函数项级数的一致收敛性及其应用

函数项级数的一致收敛性及其应用摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展. 有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有 广泛的应用，函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用，因此研究函数项 级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以 一类最简单的函数项级数幕级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用关键词：函数项级数；一致收敛；幕级数Uniformly Convergence Series of Functions and ApplicationAbstract： With the developme nt of science and tech nology, eleme ntary fun ctio n has failed to meet the n eeds of the people. Since the Cauchy gives the defi niti on of infin ite series, the theory of series has bee n developed rapidly with the in-depth study of it. With the infin ite series, series of fun cti ons came in to being. Series of fun cti ons has a wide applicati on in mathematics and engineering scienee. The uniformly convergenee of series of functions plays an importa nt role in applicati on. During the applicati on, the uni formly conv erge nee of series of fun cti on and its judgme nt become importa nt. This article describes the con cept of the un iformly conv erge nee of series of functions, to sum up the judgme nt of the un iformly conv erge nee of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the applicati on in calculati on of series of fun cti ons.Key words: series of functions; un iformly eon verge nee; series of powers12函数项级数的相关概念介绍22.1函数列及其一致收敛性,22.2函数项级数及其一致收敛性，,，32.3一致收敛函数项级数的性质，,，43函数项级数的-致收敛性判别法，,，53.1般判力别法,53.2魏尔斯特拉斯判别法,73.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法,73.3.1阿贝尔判别法,83.3.2狄利克雷判别法，,，83.4类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法，,，103.4.1比式半H别法103.4.2根式判别法,113.4.3对数判另U法,123.5 Dini判别法134幕级数的应用j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j144.1 幕级数的定义,144.2 幕级数的应用，,，144.2.1幕级数在近似计算中的应用，,，144.2.2幕级数在计算积分中的应用，,，154.2.3幕级数在求极限中的应用,154.2.4幂级数在数列求和中的应用，,，164.2.5幕级数在欧拉公式推导中的应用,164.2.6幕级数在求导中的应用,174.2.7幕级数在概率组合中的应用，,，174.2.8幕级数在证明不等式中的应用，,，184.2.9用幕级数形式表示某些非初等函数，,，185丿总、纟口 ,J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J1920至片谢21V/44，门，门门，门，门，门，门，门，门，门门 参考文献1引言随着科学技术的发展， 人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展有了无穷级数，函数项级数应运而生首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的 Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数 的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重 大的影响（朱正佑，2001） 1.