二次函数图像和性质1第一章第二课时 (2)

本课内容本节内容本节内容1.2湘教版湘教版 数学数学 九年级下九年级下 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质第第1 1课时课时复习复习二次函数的定义：二次函数的定义： 一般地，形如 (a、b、c是常数，是常数，a0)的函数叫做二次的函数叫做二次函数，其中函数，其中a为二次项系数，为二次项系数，b为一次为一次项系数，项系数，c为常数项。为常数项。cbxaxy2回顾知识回顾知识: :一、正比例函数一、正比例函数y=kx（k 0）其图象是什么。）其图象是什么。二、一次函数二、一次函数y=kx+b（k 0）其图象又是什么。）其图象又是什么。正比例函数正比例函数y=kx（k 0）其图象是一条经过）其图象是一条经过原点原点的直线。的直线。一次函数一次函数y=kx+b（k 0）其图象也是一条直线。）其图象也是一条直线。三、反比例函数三、反比例函数 （k 0）其图象又是什么。）其图象又是什么。xky反比例函数反比例函数 （k 0）其图象是双曲线。）其图象是双曲线。xky二次函数二次函数y=ax（a 0）其图象又是）其图象又是什么呢？什么呢？二次函数二次函数y=ax2的图像的图像画二次函数画二次函数的图象的图象212yx列表：列表：由于自变量由于自变量x可以取任意实数，因此让可以取任意实数，因此让x取取0和一些负数，和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：1234123412345x212yx34.52.53.1252210.50.50.125000.50.12510.5222.53.12534.5描点：描点： 在平面直角坐标系内，在平面直角坐标系内，以以x取的值为横坐标，相应的取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应函数值为纵坐标，描出相应的点，如图的点，如图列表列表连线：连线：注意：列表时自变量注意：列表时自变量取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。二次函数二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。所经过的路线，我们把它叫做抛物线。22xy232xy221xy2xy2xy这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。1234123412345x212yx34.52.53.1252210.50.50.125000.50.12510.5222.53.12534.5列表列表观察和分析：观察和分析：从图（从图（1）看出，点）看出，点A和点和点A ，点，点B和点和点B ，它们有什么关系？，它们有什么关系？观察和分析：观察和分析：从图（从图（1）看出，点）看出，点A和点和点A ，点，点B和点和点B ，它们有什么关系？，它们有什么关系？点点A和点和点A关于关于y轴对称，轴对称，点点B和点和点B 也是也是由此你能作出什么猜测？由此你能作出什么猜测？我猜测我猜测 的图象关于的图象关于y轴对称轴对称212yx从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？纵坐标随着增大212yx的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗 ？我猜想都有这一性质我猜想都有这一性质可以证明上述两个猜测都是正确的，即可以证明上述两个猜测都是正确的，即的图象关的图象关于于y轴对称；图象在轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为的增大而增大，简称为“右升右升”212yx我们已经正确画出了我们已经正确画出了的图象，因此，现在可以的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出从图象（见图）看出的其他一些性质（除了上的其他一些性质（除了上面已经知道的关于面已经知道的关于y轴对称和轴对称和“右升右升”外）：外）：212yx212yx图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为，简称为“左降左降”；对称轴与图象的交点是对称轴与图象的交点是_；图象的开口向图象的开口向_；O(0,0)上上减小减小当当 x =_时，函数值最时，函数值最_0小小结论：结论：二次函数二次函数 y=ax2 （a0)的图象与性质的图象与性质2. 图象的图象的开口向上开口向上；1. 对称轴都是对称轴都是y轴（即直线轴（即直线x=0); 3.图象与对称轴的交点称为顶点：图象与对称轴的交点称为顶点：原点（原点（0，0）4.图象左降右升：图象左降右升：图象在对称轴左边的部分，图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减少，图象在函数值随自变量取值的增大而减少，图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大增大而增大. 5.函数有最小值：函数有最小值：即即x=0时，时，y最小值最小值=0当当a0时，时， 的图象具有上述性质，于是我的图象具有上述性质，于是我们在画们在画 的图象时，可以先画出图象在的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左轴左边的部分，在画右边部分时，只要边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连列表、描点、连线线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）质）2yax20y ax ax x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 12 23 3y y解解:(1) :(1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2 2例例1：画最简单的二次函数：画最简单的二次函数 y = x2 的图象的图象 你还记得描点你还记得描点法的一般步骤法的一般步骤? ?列表时应列表时应注意注意什么问题？什么问题？ 列表列表描点描点连线连线描点时应以哪些数描点时应以哪些数值作为点的坐标？值作为点的坐标？连线时应注意连线时应注意什么问题？什么问题？画二次函数画二次函数的图象的图象2yxx00.511.52300.2512.25492yx列表：列表：由于自变量由于自变量x可以取任意实数，因此让可以取任意实数，因此让x取取0和和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：下表：123412346284描点和连线：画出图描点和连线：画出图象在象在y轴右边的部分，轴右边的部分，如图如图利用对称性，画出图像在利用对称性，画出图像在y轴左边的部分，这样我们轴左边的部分，这样我们得到了得到了 的图的图象，如图象，如图2yx也可以这样做x00.511.52300.2512.2549比较几个二次函数的图象，你有什么发现？比较几个二次函数的图象，你有什么发现？议一议议一议2xy -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4987654321xy221xy 22xy 开口大小与什开口大小与什么有关？么有关？|a|a|越大，开口越小越大，开口越小在同一坐标系中画出二次函数在同一坐标系中画出二次函数及及的图的图象象22yx214yxx00.51200.52822yx描点连线列表列 表x01234014214yx1494描 点连 线小结小结二次函数二次函数 (a0)的图象及性质：的图象及性质：2axy (1)形状、对称轴、顶点坐标；形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、最值、开口大小；开口方向、最值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。对称轴两侧增减性。1.对称轴是对称轴是_，顶点是，顶点是_;2.图像的开口向图像的开口向_；3.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为右，简称为右_;图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为左简称为左_;右升左降4.当当x=_时，函数值最时，函数值最_.y轴轴上上O（0，0）增大增大升升减小减小降降0小小二次函数二次函数 (a0)的图象及性质：的图象及性质：2axy