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一一.动手做一做动手做一做在纸上任意画一个在纸上任意画一个BAC，把它对折，使角的，把它对折，使角的两边重合，然后把纸展开铺平，得到一条折痕，两边重合，然后把纸展开铺平，得到一条折痕，你有什么发现？你有什么发现？角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.CAOB二.尺规作图作法：作法：以以O为圆心，任意长为为圆心，任意长为半径画弧，分别交半径画弧，分别交OA、OB于点于点M、N分别以点，为圆分别以点，为圆心大于心大于 1/2 长为半长为半径在角的内部画弧交于点径在角的内部画弧交于点C作射线作射线OC射线射线OC即为所求作的图形即为所求作的图形 O O三.理论依据 O O想一想：为什么想一想：为什么OC是是AOB的平分线？的平分线？证明：连接证明：连接CMCM、CN.CN. 在在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ON OM=ON， MC=NC MC=NC， OC=OC OC=OC， OMC OMC ONC.ONC. MOC =NOC. MOC =NOC. 即即OCOC平分平分AOB.AOB.(SSS)四.角平分线的性质OABA AOOB BE EDDP PC C第一条折痕是第一条折痕是AOB的的平分线平分线OC，第二次折叠，第二次折叠形成的两条折痕形成的两条折痕PD，PE是角的平分线上一点到是角的平分线上一点到AOB两边的距离，这两边的距离，这两个距离相等两个距离相等实验实验: 将将AOB对折对折,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),然后展开然后展开,观察第二次观察第二次折叠形成的两条折痕折叠形成的两条折痕,你能得出什么结论你能得出什么结论?可以看一看可以看一看,第一条折痕是第一条折痕是AOB的平分线的平分线OC,第第二次折叠形成的两条折痕二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线是角的平分线上一点到上一点到AOB两边的距离两边的距离,这两个距离相等这两个距离相等.你能证明你能证明PD=PE吗？吗？四.角平分线的性质四.角平分线的性质已知：如图，已知：如图，OC平分平分AOB，点，点P在在OC上，上，PDOA于点于点D，PEOB于点于点E.求证求证: PD=PE.A AOOB BE ED DP PC C12证明：证明： OC OC平分平分 AOB, AOB, 1= 2. 1= 2. PD OA PD OA，PE OB,PE OB, PDO= PEO. PDO= PEO. 在在PDOPDO和和PEOPEO中中, , PDO= PEO, PDO= PEO, 1= 2, 1= 2, OP=OP , OP=OP , PDO PDO PEO.PEO. PD=PE. PD=PE.（AAS） 角角的平分线上的点到角的两的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。结论：结论：四.角平分线的性质四.角平分线的性质利用此性质利用此性质怎样书写推怎样书写推理过程理过程? P PA AOOB BC CE EDD12 1= 2, PD OA， PE OB,PD=PE.五.思考角平分线上的点到角两边距离相等，将题角平分线上的点到角两边距离相等，将题设和结论互换：设和结论互换：到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点在角的平分线上在角的平分线上.该命题成立吗？该命题成立吗？请同学们思考：五.证明A AOOB BE EDDP PC C已知：已知： PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分，垂足分别为，别为， PD=PEPD=PE求证求证: :点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上证明：经过点作射线证明：经过点作射线OC.OC. PD OA,PE OB PD OA,PE OB， PDO=PEO=90 PDO=PEO=90. . 在在RtRtPDOPDO和和RtRtPEOPEO中，中， OP=OP, OP=OP, PD=PE, PD=PE, Rt RtPDORtPDORtPEO.(HL)PEO.(HL) AOC=BOC. AOC=BOC. 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .五.角平分线的判定定理用符号语言表示为：用符号语言表示为： PD OA ，PE OB， PD=PE，判定定理判定定理 ：在角的内部，到角的两边距离相等的点，：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .A AOOB BE ED DP PC C12 点点P在在AOB的平分线上的平分线上 .六.试一试ABCEFD已知：如图，已知：如图，ABC中，中，AB=AC，AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB，DFAC，垂，垂足分别为足分别为E、F.判断下列结论是否正确：判断下列结论是否正确：(1)DE=DF. （ ）(2)BD=CD. （ ）(3)AD上任一点到AB、AC的距离相等. （ ）(4)AD上任一点到点B、C的距离相等. （ ） 七.应用如图：ABC的角平分线，相交于点求证：AP平分BACBMBM是是ABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, ,PD=PEPD=PE同理同理 PE=PF. PE=PF.PD=PF.PD=PF. AP AP平分平分BACBAC证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E， PFAC于于F结论：三角形三条内角平分线交于一点，结论：三角形三条内角平分线交于一点，且这点到三角形三边距离相等且这点到三角形三边距离相等. .九.课堂练习如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD如如图，的图，的的外角的平分线的外角的平分线与与的外角的平分线相交于点求的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线证：点到三边，所在直线的距离相等的距离相等F FGH九.课堂练习要要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路九.课堂练习例例 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. .证明：过点证明：过点P P作作PD PD 、PEPE、PFPF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、F BM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF.PE=PF. PD=PE=PF.=PF. 即点即点P P到边到边ABAB、BCBC、 CACA的距离相等的距离相等DEFABCPMN1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3：角平分线的判定结论：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。十十.小结与评价小结与评价OAB. . 问题探讨问题探讨 在在V型公路（型公路（AOB）内部，有两个村庄内部，有两个村庄C、D。你。你能选择一个纺织厂的厂址能选择一个纺织厂的厂址P，使使P到到V型公路的距离相等，型公路的距离相等，且使且使C、D两村的工人上下班两村的工人上下班的路程一样吗？的路程一样吗？CD十十. 布置作业作业
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