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用，函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用，因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定 方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数一一幕级数为例，对其在计算方面的应用进行举例说明12函数项级数的相关概念介绍2.1 函数列及其一致收敛性定义1设是一列定义在同一数集M2nE上的函数，称为定义在 E上的函数列，也可简单的写作: fn或 fn， n =1,2/ 设XE ,以X0代入 fn可得数列fl(Xo), f2(Xo),f n (x0 )，:八若数列 fn (X0)收敛，则称函数列fn在点X0收敛，X0称为函数列 fn的收敛点若数列 fn (Xo)发散，则称函数列 fn在点Xo发散.若函数列 fn在数集DE上每一点都收敛，则称fn在数集D上收敛这时D上每一点X，都有数列fn(X)的一个极限值与之相对应，由这 个对应法则所确定的 D上的函数，称为函数列 fn的极限函数若极限函数记作f，则有lim f n(x) = f (x)， x Dn :或fn(x) f (x) (n T，X D 使函数列 fn收敛的全体收敛点集合，称为函数列 fn的收敛域定义2设函数列 fn与函数f定义在同一数集 D上，若对任给的正数:，总存在某一正整数N，使得当n N时，对一切x D，都有fn(X)- f(X)C 竜，则称函数列 fn在D上一致收敛于f，记作fn(x)二 f(x) (n 一 T， x D.注：本文用“”表示一致收敛由定义看到，如果函数列fn在D上一致收敛，那么对于所给的；，不管D上哪一点X，总 存在公共的N(；)(即N的选取仅与；有关，与x的取值无关)，只要n N，都有fn(X)- f(X)g由此可以看到函数列fn在D上一致收敛，必在 D上每一点都收敛反之，在D上每一点都收敛的函数列 fn，在D上不一定一致收敛2.2 函数项级数及其一致收敛性定义3设 Un （X） 是定义在数集E上的一个函数列，表达式Ui（x） + U2（x）+, +Un（x）+, , X E（ 1）qQ称为定义在E上的函数项级数，简记为 、 un （x）或un（x）。称n =1nSn（X）= uk（x）， x E ， n = 1,2,k吕为函数项级数的部分和函数列。若xE，数项级数Ui（x） U2（Xo）Un（Xo）（ 2）n收敛，即部分和Sn（Xo） =7 Uk（Xo）当n；心时极限存在，则称级数（1 ）在点X0收敛，X0称为级数（1 ）的收敛点若级数（2）发散，则称级数（1）在点x0发散.若级数（1）在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数（1 ）在D上收敛.若D为级数（1）全体收敛点的集合，这时则称 D 为级数（1）的收敛域.级数（1）在D上每一点x与其所对应的数项级数（2）的和S（x）构成一 个定义在D上的函数，称为级数（1 ）的和函数，并写作U1（x） U2（x） Un（x） =S（X）, X D,即lim Sn（x）二 S（x）, x D .n ）：:也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性.定义4 设 Sn（x）是函数项级数un（x）的部分和函数列.若 Sn （x）在数集D上一致收 敛于函数S（x）,则称函数项级数 7 un（x）在D上一致收敛于函数 S（x），或称7 un（x）在D上一 致收敛（华东师范大学数学系，2001）2.2.3 致收敛函数项级数的性质定理1(连续性)若函数项级数、un(x)在区间a,b 1上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在a,b上也连续.它指出：(无限项)求和运算与求极限运算可以交换顺序，即、 (lim Un(x) lim C Un(x).定理2 (逐项求积)若函数项级数un(x)在a,b 1上一致收敛，且每一项 unbb aUn(X)dX 二Un(x)dx.此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序 定理3 (逐项求导)若函数项级数7 un(x)在a,b 1上每一项都有连续的导函数,(x)都连续，则x a,b为(软n(x)怕、un(x).un(x)的收敛点，且V Un (x)在a,b上一致收敛，则5#(陶桂秀,此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序2005)同.3函数项级数的一致收敛性判别法3.1 一般方法判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点，又是一个难点.一般的情况下，证明一致收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.