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角平分线 学习新知学习新知 我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质，你还记得角平分线上的点有分线上的点的性质，你还记得角平分线上的点有什么性质吗什么性质吗? ? 角平分线上的点到这个角两边的距离相等角平分线上的点到这个角两边的距离相等. . 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？写出这个性质的证明过程吗？ 已知已知: :如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上上任意一点任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E. 求证求证:PD=PE:PD=PE. .C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O 证明：证明： OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线 1= 21= 2 PDOA,PEOB PDOA,PEOB PDO=PEO PDO=PEO OP=OP OP=OP OPDOPDOPE (AAS).OPE (AAS). PD=PE PD=PEC CB B1 1A A2 2P PD DE EO O定定理理：角角平分线上的点到这个角的两边距离相等平分线上的点到这个角的两边距离相等. .提示提示: :这个结论是经常用来证明两条线段相等的这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一根据之一. .几何语言几何语言，如图，如图, ,OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O思考分析 你能写出你能写出“上述上述定理定理：角平分：角平分线上的点到这个角的两边距离相线上的点到这个角的两边距离相等等”的的逆命题吗逆命题吗? ?逆命题：逆命题： 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .请你证明请你证明它是不是真命题它是不是真命题? ?已知已知: :如图如图 所示所示, , PD=PE, PDOA, PD=PE, PDOA, PEOB, PEOB, 垂足分别垂足分别 是是D,E.D,E.求证求证: :点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .B BA AD DE EO OP P证明：作射线证明：作射线OP,OP, PDPDOA PEOA PEOBOB P PODOD和和B BPOEPOE都是都是RtRt PD=PE,OP=OPPD=PE,OP=OP RtRtPODPODRtRtPOE(HL)POE(HL) POD=POE POD=POE OPOP是是AOBAOB的平分线的平分线B BA AD DE EO OP P 逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离且到角的两边距离 相等的点相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .如图如图, ,PD=PE, PDOA,PEOB,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分垂足分别是别是D,E(D,E(已知已知),),点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一在一个角的内部个角的内部, ,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O 已知已知:AOB,:AOB,如图如图. . 求作求作: :射线射线OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC. 用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. . 1. 1.在在OAOA和和OBOB上分别截取上分别截取OD,OE,OD,OE,使使OD=OEOD=OE. . 2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心, ,以大于以大于 长为半径长为半径 作弧作弧, ,两弧在两弧在AOBAOB内交于点内交于点C.C. 3. 3.作射线作射线OCOC，则射线，则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线. . ABOCDE作法作法: :2DE 观察这三条角平分线观察这三条角平分线, ,你发你发现了什么现了什么? ?作三角形的三条角平分线：作三角形的三条角平分线： 定理定理: :三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点, ,并且并且这一点到三边的距离相等这一点到三边的距离相等. . （这个交点叫做三角形的（这个交点叫做三角形的内心）内心） 挑战自我挑战自我 1. 1.如图如图,AD,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中A A的内角平的内角平 分线和外角平分线分线和外角平分线, ,它们有什么关系它们有什么关系? ?EDABCF 2.2.如图如图, ,一目标在一目标在A A区区, ,到公路到公路, ,铁路距离铁路距离相等相等, ,离公路与铁路的交叉处离公路与铁路的交叉处500m.500m.在图上标在图上标出它的位置出它的位置( (比例尺比例尺1:20000).1:20000).A区 3. 3. 如图如图, ,求作一点求作一点P,P,使使PC=PD,PC=PD,并且点并且点P P到到AOBAOB的两边的距离相等的两边的距离相等. . CDABO4.4.已知已知: :如图如图, ,C=900, B=300, AD是是RtABCABC的的角角平分线平分线. . 求证求证:BD=2CD.:BD=2CD. ABCD如图如图,在在ABCABC中中, ,已知已知 AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平线的角平线,DEAB,垂足为垂足为E.(1)如果如果CD=4cm, 求求AC的长的长;(2)求证求证:AB=AC+CD.EDABC延伸训练延伸训练 回顾与小结回顾与小结1.1.定理定理： 角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等两边距离相等. .C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O2.2.逆定理逆定理 ：在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两且到角的两边距离相等的点边距离相等的点, ,在这个角的在这个角的平分线上平分线上. .C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O 3. 3.定理定理: :三角形的三条角平分线相交三角形的三条角平分线相交于一点于一点, ,并且这一点到三边的距离相等并且这一点到三边的距离相等( (这个交点叫做三角形的这个交点叫做三角形的内心内心).).4.4.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .（作法）（作法）独立独立作业作业习题习题1.8 1.8 第第2 2题题. .习题习题1.9 1.9 第第2 2题题. .祝你成功！祝你成功！
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