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1997年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共150分考试时间120分钟第卷(选择题共65分)一选择题:本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合M=x0x2,集合N=xx2-2x-3b0,给出下列不等式:f(b)f(a)g(a)g(b);f(b)f(a)g(b)g(a);f(a)f(b) q,且,设,Sn为数列的前n项和求22(本小题满分12分)甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b;固定部分为a元I把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;II为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?23(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点I证明ADD1F;II求AE与D1F所成的角;III证明面AED面A1FD1;IV设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积 24(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)x=0的两个根x1,x2满足0x1x2I当x(0, x1)时,证明xf (x)x1;II设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称,证明x01=p()p10qpbc2,故有abcvabc20,所以,且仅当v=c时等号成立,也即当v=c时,全程运输成本y最小综上知,为使全程运输成本y最小,当时行驶速度应为;当时行驶速度应为v=c(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分解:()AC1是正方体, AD面DC1又D1F面DC1,ADD1F ()取AB中点G,连结A1G,FG因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1GD1F设A1G与AE相交于点H,则AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以RtA1AGRtABE,GA1A=GAH,从而AHA1=90,即直线AE与D1F所成角为直角 ()由()知ADD1F,由()知AED1F,又ADAE=A,所以D1F面AED又因为D1F面A1FD1,所以面AED面A1FD1()连结GE,GD1FGA1D1,FG面A1ED1,AA1=2,正方形ABB1A1 (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分证明:()令F(x)=f(x)x因为x1,x2是方程f(x)x=0的根,所以F(x)=a(xx1)(xx2) 当x(0,x1)时,由于x10,又a0,得F(x)=a(xx1)(xx2)0,即x0,1+a(xx2)=1+axax21ax20得x1f(x)0由此得f(x)x1 ()依题意知因为x1,x2是方程f(x)x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根, 因为ax21,所以(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力满分12分解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为b, a由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90,知圆P截X轴所得的弦长为,故r2=2b2,又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1从而得2b2a2=1 又点P(a,b)到直线x2y=0的距离为, 所以5d2=a2b2 =a2+4b24ab a2+4b22(a2+b2) =2b2a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值 由此有解此方程组得或由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2 解法二:同解法一,得得将a2=2b21代入式,整理得把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即=8(5d21)0,得5d215d2有最小值1,从而d有最小值 将其代入式得2b24b+2=0解得b=1将b=1代入r2=2b2,得r2=2由r2=a2+1得a=1综上a=1,b=1,r2=2由=1知a,b同号于是,所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2
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