定义4的条件太强，函数项级数固定一点D,vun(X)实际上是一个特殊数列.受此启发，利用数列的性质得到以下定理：定理4(一致收敛的柯西准则)函数项级数、 un(x)在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数；，总存在某正整数 N，使得当n N时，对一切D和一切正整数 p，都有Sn4p(x) - Sn(X) S或Un*(X)+U(X)+ +Un4p(X)| V & .此定理中当P =1时，得到函数项级数一致收敛的必要条件.推论 函数项级数V un(X)在数集D上一致收敛的必要条件为：函数列Ln(x)?在D上一致收敛于零.设函数项级数在 D上的和函数为S(x)，称rn(x) =S(X)-Sn(x)为函数项级数 v un(x)的余项.定理5函数项级数7 un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是:lim sup rn (x)二 lim sup S(x) - Sn (x) = 0.n ：xDU D证明 必要性时，对一切x D,都有 Sn(X)- S( x)因为a un(x)在区间D上一致收敛，所以- 0， N 0，使得当n N,即 g(x ) z，所以 suprn(x)乞 E，所以 X充分性 设二un(x)在D上不一致收敛，即一 -00，- N - 0, T n0N , _| xD，使得Sn0(x) S(x) K s，即 suprn0(x)|=%，所以 lim suprn(x)| 芒0.与已知矛盾(李岚，2003).例1 若fn(X)在 a, b i 上可积，n =1,2,且f(x)与g(x)在 a, 上都可积，bxxHmUfn(x) f (x) dx = O，设 h(x) = L f(t)g(t)dt , hn(x) = Ja fn(t)g(t)dt，则在 B,b】上 hn(x) 一致收敛于h (x).证明h(x) -hn(x)xUP) - fn(t)g(t)dtxxaf(t)g(t)dt- afn(t)g(t)dtfn(t) dt)2(j|g(t) dt)2xx Ja|f(t) fn(t)|g(t)|dy(Jf(t) 1 1b2b 22兰(J|f (t)仁 dt)2(f |g(t) dt) t 0(nTo ),a1a所以利用定理1,当n时，hn (x) 一致收敛于h (x).0例2设un(x) _0,在a,b 1上连续，n =1,2,，又x un(x)在a,b】收敛于连续函数f (x), n=JoO则工Un(x)在la,b】一致收敛于f (x).n iQO证明 已知匚=f(X)-Sn(X)(其中Sn = v山(X)是单调递减且趋于0,所以一 n N，kT-x a,b 1有 rn(x) _0，且 -x0 a,b 丨，- ；0， -JN(x0, ) 0, n_ N(x0, ；)时，有 0 _n(xo) ： ；将 n 固定，令 n 二 N。二 N(x,；)，因为 r. (x) = f (x) - Sn(x)在!a,b上连续，既然 rn(x)：；，所以；0 0，当 x (冷；0,x0 飞0)时 rn(x) ： ；从而 n N0时更有 rn(x)：；即 n(X)：；仅当 X (冷一二0，X )如上所述,对每个点x,a,b】，可找到相应的邻域(x, -；，x, ；，)及相应的N,使得n N，时，对 x(x, -lx .)恒有 rn(x)：如此：(x.-二.,x二，)：x, a,b 勾成a,b 1的一个开覆盖，从而必存在有限子覆盖不妨记 为 & - J* 二),，(人- J,人飞),于是X，咕,总i 1,2 ,P?,使得当 X(Xi - J,Xi ；)时，取 N =maxN1,N2,Nr ，那么当 n N 时，恒有n(x) ： ；O0由定理2得，v Un(X)在,一致收敛于f (X).n證3.2魏尔斯特拉斯判别法判别函数项级数的一致收敛性除了定义及定理4夕卜，有些级数还可以根据级数各项的特性来判定理6 （魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数a un（x）定义在数集D上， M n为收敛的正 项级数，若对一切 x D，有Un（x）兰 M n，n = 1,2，（3）则函数项级数 V un（x）在D上一致收敛.证明由假设正项级数 7 Mn收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数；，存在某正整数N，使得当n N及任何正整数 p，有皿冷+Mn* =Mn卅+M n井V又由（3）式对一切x D有山卅（X）十卄（X）兰叫卅（X）十+ U.卄（X）根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数7 un （x）在D上一致收敛例3判断函数项级数岂呼在（：，：）上的一致收敛性n证明因为对一切（-：）有sin nx1而正项级数是收敛的，所以根据魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数n是一致收敛的.