高考数学一轮复习 专题七 概率与统计配套课件 理

专题七 概率与统计题型 1 概率与统计概率与统计的综合题，自从 2005 年走进新高考试题后，就以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道大题(都有一定的命题背景，其地位相当于原来的应用题).连续五年都为一题多问，前面考统计，后面考概率，预计这一趋势在全国高考中会得到延续！例 1：(2016 年新课标)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 7-1：图 7-1以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04所以 X 的分布列为：(2)由(1)知， P(X18)0.44，P(X19)0.68，P(xn)0.5 中，n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当 n19时，E(Y)192005000.210000.08 15000.044040.当 n20 时，E(Y)202005000.0810000.044080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.【名师点评】(1)高考中经常以统计图的形式显示相关的数据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力；(2)散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要知识点，因此是高考命题的一种重要题型，要注意熟练掌握.统计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！【互动探究】1.(2017 年广东深圳一模)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费，超过 400 度的部分按 1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用 y(单位：元)关于月用电量 x(单位：度)的函数解析式；(2)为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1 月份100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图 7-2 所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超过260 元的占 80%，求 a，b 的值；图 7-2(3)在满足(2)的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 Y 为该居民用户 1 月份的用电费用，求 Y的分布列和数学期望.解：(1)当 0 x200 时，y0.5x；当 200400 时，y0.52000.82001.0(x400)x140.所以 y 与 x 之间的函数解析式为：(2)由(1)，可知当 y260 时，x400，则 P(x400)0.8.结合频率分布直方图，得a0.0015，b0.0020.(3)由题意可知 X 可取 50，150，250，350，450，550.当 x50 时，y0.55025，P(y25)0.1；当 x150 时，y0.515075，P(y75)0.2；当 x250 时，y0.52000.850140，P(y140)0.3；当 x350 时，y0.52000.8150220，P(y220)0.2；Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05当 x450 时，y0.52000.82001.050310，P(y310)0.15；当 x550 时，y0.52000.82001.0150410，P(y410)0.05.故 Y 的概率分布列为：所以随机变量 X 的数学期望：E(Y)250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5.题型 2 离散型随机变量的期望与方差随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是层层递进的关系.因此，这类试题经常是以两个小题的形式出现，第一问是为第二问作铺垫的.例 2：(2017 年广东广州二模)某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的 1.2倍和 1.5 倍的概率分别是 0.6 和 0.4，第二个月的销量是第一个月的 1.4 倍和 1.6 倍的概率都是 0.5；若实施方案 2，预计第一个月的销量是促销前的 1.4 倍和 1.5 倍的概率分别是 0.7 和 0.3，第二个月的销量是第一个月的 1.2 倍和 1.6 倍的概率分别是 0.6和 0.4.令i(i1，2)表示实施方案 i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数.销量倍数i1.71.7iE(Q2)，所以实施方案 1，第二个月的利润更大.【规律方法】(1)会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；(2)首先确定 X 的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望.(3)离散型随机变量分布列的性质p1p2pn1，这条性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学在求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒(如 10.040.420.54)，否则将失去自我检查的机会.【互动探究】2.(2017 年广东华附执信深外联考)某节目的每期节目有四名导师 A，B，C，D 参与.其规则是导师坐在特定的座椅上且背对歌手认真倾听其演唱，若每名参赛选手在演唱完之前有导师欣赏而为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练；若出现多位导师为同一位学员转身，则选择权反转，交由学员自行选择导师，已知某期中国好声音中，8 名选手唱完后，四位导师为其转身的情况统计如下：(记转身为 T)现从这 8 名选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.导师选手ABCD1TT2TTTT3T4TT5TTT6TT7TTTT8TTT(1)求选出的两人获得导师为其转身的人次和为 4 的概率；(2)记选出的 2 人获得导师为其转身的人次之和为 X，求 X的分布列及数学期望 E(X).解：(1)在 8 名选手中，2，7 有 4 名导师为其转身；5，8有 3 名导师为其转身；1，4，6 有 2 名导师为其转身；3 只有 1名导师为其转身.(2)X 的所有可能取值为 3，4，5，6，7，8，所以 X 的分布列为：题型 3 独立性检验独立性检验是新课标增加的内容，高考试卷多次以解答题形式考查，体现新课程的理念，因此我们在备考时也应该引起足够的重视.例 3：(2017 年新课标)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图 7-3：图 7-3(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率；养殖法箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01).附：K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)解：(1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，由题意知 P(A)P(BC)P(B)P(C)，旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.012 0.014 0.0240.0340.040)50.62，故 P(B)0.62.新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故 P(C)0.66.因此，事件 A 的概率估计值为 0.620.660.4092.养殖法箱产量6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，0.50.340.068故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 5052.35(kg).【规律方法】(1)本题是独立性检验问题，关键是由 22列联表确定 a，b，c，d，n 的值.高考对独立性检验这部分的要求是：了解独立性检验(只要求 22 列联表)的基本思想、方法及其简单应用.在复习中，不可小视.(2)利用公式 K2计算要准确，近似计算要精确到小数点后三位，要选择可选择满足条件 P(K2k0) 的 k0作为拒绝域的临界值.对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200【互动探究】3.(2017 年广东广州一模)近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 0.6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次.(1)根据已知条件完成下面的 22 列联表，并回答能否有99% 的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？P(K2k)0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635(2)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X).n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)(其中 nabcd 为附：K2样本容量)对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200解：(1)22 列联表：K2200(80104070)2150501208011.111，因为 11.1116.635，所以能有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”.