空间几何体的直观图

1.2.3 空间几何体的直观图 上图是浙江省台州的斑上图是浙江省台州的斑马线披上的马线披上的“立体彩装立体彩装”. 画在地面上的斑画在地面上的斑马线怎么会产生出了马线怎么会产生出了立体感觉？立体感觉？ 如何把立体图形如何把立体图形画在纸上？画在纸上？这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？ 三视图是用平三视图是用平面图形表示空间图面图形表示空间图形的一种重要方法，形的一种重要方法，但三视图的直观性但三视图的直观性较差，如何绘制空较差，如何绘制空间图形的直观图呢？间图形的直观图呢？1 1体会平面图形和空间几何体的直观图的含义体会平面图形和空间几何体的直观图的含义. .2 2会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. . （重点）（重点）3 3会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间几何体的直观图等空间几何体的直观图. .（难点）（难点） 在中心投影中，水平线在中心投影中，水平线( (或垂直线或垂直线) )仍保持水平仍保持水平( (或垂直或垂直) )，但斜的平行线则会相交，交点称为消，但斜的平行线则会相交，交点称为消点点作图较复杂，又不易度量作图较复杂，又不易度量立体几何中常用平行投影立体几何中常用平行投影( (斜投影斜投影) )来画空间图形的来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法直观图，这种画法叫做斜二测画法1.1.平行性不变，但形状、长度、平行性不变，但形状、长度、夹角会改变夹角会改变. . 2.2.平行直线段或同一直线上的平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变两条线段的比不变. . 3.3.在太阳光下，平行于地面的在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变直线在地面上的投影长不变投影规律投影规律（一）水平放置的平面图形的画法（一）水平放置的平面图形的画法思考思考1:1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图给人以平行四边形的感觉，如图. .比较两图，其中比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？哪些没有发生变化？思考思考2:2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？我们通过下面的例题一起来分析我们通过下面的例题一起来分析. .例例1 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. .ABCDEFMNOyxOxy注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置点的位置画法：画法：(1)(1)在正六边形在正六边形ABCDEFABCDEF中，取中，取ADAD所在直线为所在直线为x x轴，轴，对称轴对称轴MNMN所在直线为所在直线为y y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O O画相应的画相应的xx轴，轴，yy轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点OO，使，使 xoxo y=45 y=45. .建系时要尽量考建系时要尽量考虑图形的对称性虑图形的对称性OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx(2)(2)以以OO为中点，在为中点，在xx轴上取轴上取AD=ADAD=AD，在，在yy轴上取轴上取以点以点NN为中点，画为中点，画BCxBCx轴，并且等于轴，并且等于BCBC；再以；再以MM为中为中点，画点，画EFxEFx轴，并且等于轴，并且等于EF.EF.1.2M NMN 注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长变为原来的一半变为原来的一半OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx 并擦去辅助线并擦去辅助线xx轴和轴和yy轴，便轴，便获得正六边形获得正六边形ABCDEFABCDEF水平放置的直观图水平放置的直观图.A B C D E F(3)(3)连接连接,A B C D D E F A请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤步骤.斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤(1)(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴和轴和y y轴，两轴相交轴，两轴相交于点于点O.O.画直观图时，把它们画成对应的画直观图时，把它们画成对应的xx轴与轴与yy轴，两轴交于点轴，两轴交于点OO，且使，且使xoyxoy=45=45（或（或135135），它们确定的平面表示水平面），它们确定的平面表示水平面(2)(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴或轴或y y轴的线段，在直观图中轴的线段，在直观图中分别画成平行于分别画成平行于xx轴或轴或yy轴的线段轴的线段(3)(3)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线段，在直观图中保持原轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于长度不变，平行于y y轴的线段，长度为原来的一半轴的线段，长度为原来的一半【提升总结提升总结】思考思考3:3:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？在实际画图时用什么方法？