定理6也称为M判别法或优级数判别法当级数a un（x）与级数Mn在区间a,b上成立关系式（3）时，则称级数a Mn在a,b上优于级数a un（x），或称M n为un（x）的优级数.3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法F面讨论定义在区间I上形如(4) 5(X)Vn(X)i(X)Vi(X)U(X)V2(X厂Un(X)Vn(X)的函数项级数的一致收敛判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝尔分部求和公式3.3.1 阿贝尔判别法定理7(阿贝尔判别法)设(i) a Un(X)在区间I上一致收敛；(ii) 对于每一个 X，I , Ln(X)1是单调的；(iii )1vn(x) ?在I上一致有界，即对一切X I和正整数n ,存在正数M ,使得Vn (X)| 兰 M .则形如V un (X)Vn (x)的级数在I上一致收敛证明 由(i),任给； 0 ,存在某正整数 N ,使得当n N及任何正整数 p ,对一切x I , 有人比(X)+山十仪) 名又由(i) , (ii)及阿贝尔引理得到Un*(X)Vn 卅(X)+ +片韦(X)Vn4p(X)M(|Vn_i(x)|+2|Vn4p(x)|)3Mg.于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论(_1) nJT JT例4判断函数项级数.,x ,的一致收敛性n +cosx2 2证明记an(x)二皿,bn(x)二n： jr因为 an (x)是收敛的数项级数，从而在 ,上一致收敛2 2又因为每个X， , 1bn(X)单调，且 0(X)1在，上一致有界，于是由阿贝尔2 2 2 2:5判别法易知级数(4)在,上一致收敛(刘庆生，2009;翟永恒，2009 ;刘桂仙，2009)2 23.3.2 狄利克雷判别法定理8 (狄利克雷判别法)设(i) 7 Un(X)的部分和函数列nUn(x) = Uk(x) , (n=1, 2,)k J在I上一致有界；(ii) 对于每一个 X. I , ：vn (x) /是单调的；(iii) 在 I 上 Vn(X)二 0,(n;：)，则形如v un(x)vn(x)的级数在I上一致收敛证明 由(i),存在正数M，对一切X E I，有Un(x) M 因此当n, p为任何正整数时,Un*(X)i +山井(X) = Un 护(X)Un(X)兰 2M 对任何一个X，I，再由(ii)及阿贝尔引理，得到un十(x)vn十(X)十+叫井仗)百井(X)兰 2M (vn4i(X)+2* 井(X).再由(iii),对任给的； 0 ,存在正数 N，当n N时，对一切xI，有(X)V E ,所以，un +(x)vn +(x) + +Un4p(X)vn4p(X) n1 X 时，Un(X)致收敛，vn(X)单调且并且一致 n有界，所以由阿贝尔判别法得函数项级数、(T)(Xn)在0,1上一致收敛.例6若数列单调且收敛于零，则级数13a a.cos nx在:,2巫旳(0 ：:：二)上一致收敛证明n+Z coskx =k 4sin(n )x2sinx2n瓦 coskxk 4sin(n )x2x2 sin 21111-+ N， D， un(x)| Eqn成立，而几何级数瓦qn收敛，由优级qQ数判别法，函数项级数 a Un(X)在D上一致收敛n =1CO注：当定理11条件成立时，级数 7 un (x)在D上还绝对收敛n 4定理11的极限形式为：定理12设un(x)为定义在数集 D上的函数列，若nmn，un(x)| =q(x)兰 q c1，oO-n N , D成立，则函数项级数 v Un(x)在D上一致收敛n 二证明函数项级数a 斗在(-：，-门,：)上一致收敛(其中r为大于1的实常数) xn证明因为jn1n x_|x| Jx丄1，r由定理12知，函数项级数斗在(-二，-门匸：)上一致收敛(吴良森，毛玉辉,x343 对数判别法2002)7定理13设un(X)为定义在数集D上正的函数列，若lim ln Un (x)二p(x)存在，那么n护 In nQO(i)若-x D , p(x) p 1，则函数项级数v un(x)在D上一致收敛n dcO(ii)若-xD , p(x) ： p ：1,则函数项级数7 un(x)在D上不一致收敛n d证明 (i)由定理条件知，对 0, TN ,使得- n N，有Tn Un(x)ln n:p(x)；,1n P(x) ；5(x)甘,171np当p 1时收敛，由优级1则当p(x) p 1,-x D成立时，有un (x)-，而p级数n p数判别法知函数项级数 7 un(x)在D上一致收敛;n =1 1 1(ii)当P(X)： p ： 1对-XD成立时，有Un(X)- , P级数 -当P . 1时发散，n pn pQO从而函数项级数x un(x)在D上不一致收敛.n 43.5 Dini判别法定理14若(i) 每个an(x)均在a,b上连续且非负；(ii) an(x)在a,b上收敛于连续函数 S(x)；则a an(x)在a,b上一致收敛于S(x).例9证明：(；1) n在(-：)内闭一致收敛.n 土 n xn证明 显然，、(-1)k乞1在(：)上一致有界.任取a,b R对a,b，易证当n充k生分大时 2 n 2单调递减且lim p=0=f(x)，每个22及f(x)=O均在a,b上连in2 +x2Fn +xn+x续，故由Dini定理知2 n 2 ,在a,b上一致收敛于 0,于是，由狄利克雷判别法知原级数在a,b上一致收敛.