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学习目标 1.掌握直角三角形的性质定理和判定定理 2.掌握含30角的直角三角形的性质学习重点和难点 重点： 直角三角形的性质定理和判定定理。 难点： 含30角的直角三角形的性质。1.如图，在如图，在RtABC中，两锐角的和中，两锐角的和 A+B=为什么，你能简为什么，你能简单的证明吗？单的证明吗？90 2.在在ABC中，如果中，如果A+B=90，那，那么么ABC是直角三角形吗？是直角三角形吗？直角三角形的直角三角形的性质性质定理：定理： 直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形的直角三角形的判定判定定理：定理： 如果一个三角形的两个角互余，那么如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。这个三角形是直角三角形。147页 观察与思考直角三角形的性质定理直角三角形的性质定理直角三角形斜边上的中直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。线等于斜边的一半。做一做证明：在直角三角形中，证明：在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半。角所对的直角边等于斜边的一半。30ABCD.3090AABCABCRt，中，已知：如图，在ACBC21求证：分析：如果中线如果中线CD= AB,则有则有ACD= A。于是受到启发，在图中，过于是受到启发，在图中，过Rt ABC的直角的直角顶点顶点C作射线作射线CD交交AB于于D，使，使1=A，则有则有A D =C D ( 等角对等边等角对等边)12直角三角形的两锐角互余又又A+B=90（ ）1+2=90 2= B于是得于是得 B D =C D ( )等角对等边等角对等边12故得故得 B D =A D =C D = AB所以所以D是斜边是斜边AB上的中点，即上的中点，即C D是斜边是斜边AB上的中线，从而上的中线，从而C D与与CD重合，并有重合，并有CD= AB12212121直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半1.阅读课本148页的“发现”的证明过程。2.通过阅读你有什么发现？CD是直角三角形ABC斜边上的中线CD= AB如图，在如图，在RtABC中，中，BCA=90,如果如果A=30,那么那么BC与斜边与斜边AB有什么关系？有什么关系？CBAD取线段AB的中点D，连结CD，即CD为RtABC斜边AB上的中线，则有CD= AB=BD12由此可得出结论：由此可得出结论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于在直角三角形中，如果有一个锐角等于30,那么它所对那么它所对的直角边等于斜边的一半的直角边等于斜边的一半你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的这条性质吗？这条性质吗？想一想想一想如图，在如图，在RtABC中，如果中，如果BC= AB,那那么么A等于多少度？等于多少度？由此可得出结论：由此可得出结论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于这条直角边所对的角等于3012在在A岛周围岛周围20海里（海里（1海里海里=1852 m）水域内有暗礁，一）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到轮船由西向东航行到O处时，发现处时，发现A到在北偏东到在北偏东60的方的方向，且与轮船相距向，且与轮船相距 海里，如图所示。该船如果保海里，如图所示。该船如果保持航向不变，有触礁的危险吗？持航向不变，有触礁的危险吗？30 3北北6030 3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形求证：这个三角形是直角三角形已知：CD是 ABC的 AB边上的中线，且CD= AB12求证： ABC是直角三角形如如图，图，AC=ADAC=AD，C C，D D是直角，将上述条是直角，将上述条件标注在图中，你能说明件标注在图中，你能说明BCBC与与BDBD相等吗？相等吗？CDAB解：在解：在RtACB和和RtADB中中,则则 AB=AB, AC=AD. RtACB RtADB (HL).BC=BD(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等). 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。所以所以RtRtABDRtABDRtACD( ACD( HL HL ) )所以所以BD=CD解：BD=CD 因为因为ADB=ADC=90在在RtRtABDABD和和RtRtACDACD中中 AB=AC AD=AD1.在在RtABC中，中， A :B: C =1:2:3 ,C =1:2:3 ,若若AB=10cmAB=10cm，求，求BCBC的长的长2.2.教材教材149149页页A A组、组、B B组组小结：这节课你有什么收这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流获呢？