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河南省宏力学校2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、单选题(每题5分共60分)1抛物线的准线方程是( )A B CD2某中学共有3000名学生,现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为50的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级学生人数为( )A800B600C1200D10003抛物线的焦点到直线的距离( )ABC1D24方程表示焦点在y轴的椭圆,则实数m的取值范围是( )AB且m0C且m0D且m05若平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则平面和平面的位置关系是( )A平行 B相交但不垂直C垂直D重合6已知两点和,动点满足,则动点的轨迹是( )A椭圆B双曲线C一条射线D双曲线的右支7如图,把椭圆,的长轴分成8等份,过每个分点,作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点,F是椭圆的一个焦点,则( )A25B26C27D288一车间为规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验,测得的数据如下:零件数(个)2345加工时间(分钟)304050根据上表可得回归方程,则实数的值为( )A34B35C36D379过双曲线1 (a0,b0)的左焦点F(c,0)作圆O:x2y2a2的切线,切点为E,延长FE交双曲线于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为( )A B C1 D10已知双曲线的对称轴为坐标轴,过点,且与有相同的渐近线,则该双曲线的方程为( )ABCD11已知直线过抛物线的焦点,且与该抛物线交于两点,若线段的长是16,MN的中点到轴的距离是6,则值为()A16B12C8D412设,为双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且满足,则的面积是( )A2BCD4二、填空题(每空5分共20分)13已知点和,动点满足,则点的轨迹方程是_.14已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为4,则_.15利用随机数表从、这些编号中抽取一个容量为的样本,选取方法是从下面的随机数表的第行第列开始向右读,每次读取两位,直到取足样本,则第4个被抽取的样本的编号为_ 16如图,已知双曲线的左右焦点分别为,M是C上位于第一象限内的一点,且直线与y轴的正半轴交于A点,的内切圆在边上的切点为N,若,则双曲线C的离心率为_.三、解答题17(10分)()求焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为 的双曲线的标准方程;(2)求经过点的抛物线的标准方程。18(12分)已知,点的坐标为(1)求当时,点满足的概率;(2)求当时,点满足的概率.19(12分)已知椭圆C: (ab0)的两个焦点分别为F1、F2,短轴的一个端点为P(1)若F1PF2为直角,焦距长为2,求椭圆C的标准方程;(2)若F1PF2为钝角,求椭圆C的离心率的取值范围20(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以,分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数21(12分)如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.(1)证明:;(2)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.22(12分)已知椭圆的上顶点为P,右顶点为Q,直线PQ与圆相切于点.(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点P的直线与椭圆C交于A,B两点,且0,求证:直线l过定点.高二理科数学答案1、 选择题1A 2C 3B 4C 5C 6C 7D 8C 9A 10B 11D 12D7.D【详解】不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得:,又a=4,b=,,故, 把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称,不妨设且,由可得:,.9A 不妨设E在x轴上方,F为双曲线的右焦点,连接OE,PF,如图所示:因为PF是圆O的切线,所以OEPE,又E,O分别为PF,FF的中点,所以|OE|PF|,又|OE|a,所以|PF|2a,根据双曲线的定义,|PF|PF|2a,所以|PF|4a,所以|EF|2a,在RtOEF中,|OE|2|EF|2|OF|2,即a24a2c2,所以e,故选A.10B【详解】双曲线与有相同的渐近线,则可设双曲线的方程为,将代入可得,即,则双曲线的方程为,即.11D【详解】设中点为,过、分别作准线的垂线,如图所示:则,所以,所以中位线,所以则线段的中点到轴的距离为,解得故选:D.12D【详解】因为,为双曲线的两个焦点,点在双曲线上,所以,则,又,所以,因此,即,所以的面积是.故选:D.2 填空题13 148 15 1616【详解】:如图所示:设的内切圆在上的切点分别为,由双曲线的定义知:,即,又,即,即,又,即,则,即,,故答案为:.三、解答题17(1);(2)或.【解析】()解:焦点在x轴上,设所求双曲线的方程为=1由题意,得解得,所以焦点在x轴上的双曲线的方程为(5分)(2)解:由于点P在第三象限,所以抛物线方程可设为:或在第一种情形下,抛物线方程为:;在第二种情形下,抛物线方程为: (10分)18(1);(2)【详解】(1)点所在的区域为如下图所示的正方形的内部(含边界)满足的区域为下图阴影部分阴影部分面积为:;又所求的概率 (6分)(2)满足且,的点有:时,;时,;时,;时, 时,共个满足且的点有:,共个所求的概率 (12分)19(1);(2).【详解】(1)因为椭圆短轴的一个端点为P,且F1PF2为直角,知bc,ac,由焦距长为2,所以c1, a ,b1,椭圆C的标准方程为 (6分)(2)因为椭圆短轴的一个端点为P,且F1PF2为钝角,即45OPF290,所以sinOPF2,又因为椭圆的离心率e(0,1),所以椭圆C的离心率的取值范围为 (12分)20(1);(2)众数是,中位数为【解析】(1)由直方图的性质可得, (4分)(2)月平均用电量的众数是, (8分),月平均用电量的中位数在内,设中位数为,由,可得,月平均用电量的中位数为224 (12分)21(1)证明见解析;(2).证明:(1)底面,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,点为棱的中点.,; 5分(2),由点在棱上,设,故,由得,解得,即, 8分设平面的法向量为,由,得令,则, 10分取平面的法向量,则二面角的平面角满足:故二面角的余弦值为. 12分22(1);(2)证明见解析.【详解】(1)由题意,圆的圆心坐标为,又由点,可得,所以直线的斜率,所以直线的方程为,即,可得点,即,所以椭圆C的方程为. (6分)(2)当直线的斜率不存在时,显然不满足条件.当直线的斜率存在时,设的方程为,联立方程组,消去y整理得,得.设,则. (8分)由,得,又由,所以,由得(舍),或,满足.此时的方程为,故直线过定点. (12分)
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