所以，由a,b的任意性知，原级数在(：，：)上内闭一致收敛(吉米多维奇，1987)8.184幕级数的应用幕级数是一类最简单的函数项级数，下面我们以幕级数为例，说明函数项级数的一致收敛性在计算中的应用.4.1 幕级数的定义定义5由幕函数列an(x-XQ)n 所产生的函数项级数cd二 an(x - Xo)n = ao ai (x x) a?(x - x。)2 an (x - x)n，n卫称为幕级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上讲，它可以看作是无穷多项式函数的延伸.4.2 幕级数的应用幕级数是高等数学中的一个非常重要的内容，其简单的结构形式和逐项求导、逐项求积的优良性质使之成为一种有效的计算工具，它能应用于近似计算、积分计算、数项级数求和、欧拉公式的推导等问题中.巧妙地利用函数的幕级数展开式及幕级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不 容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚(赵瑜,2009)同.4.2.1幕级数在近似计算中的应用我们可以利用幕级数展开式进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似的利用这个级数按精确度要求计算出来(同济大学应用数学系，2002)10.例10计算积分sin xdx7 7!x197 7!x#的近似值，要求误差不超过0.0001.解 由于lim S =1，因此所给积分是反常积分.如果定义被积函数在 x二0处的值为1,则XTx它在积分区间0,1上连续.展开被积函数，有246sin x , xxx1（ _ ： - ： X :：-），x3!5!7!在区间0,1上逐项积分，得sin x , dx=1一丄丄3 3!5 5!十7 7!x#7 7!x#因为第四项的绝对值7 7!x207 7!30000所以取前三项的和作为积分的近似值：算得1sin x 1dx ： 1 - 0 x3 3!SiMdx 茫 0.9461.x4.2.2幕级数在计算积分中的应用1，5 5!当f（x）的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算f（X）的定积分就遇到了困难现在,我们可以利用幕级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幕级数,且积分区间必须在幕级数的收敛域之内,然后利用幕级数的逐项积分x )0 sin x6421x )0 sin x64#性质来计算所求积分的值所以例11证明423证明:因为24亠丄旦t2 2!4 4!0C0SX 二、(_1)t =0XCOStdttX 二二解（-1）nn=S212 2!幕级数在求极限中的应用.(W .2n (2n)!2nn _X_而(2n)(2n)!4厶4 4!Xt2ndt爲：”-x )0 sin x64#x )0 sin x64#求函数极限的方法很多，幕级数法也是其中之一12 求 lim x-arCSinx 的值.xtsin3x因为arXsi nx = x 丄2X3，(xE=3oX43!35 -35!，(x -：)x )0 sin x6422x )0 sin x64#所以x )0 sin x64#x )0 sin x64#x arcsin x lim3x 121 33 -3 3x3!xI上32 435 - 3 5 一x十5!=lim133X ： (x )x 0 X - (x )x )0 sin x64#一致收敛的幕级数的性质：幕级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,424幕级数在数项求和中的应用的和(裴礼文,1983)11可用于计算幕级数23#例13 求n心(n -1) 3n解当 -1 ：: x 1 时，设 s(x)=：:n nxn卫n 1QOz1x-、xn_、n J n 11 - x n4 n 1:xn从而设 g(x)二、:xn，(一1 ： x : 1)，贝y xg(x)xg(x)八n 4八xnxg(x)=dx =1 -xg(x):xn 11- xx1 xdxdx - -x -ln(1 -x).-x 01- xln (1_X)此时，、oOn n x n n 1x-x nm n 1In (1 -x)1 In(1 - x)1令x ，可得3oOn 欽 n -1) 3n丄1-13In 1-3I n二.2#4.2.5 幕级数在欧拉公式推导中的应用例14试用幕级数的展开式来推导欧拉公式#因为ix e e sin x 二2i-ix,cosxeix-e4x解 当x为实数时，由指数函数的幕级数展开式知nix (ix) e = 1+ix + 丄(ix)2+丄(ix)3 + 丄(ix)4 十 n n!2!3!4!3!i(4n1) =i,i(z)=-1,i(4n3)= _i,i(44)=1, n =0,1,224x5 _(_1)nx2n1 52 n 1x11f(X)= 0f(x)dx 工 X2 亍 X41/ t)n x2n 2冷品2帀zx所以2435xxXXe = (1) i(x) = cosx i sin x,2!4!3!5!