与你的同伴进行交流复习：复习：（1 1）、什么叫直角三角形？）、什么叫直角三角形？（2 2）、直角三角形是一类特殊的三角形，除）、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？有一个角是直角的三角形叫直角三角形有一个角是直角的三角形叫直角三角形CAB一般用一般用“Rt”表示，表示，例如直角三角形例如直角三角形ABC表示为表示为 “RtABC”问题问题1 1：在：在RtRtABCABC中，中，C=90C=900 0， A A 与与B B有怎样的数量关系？为什么？有怎样的数量关系？为什么？定理定理1 1：直角三角形的两个锐角互余。：直角三角形的两个锐角互余。在在RtRtABCABC中，中， C=90C=900 0，A +B=90A +B=900 0CAB与与B互余的角有互余的角有 ，与与A互余的角有互余的角有 ，与与B相等的角有相等的角有 ，与与A相等的角有相等的角有 . （1）在直角三角形中，有一个锐角为）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个，那么另一个锐角度数为锐角度数为 ；（2）在）在RtABC中，中，C=900，A -B =300，那么，那么A与与B的度数分别为的度数分别为 ；1 1、巩固练习、巩固练习: :（3）如图，在）如图，在RtABC中中,ACB=900，CD是斜边是斜边AB上的高，那么，上的高，那么，A BCDB ACDACDBCDDCAB在在ABC中，中，如果如果A +B =900，那那么是直角三角形吗？么是直角三角形吗？由三角形内角和性质，由三角形内角和性质， A +B +C =1800 因因为为A +B =900，所以，所以C =900，于是，于是ABC是是直角三角形。直角三角形。1.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。观察思考，总结规律独立完成课本147页观察与思考并回答相关问题FEABCFEA(B)CCBA1、ECF与与B的关系的关系 线段线段EC与线段与线段EB的关系的关系2、ACE与与A的关系的关系 线段线段AE与线段与线段CE的关系的关系3、你得到了什么结论？、你得到了什么结论？ECF=BEC=EBACE=AAE=CE直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：在已知：在RtABC中，中， ACB=90，CD是是斜边斜边AB上的中线。求证：上的中线。求证：CD= AB21ACBDE命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明：延长证明：延长CD到点到点E,使使DE=DC，连接，连接AE. 已知：在已知：在RtABC中，中， ACB=90，CD是是 斜边斜边AB上的中线。上的中线。 求证：求证：CD= AB 证明：证明：延长延长CD到到C,使使CDCD，连接，连接ACACBCDAC=BC CAD= B在在ADC与与BDC中中AD=BD （已知）（已知） ADC= BDC（对顶角相等）（对顶角相等）CD=CD （已作）（已作） ADC BDC (SAS) BCA=90 BAC+ B=90 BAC+ CAD=90 CAC ACB在在ACC与与ACB中中 AC=BC （已证）（已证） CAC ACB （已证）（已证） AC=AC （公共边）（公共边） ACC ACB (SAS)AB CC 又又CD CC CD AB212121定理定理2 2：在直角三角形中，斜边的中线等：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。于斜边的一半。ACBD命题：直角三角形斜边上的中线等于命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边的一半 在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=900 0， CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线CD= ABCD= AB21(CD=AD=BD)(CD=AD=BD)动手做一做动手做一做CBAD ABC是等边三角形，是等边三角形，AD为为BC边上的高。猜想边上的高。猜想DB与与AB的数量的数量关系。关系。在直角三角形中，在直角三角形中，300角所对的直角边角所对的直角边等于斜边的一半。等于斜边的一半。DB= AB12BCADEF1、如图，在、如图，在ABC中，中，ADBC，E、F分别分别是是AB、AC的中点，且的中点，且AB=AC.求证：求证： DE=DF课堂练习A AE EB BC CD D3、在 ABC中， ACB=900，CD是是边AB上的高，A=300求证：求证：BD= AB14ADCB直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形的判定直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形 3、在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半。
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