高阶导数和参数式函数求二阶导数.高等数学单元课程设计13课题微分授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解函数微分的概念能力目标：能熟练求出基本初等函数的微分,会简单的复合函数微分情感目标：通过实际案例激发学生学习数学的积极性教学重点与难点重点理解函数微分的概念，掌握基本初等函数的微分求法和相关公式难点复合函数的微分任务描述任务一：微分和函数导数的关系 任务二：通过案例学会求简单的微分问题教学方法案例驱动，提问，启发，探讨，多媒体教学教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容设计意图1引言任务1：微分是什么?认识微分,并能区分导数和微分2案例引入任务2：通过例分析，学会求简单的函数微分。从学生实际生活中遇到的问题入手，引导学生分析问题引入概念，这样能激发学生的学习兴趣。3理解函数微分的概念1.函数微分的定义微分的概念定义:设函数内有定义，相应的函数增量在是所以,定理函数处可微的充要条件是处可导且.2微分的几何意义微分3.微分公式法推导1常数和基本初等函数的微分公式；2函数的和差积商的微分法则；3复合函数的微分法则.讲清概念的内涵和外延，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力，4练习例3 求函数的微分。解 令，则，利用微分形式不变性，得.例4 求函数的微分。解 把看成中间变量，但不写出，则.例5 求函数的微分。解 =.例6 在括号内填入适当的函数，使下列等式成立。（1）； （2）.解 （1）因为，所以，即，显然，对任何常数都有 .（2）因为，所以 ， 即，也有巩固熟练5.课堂小结1.函数微分的定义微分的概念2.微分的几何意义3.微分公式法推导巩固知识，明确要求，整理知识结构与思想方法，培养学生的组织能力，形成完整的知识体系.6.作业课本习题、教学案例结合本专业特点，达到理解概念，培养能力，发展学生面对实际问题，运用所学知识，解决问题的应用意识.高等数学单元课程设计14课题导数与微分习题课授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握本模块的知识要点能力目标：能利用求函数导数与微分的各种方法求导数和微分情感目标：通过求函数导数的练习，培养学生的钻研精神，强化逻辑思维的能力任务描述任务一：掌握本模块的知识结构任务二：通过各类函数求导运算，学会正确选择各种合适方法进行求导运算教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容一、本章提要一、本章提要1. 基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分 2. 基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式 3. 基本方法 利用导数定义求导数； 利用导数公式与求导法则求导数； 利用复合函数求导法则求导数； 隐含数微分法； 参数方程微分法； 对数求导法； 利用微分运算法则求微分或导数二要点解析1：由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数指数函数的导数然后再用定义推出了几个主要的求导法则求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则 借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式在此基础上解决了基本初等函数的求导问题下面是我们解决这个问题的思路：2微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？解析 微分概念的产生是解决实际问题的需要计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分去近似代替，根据函数的微分定义知 是函数增量 的线性主部，它有两个性质：（1）是的线性函数；（2）与之差是的高阶无穷小（当）正是由于性质（1），计算的近似值是比较方便的，同时由于性质（2），当很小时，近似程度也是较好的因此，一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量或导数打交道的人，在自己所要求的精确范围内，往往就用微分去代替增量，用差商代替导数 微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，的微分这一形式不变需要说明一点是：当为自变量时，作为定义，；当是另一个变量的函数时，例题精讲例题16：略课堂练习学生练习：P60-63，教师辅导。高等数学单元课程设计15课题函数的单调性授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握函数单调性的判定；能力目标：会求函数的单调区间。情感目标：通过实际案例激发学生学习数学的积极性任务描述任务一：通过实例学会利用导数进行函数的单调性和极值的计算方法教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1导入案例“讨论函数的单调性”说明用定义判断单调性的困难；2.函数的单调性1、 通过演示，揭示函数单调性与导数之间的关系。函数单调增加时导数大于零 ， 函数单调减少时导数小于零 。2、 总结规律，给出判断函数单调性的判别法。3、 举例例1. 判定函数在上的单调性. 例讨论函数的单调性 注意1:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性注意2：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.注意3：如果在区间(a, b)内 (或 )，但等号只在个别点处成立，那么f(x)在(a, b)内仍旧是单调增加(或单调减少)的。例3确定函数 y=x3 的单调性。3.求函数的单调区间1、 提出问题问题: 如，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调注意：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点2、 归纳确定函数单调区间的一般步骤用方程的根及不存在的点来划分函数的定义区间，然后判断区间内导数的符号。确定某个函数的单调区间的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求出使和不存在的点，并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定在各个子区间内的符号，从而判定出的单调性. (列表格判断)4.举例举例例 1求函数 的单调区间例2 确定函数的单调区间。例3 确定函数的单调区间。例4 讨论函数的单调性.5.函数的极值一、函数极值的定义1、 从求函数单调区间例题给出函数极值定义2、分析函数极值点特点由图示分界点处的各种可能情况，给出函数极值的特点。注意：1、极值是函数值， 2、极值是局部性的概念3、极值一定在区间 内部取得。 4、极值可有多个，且极大值不一定大于极小值。问题：哪些点有可能是极值点呢？二、 函数极值的求法1、 极值存在的必要条件定理1 （极值存在的必要条件）如果函数f(x)在点x0处有极值, 且f (x0)存在, 则f (x0)=0.定理的几何意义是：可微函数的图形在极值点处的切线与 Ox 轴平行.定理的重要意义在于：对于可微函数来讲，其极值点必在导数为零的那些点之中.今后，我们称导数为零的点为驻点.函数可能在其导数为零的点，或者是在连续但不可导的点处取得极值.注: f(x)=0是点x0为极值点的必要条件, 但不是充分条件. 函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点. 驻点或导数不存在的点都是可能的极值点.2、 极值存在的第一充分条件定理2 设函数f(x)在点x 0的某邻域(x0-d, x0+d)内连续并且可导(但f(x0)可以不存在). (1)如果当x(x0-d, x0)时f(x)0, 而当x(x0, x0+d)时f (x)0, 则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0); (2)如果当x(x0-d, x0)时f(x)0, 则函数f(x)在x0处取得极小值f(x0);