对坐标的曲面积分(18)课件

对坐标的曲面积分(18)例例5 计算计算 dSzxyzxy)(为为其中其中 所所截截得得的的部部分分被被柱柱面面锥锥面面axyxyxz22222 解解面面的的投投影影区区域域在在xoy axyxD2:22 22yxz 2222yxyzyxxzyx dSzxyzxy)(故故 Ddxdyyxyxxy)(222 Ddxdyyxx222 2054cos28 da415264a 22cos203cos2 adrrd对坐标的曲面积分(18)对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分的应用面积面积 dSA质量质量 dSzyxM),(重心重心 dSdSxx dSdSyy dSdSzz转动惯量转动惯量 dSzyIx)(22 dSzxIy)(22 dSyxIz)(22对坐标的曲面积分(18)例例6 求均匀曲面求均匀曲面222yxaz 的重心坐标的重心坐标解解由对称性由对称性0,0 yx dSzdSz dS22 a dxdyyxaayxazdSD222222 Ddxdya3a 2az 故故 重心坐标为重心坐标为)2, 0 , 0(a对坐标的曲面积分(18)例例7)0(22220 zazyx的均匀半球壳的均匀半球壳求密度为求密度为 轴的转动惯量轴的转动惯量对于对于z解解222:ayxD dSyxIz)(220 Dyxdxdyzzyx222201)( dxdyyxaayxD 222220)( 20022201ardrrarda3440a 对坐标的曲面积分(18)例例9 计算计算 dSczbyax)(的整个表面的整个表面Rzzyx2:222 解解由奇偶对称性由奇偶对称性 0ydSxdS分分成成须须将将为为计计算算 zdS上半球面上半球面2221:yxRRz 下半球面下半球面2222:yxRRz dSczbyax)( 12 czdSczdS DdRc 234 cR ):(222RyxD 对坐标的曲面积分(18)10.5 10.5 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧对坐标的曲面积分(18)曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .有向曲面的投影问题有向曲面的投影问题: :在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块 曲曲面面 S 面面在在xoyS ,为为上上的的投投影影xyS)( .0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 类似地可定义类似地可定义zxyzSSzoxyozS)()( 和和面上的投影面上的投影及及在在对坐标的曲面积分(18)二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .A Av 0n0cosnvAvA 流量流量对坐标的曲面积分(18)(2)(2) 设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体( (假定密度为假定密度为 1)1)的速度场由的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 给出给出, ,是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面, ,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都在上连续都在上连续, , 求在单位求在单位时间内流向指定侧的流时间内流向指定侧的流体的质量体的质量 . .yzo in),(iii iS iv对坐标的曲面积分(18)xyzo in),(iii iS iv1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 法向量为法向量为 .in通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(0niSnviii ,),(),(),(kRjQiPviiiiiiiiii kjiniiii coscoscos0 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv13.3.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 对坐标的曲面积分(18)iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 对坐标的曲面积分(18)三、概念及性质三、概念及性质定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面, ,函数在上有函数在上有界界, ,把分成把分成n块小曲面块小曲面iS ( (iS 同时又表示第同时又表示第 i块小曲面的面积块小曲面的面积),),iS 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyiS )( , ,),(iii 是是iS 上任意取定的一点上任意取定的一点, ,如如果当各小块曲面的直径的最大值果当各小块曲面的直径的最大值0 时时, , nixyiiiiSR10)(,(lim 存存在在, , 则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxR在在有有向向曲曲面面上上对对坐坐标标yx,的的曲曲面面积积分分( (也也称称第第二二类类曲曲面面积积分分) ) 对坐标的曲面积分(18)记记作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 积分曲面积分曲面被积函数被积函数有向面积元有向面积元类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 对坐标的曲面积分(18)存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲在有向光滑曲面上连续时面上连续时, ,对坐标的曲面积分存在对坐标的曲面积分存在. .组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 对坐标的曲面积分(18)性质性质:由定义可知对坐标的曲面积分具有与由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质对坐标的曲线积分相类似的性质1。 