即eiX = cosx +i sin x ,在上式中x 以置换 x 可得ecosx - i sin x,ix_ixixJx再由两式联立，解得：si nx=e - , cos x =- .2i24.2.6 幕级数在求导中的应用2例 15 求 f (x) =xarctanx -1n(1 x )在 x 二 0 处的 n 阶导数旳 f (n)(0)解因为函数f(x)在x=0处的泰勒级数为xn，所以可先将f(x)用间接方法展n“n!成x的幕级数，然后从xn的系数中解出f(n)(o)，xxf (x)2arcta nx 2 = arcta nx1+x1+xf (x) 笃=1 x2 x4 ( 1)nx2n,一1 ： x : 1)1+xx进行两次积分：f (x) = .0(x)dx -则 f2n)(0) = 口n-1，即 f(2n)(0)=(1)2(n 2),(n = 2m).(2n)(2n _1)2n0, (n 二 2m -1,m 二 1,2,3)4.2.7 幕级数在概率组合计算中的应用定义6 设Bn(n =0,1,2,)是一个数列，若存在一个函数F(x)，使得F(x)二B0 B1Bnxn x : R成立，则称F(x)为数列Bn (n = 0,1,2)的生成函数.例16 将一颗骰子连续投掷 10次，问：出现20点的概率是多少？解 设Bn表示共出现点n的方式的总数，显然10乞Bn乞60 .从而Bn的生成函数为：60F(x)二 BnXn =(1 X X2 -n010一1 x625因为(1_X6)10 =1 G1X6 C20X12 C；0X18 (1x)10201014F (x)的展开式中x 项的系数为B20 = C19 - - C10C13二85228 ,于是出现20点的概率为：需80“409.4.2.8 幕级数在证明不等式中的应用幕级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明不等式(张淑辉，2005) 12X2例17证明不等式 ex e_ 2e2 ,x （-：,：）证明因为:nqXXXe =為 ,e n!八(_1)nn=0nX/,X （：，：）， n!:2ne=2、匕- n卫(2n)!X2，2eT:- 2n=2后由于2nX2nX(2n)!(2n)!X2ex e _2e2（一匚亠：）.429用幕级数形式表示某些非初等函数182求连续函数e的原函数F（x）.2e的原函数为x 上2e dt， x R.-0n八- n=0 n!2_t2x = -t ，有 e焉(-1)nt2n=L n n!-1t21!2!3!n 2n 1.(-1) Xn!对幕级数在收敛区间内逐项求积分，可得x/上1F (x) e dx = x 0 1!3x_ .13 2!5/ a n.X_，5n!n 12S_ 2n 1另外，幕级数还可以定义三角函数和指数函数等等.幕级数的应用非常广泛，我们要在实际应=1 - C；oX C1：x2 -G3)x3 ，所以26#用中善于发现，充分利用，以求最好的解决问题#总结数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美，18世纪是分析的时代，数学进入到更高层次的研究，函数项级数是数学分析中的重要组成部分，因此研究函数项级数的一致收敛性具有重大的意义目前，对于函数项级数的研究已经有了非常丰富的研究资料，并且其应用 领域越来越广泛，在数学本身以及自然现象、工程技术，物理研究都有很大的作用本文介绍了函数项级数的历史背景、给出了函数项级数的概念、性质、函数列及其一致收敛性、函数项级数及其 一致收敛性，归纳梳理函数项级数的一致收敛性的判定方法，以最简单的函数项级数一一幕级数为例，说明函数项级数的应用随着科学技术的发展，函数项级数作为数学分析中的一项重要内容， 会在更多的领域拥有更广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻27参考文献1 朱正佑.数学分析(下册)M.上海：上海大学出版社，2001.2 华东师范大学数学系.数学分析(下册)M.北京：高等教育出版社,2001.3 陶桂秀.关于一致收敛函数项级数的注记J.铜陵学院学报，2005,(2):75.4 李岚.函数项级数一致收敛定义的推广及其应用J.陕西教育学院学报,2003,19:86-87.5 刘庆升,翟永恒，刘桂仙.函数项级数一致收敛的判别法J.科技信息，2009,(9):531. 毛一波.函数项级数一致收敛性的判定J.重庆文理学院学报(自然科学版),2006,5(4):55-56.7 吴良森,毛羽辉等.数学分析习题精解M.北京:科学出版社,2002.8 苏吉米多维奇.数学分析习题集(四)M.费定晖，周学圣译.济南：山东科学技术出版社.1987.9 赵瑜.浅谈幂级数在计算中的应用J.前沿,2009,(8):282-283.10 同济大学数学系.高等数学(下册)M.北京:高等教育出版社,2002.11 裴礼文.数学分析中典型例题与方法M.北京：高等教育出版社,1993.12 张淑辉.幂级数的应用J.太原教育学院学报，2005,(23):94-96.13 W.Rudin.Principles of Mathematical AnalysisM.New York:Springer-Verlag,1964.14 XU Chang-qing.Boursuk s Problem in a Special Normed SpaceJ.Northeast Math.J,2004,(1):79-83.28