斜二测画法斜二测画法( (二二) ) 空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法思考思考1:1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？一个坐标确定底面外的点的位置？x xo oy y例例2 2 用斜二测画法画长、宽、高分别是用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm4 cm、3 cm3 cm、2 cm2 cm的长方体的长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD的直观图的直观图. .DDA AB BC CD DAABBCC画法：画法：（1 1）画轴）画轴. .画画x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，轴，三轴交于点三轴交于点O O，使，使xOyxOy=45=45，xOzxOz=90=90. .（2 2）画底面）画底面. .以点以点O O为中心，在为中心，在x x轴轴上取线段上取线段MNMN，使，使MN=MN=_cmcm；在；在y y轴轴上取线段上取线段PQPQ，使，使PQ=PQ=_cmcm，分别，分别过点过点M M和和N N作作y y轴的平行线，过点轴的平行线，过点P P和和Q Q作作x x轴的平行线，设它们的交点轴的平行线，设它们的交点分别为分别为A A，B B，C C，D D，四边形，四边形ABCDABCD就是长方体的底面就是长方体的底面ABCD.ABCD.xyzOABCDMNPQ4 41.51.5xyZOABCDMNPQABCDACDBABCD(3)(3)画侧棱画侧棱. .过过A A，B B，C C，D D各点分别作各点分别作z z轴的平行线，并在这些轴的平行线，并在这些平行线上分别截取平行线上分别截取2 cm2 cm长的线段长的线段AA,BBAA,BB，CC,DD.CC,DD.思考思考2:2:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？投影是底面中心的三棱锥？M Mz zB B C CA AS Sy y O Ox xB BC CA A S SA AB BC C思考思考3:3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？进行？画轴画轴 画底面画底面成图成图画侧棱画侧棱分析：分析：由几何体的三视由几何体的三视图知道，这个几何体是图知道，这个几何体是一个简单组合体一个简单组合体. .它的它的下部是一个圆柱，上部下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面的底面与圆柱的上底面重合重合. .我们可以先画出我们可以先画出下部的圆柱，再画出上下部的圆柱，再画出上部的圆锥部的圆锥. .例例3 3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图出它的直观图. .正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图（1 1）画画轴轴. . 画画x x轴轴，z z轴轴，使使x xO Oz z= =9 90 0. .（2 2）画画圆圆柱柱的的下下底底面面. .在在x x轴轴上上取取A A, ,B B两两点点，使使A AB B的的长长度度等等于于俯俯视视图图中中圆圆的的直直径径，且且O OA A = = O OB B. . 选选择择椭椭圆圆模模板板中中适适当当的的椭椭圆圆过过A A, ,B B两两点点，使使它它为为圆圆柱柱画画法法：的的下下底底面面. .（3）3）在在Oz轴Oz轴上上截截取取点点O，O，使使OO等OO等于于正正视视图图中中OO的OO的长长度度，过过点点O作O作平平行行于于轴轴Ox的Ox的轴轴Ox，Ox，类类似似圆圆柱柱下下底底面面的的作作法法作作出出圆圆柱柱的的上上底底面面. .xOOxZA AB BAABB相应的相应的P P（4）4）画画圆圆锥锥的的顶顶点点.在.在Oz轴Oz轴上上截截取取点点P，P，使使PO 等PO 等于于正正视视图图中中相相应应的的高高度度. .5.PAPBAABB.（）成成图图连连接接，整整理理得得到到三三视视图图表表示示的的几几何何体体的的直直观观图图P PA AB BAABBO OO OA 2 2ABAB2 2CDCD，ABABx x 轴，轴，CDCDy y 轴，已知在直观图中，轴，已知在直观图中，ABAB 的直观图是的直观图是 A AB B，CDCD 的直观图是的直观图是 C CD D，则，则( ( ) ) A AA AB B2 2C CD D B BA AB BC CD D C CA AB B4 4C CD D D DA AB B1 12 2C CD D C 3长方形的直观图可能是下列图形长方形的直观图可能是下列图形中中的哪一个的哪一个 ( ) A B C D D 4 4如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为图是一个等腰梯形，它的底角为4545，两腰和上，两腰和上底边长均为底边长均为1 1，求这个平面图形的面积，求这个平面图形的面积. .A AB BC CD D22SAA（OO）BBCCDDyyxx空间几何体的直观图的特点空间几何体的直观图的特点: :1. 1. 保持平行关系和竖直关系不变保持平行关系和竖直关系不变2. 2. 保持水平长度和竖直长度不变；保持水平长度和竖直长度不变；3. 3. 纵向长度取其一半纵向长度取其一半三视图与直观图的异同三视图与直观图的异同 两种视图两种视图 相同点与联系相同点与联系 不同点不同点 三视图三视图 都是空间几何体的表现形都是空间几何体的表现形式，已知一种形式可转化为式，已知一种形式可转化为另一种形式三视图需有一另一种形式三视图需有一定的空间想象能力才能看定的空间想象能力才能看懂，供较专业的人们使用懂，供较专业的人们使用. 从三个不同位置观察得出的是三视从三个不同位置观察得出的是三视图，它能体现各部分的准确比例图，它能体现各部分的准确比例 直观图直观图 从一个位置观察而得出的是直观从一个位置观察而得出的是直观图，它能直观地体现几何体的形状，图，它能直观地体现几何体的形状，但某些方向上的尺寸失真但某些方向上的尺寸失真.