可加性可加性 2121 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz2 。 反向性反向性 dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(对坐标的曲面积分(18)四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD, ,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续. .xyzo ),(yxfz xyDxys)( 对坐标的曲面积分(18) nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyixyizS 又又取取上上侧侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即对坐标的曲面积分(18),)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .对坐标的曲面积分(18)对坐标的曲面积分化成二重积分的计算步骤对坐标的曲面积分化成二重积分的计算步骤1）将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入）将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数被积函数，将其化成二元函数2）将积分曲面投影到与有向面积元素（如）将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）面）3） 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号的正负号注注积分曲面的方程必须表示为积分曲面的方程必须表示为单值显函数单值显函数 否则分片计算，结果相加否则分片计算，结果相加确定正负号的原则：确定正负号的原则： 曲面取曲面取上上侧、侧、前前侧、侧、右右侧时为侧时为正正 曲面取曲面取下下侧、侧、后后侧、侧、左左侧时为侧时为负负对坐标的曲面积分(18)例例1 计算计算 ydzdxxdydzzdxdy30122 zzyx及及被被平平面面是是柱柱面面 所截得的在第一卦限的部分的前侧所截得的在第一卦限的部分的前侧解解0的投影区域的面积为的投影区域的面积为在在由于由于xoy 0zdxdy故故面面的的投投影影区区域域为为在在yoz 10,30: yzDyz yzDdydzyxdydz21故故 301021dyydz43 面面的的投投影影区区域域为为在在zox 10 ,30: xzDzx zxDdzdxxydzdx4312故故23 原式原式=对坐标的曲面积分(18) 计算计算 xyzdxdy 其中是球面其中是球面1222 zyx外侧外侧 在在0, 0 yx的部分的部分. . xyz1 2 解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 例例2对坐标的曲面积分(18) 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 对坐标的曲面积分(18)五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyD, , 函函数数),(yxzz 在在xyD 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxR在在上上连连续续. . ),(yxfz xyzoxyDdsn对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(对坐标的曲面积分(18)对对面面积积的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立) ) 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 22222211cos,1cos,1cosyxyxyyxxzzzzzzzz 对坐标的曲面积分(18)例例3 计算计算zdxdydydzxz )(2, ,其中是旋转其中是旋转抛物面抛物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及 2 z之间的部分的下侧之间的部分的下侧. . 解解 dydzxz)(2 dSxzcos)(2 dxdyxz coscos)(2有有上上在曲面在曲面, 对坐标的曲面积分(18).11cos,1cos2222yxyxx dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.8 对坐标的曲面积分(18)练习练习 计算计算 yzdzdxxydydzxzdxdy是是其中其中 平面平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解解 分成四个部分分成四个部分1, 0:1 zxy 1, 0:2 yxz 1, 0:3 zyx 所所截截得得的的部部分分被被0, 0, 01:4 zyxzyx 左侧左侧下侧下侧后侧后侧上侧上侧1 2 3 4 对坐标的曲面积分(18)上上在在1 10 yzdzdxxydydzxzdxdy)0, 0,(1 zzoxyozxoy面面上上而而在在面面上上的的投投影影为为在在因因 同理同理 20 yzdzdxxydydzxzdxdy 30 yzdzdxxydydzxzdxdy上上在在4 4)1( xyDdxdyyxxxzdxdy 1010)1(xdyyxxdx241 同理同理 4241 xydydz 4241 yzdzdx yzdzdxxydydzxzdxdy81 对坐标的曲面积分(18)小结小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意、计算时应注意曲面的侧曲面的侧 8 对坐标的曲面积分(18)练习练习 计算计算 ，其中其中 ： 被平面被平面x+z=2 及及 z=0截解得的截解得的部分的外侧部分的外侧.(1)ydzdxzdxdy 224xy 2zxOy8对坐标的曲面积分(18)yxz111练习练习,1:22yxz是其外法线与是其外法线与 z 轴正向轴正向夹成的锐角夹成的锐角, 计算计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n对坐标的曲面积分(18)