弹性力学 弹性波

12概述1-1 1-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程11-2 11-2 无旋波与等容波11-3 11-3 横波与纵波11-4 11-4 球面波第十一章第十一章 弹性波弹性波3概述概述 当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，扰。在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为就称为弹性波弹性波。 本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。播速度公式。411-1 11-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程 上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。 本章仍然采用如下假设：本章仍然采用如下假设： （1） 弹性体为理想弹性体。弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。假定位移和形变都是微小的。5 对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为方向的分量分别为:其中其中为弹性体的密度为弹性体的密度。22tu22t 22tw6 由平衡关系，并简化后得：由平衡关系，并简化后得：上式称为上式称为弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程。它同几何方程和。它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。022tuXzyxzxyxx022tYxzyxyzyy022twZyxzyzxzz7 注注1 1：几何方程几何方程xuxyyzwzzywyzxwzuzxyuxxy8 注注2 2：物理方程物理方程)(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzEyzyzE)1 (2zxzxE)1 (2xyxyE)1 (29 由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：得：得：zwyxue0)211()1 (2222tuXuxeE0)211()1 (2222tYyeE0)211()1 (2222twZwzeE10 这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为为拉密（拉密（Lame)方程方程。 要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。还要给出初始条件。 为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简化为：动微分方程简化为：)211()1 (2222uxeEtu)211()1 (2222yeEt)211()1 (2222wzeEt1111-2 11-2 无旋波与等容波无旋波与等容波 一、无旋波一、无旋波 所谓所谓无旋波无旋波是指是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。 假定弹性体的位移假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：可以表示成为：xuyzw其中其中 是位移的势函数。这种位移称为无旋位是位移的势函数。这种位移称为无旋位移。而相应于这种位移状态的弹性波就称移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波无旋波。),(tzyx12证证：在弹性体的任一点处，该点对在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量轴的旋转量即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。yuxz 将将 代入，可得：代入，可得：xuy0z 同理同理 0 x0y得证得证13在无旋位移状态下在无旋位移状态下2zwyxue从而从而uxxxe222 同理同理 2yewze2 将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后得无旋波的波动方程得无旋波的波动方程14uctu2212222122ctwctw22122)21)(1 ()1 (1Ec其中其中1c 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度15 所谓所谓等容波等容波是指是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应在弹性体内，波动所产生的变形中体积应变为零变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。二、等容波二、等容波 假定弹性体的位移假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：满足体积应变为零的条件，即：0zwyxue 这种位移称为这种位移称为等容位移等容位移。而相应于这种位移状态的弹性。而相应于这种位移状态的弹性 波就是等容波。波就是等容波。16 由于由于 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等，故不计体力的运动微分方程，简化后得等容波的波动方程：容波的波动方程： 0euctu2222222222ctwctw22222其中其中)1 ( 22Ec 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。2c17 对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论结论：在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相同的方式与速度进行传播。同的方式与速度进行传播。18 11-3 11-3 纵波与横波纵波与横波一、纵波一、纵波定义定义 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）（图示）19 将将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有：分量都有：),(txuu 00w从而从而xue而而22xuxe0ye0ze222xuu0202 w20代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为恒等式，而第一式简化为：恒等式，而第一式简化为：222122xuctu其中其中)21)(1 ()1 (1Ec 为纵波在弹性体中的传播速度。为纵波在弹性体中的传播速度。1c 显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是一种无旋波。一种无旋波。21 纵波波动方程的通解是：纵波波动方程的通解是：)()(),(1211tcxftcxftxu该通解的该通解的物理意义物理意义：以其第一项为例，函数：以其第一项为例，函数 在某在某一个固定时刻将是一个固定时刻将是x的函数，可以用图的函数，可以用图(a)中的曲线中的曲线abc表示表示（假设是这种形状），在（假设是这种形状），在 时间之后，函数变为：时间之后，函数变为：)(11t cxft)(111tctcxf如果令如果令 ，则函数可写为，则函数可写为 ，其形式，其形式同原函数同原函数 完全类同，只是横坐标发生平移完全类同，只是横坐标发生平移 tcxx11)(111tcxf)(11tcxftc 1见图。因此见图。因此 表示以速度表示以速度 向向x轴正向传播的波。轴正向传播的波。)(11tcxf1c22同理同理 ，表示以同样速度，表示以同样速度 向向x轴负向传播的波。轴负向传播的波。整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其），其传播速度为波动方程的系数传播速度为波动方程的系数 。 1c)(12tcxf1c1fcabx(a)(b)tc 1tc 1tc 123二、横波二、横波定义定义 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。横波的传播形式横波的传播形式24 仍然将仍然将x轴放在波的传播方向，轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则轴为质点位移方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有弹性体内任取一点的位移分量都有0u),(tx0w从而从而0e而而02 u222x02 w代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒等式，第二式简化为：等式，第二式简化为：222222xct)1 (22Ec2c 为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变25 横波的波动方程的通解为：横波的波动方程的通解为： ，故横波为等容波。，故横波为等容波。0e)()(),(2221tcxftcxftx显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波，它的显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波，它的位移沿着位移沿着y方向，而传播方向是沿着方向，而传播方向是沿着x方向，传播速度等于方向，传播速度等于常量常量 。2c26 11-411-4 球面波球面波 如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，则在圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时则在圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时，由孔洞向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为，由孔洞向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为球面球面波波。 球面波是球对称的。利用球对称的基本微分方程：球面波是球对称的。利用球对称的基本微分方程：0)22()21)(1 ()1 (2222rrrrkurdrdurdrudE 此时，此时， ，而不计体力时，用径向惯性力，而不计体力时，用径向惯性力),(truurr22tur 代替代替 ，rk27 则上式简写成则上式简写成即得：即得：0)22()21)(1 ()1 (22222turururruErrrr令：令：)21)(1 ()1 (1Ec 假定假定rur 则则 是位移的势函数。代入（是位移的势函数。代入（a）式得）式得 ),(tr0122222122tucrururrurrrrr （a） 28 所以（所以（b）式可写成）式可写成由于由于rrrrrrrrr2212233222222trrt0122222122233rtcrrrrr（b）011222122trcrrrr29 它的通解是：它的通解是： 对对r积分一次，得：积分一次，得： tFtcrrr22212211由于令由于令F(t)=0，并不会影响位移，并不会影响位移 ，因此上式可简写成为：，因此上式可简写成为：rurrcrt222122tcrftcrfr1211 显然，球面波的传播速度等于显然，球面波的传播速度等于 (球面波是无旋波）。球面波是无旋波）。 表示由内向外传播的球面波，表示由内向外传播的球面波， 表示由外向内传播的球面表示由外向内传播的球面波。波。1c1f2f30习题11.1 什么是弹性波？研究弹性波有何意义？答：（略）习题11.2 已知钢的弹性模量E=210GPa，密度=7950kg/m3,混凝土的弹性模量E=30GPa， 密度=2400kg/m3 ,问在此两种材料杆中纵波的传播速度。解： 由纵波在一维直杆中的传播速度公式smvsmv/3500,/5130混凝土钢Ev 得31