单元评估检测(五)

圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(五)第五章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列32,54,76,9a-b,a+b10,根据前三项给出的规律,则实数对(a,b)可能是()A.(19,3)B.(19,-3)C.192,32D.192,-322.数列an中,a1=1,对所有的n2,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5等于()A.259B.2516C.6116D.31153.“点Pn(n,an)(nN*)都在直线y=x+1上”是“数列an为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等比数列an中,a1=1,公比为q,且|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m=()A.9B.10C.11D.125.(2014郑州模拟)等差数列an中,2a3-a72+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()A.2B.4C.8D.166.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值.(3)是否存在a1,使得a1,a2,an成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选C.由a-b=8,a+b=11解得a=192,b=32.【方法技巧】数列通项公式的一般求法用观察-归纳-猜想-证明的方法,找数列的通项公式时,首先要注意观察各个式子的特征,并据此把式子分解成几个部分,然后各个击破.对于正负相间的项,用-1的指数式来予以调整.2.【解析】选C.因为a1=1,当n2时,a1a2a3an=n2,所以a1a2a3an+1=(n+1)2,则得an+1=n+1n2,所以a3=322=94,a5=542=2516,所以a3+a5=94+2516=36+2516=6116.故选C.【加固训练】在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN*),则a3a5的值是()A.1516B.158C.34D.38【解析】选C.当n=2时,a2a1=a1+(-1)2,所以a2=2.当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,所以a3=12.当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,所以a4=3.当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,所以a5=23,所以a3a5=34.3.【解析】选A.若点Pn(n,an)(nN*)都在直线y=x+1上,则an=n+1,an+1-an=(n+2)-(n+1)=1,即数列an为等差数列;反之,若数列an为等差数列,点Pn(n,an)(nN*)不一定满足y=x+1,故选A.4.【解析】选C.因为a1=1,所以am=a1a2a3a4a5=qq2q3q4=q10,即am=a1q10,所以m=11.5.【解析】选D.因为an是等差数列,所以a3+a11=2a7,2a3-a72+2a11=4a7-a72=0,解得a7=0或a7=4,因为bn为等比数列,所以bn0,b7=a7=4,b6b8=b72=16.6.【解析】选B.an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2,即an=-8,n=1,-10+2n,n2.因为n=1时也适合an=2n-10,所以an=2n-10.因为5ak8,所以52k-108,所以152k0,由a1=2,a3=a2+4,所以2q2=2q+4,即q2-q-2=0,又q0,解之得q=2.所以an的通项公式an=22n-1=2n.(2)Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=2(1-2n)1-2+n1+n(n-1)22=2n+1+n2-2.18.【解析】(1)因为an+1=1+an3-an,所以an+1-1=1+an3-an-1=2an-23-an,故1an+1-1=3-an2an-2=1-an2an-2+22an-2=-12+1an-1,所以1an+1-1-1an-1=-12,所以数列1an-1是公差为-12的等差数列,而a1=13,所以1a1-1=113-1=-32,所以1an-1=-32-12(n-1)=-n+22,所以an-1=-2n+2,an=1-2n+2=nn+2.(2)由(1)知an=nn+2,所以bn=2(n+2)2nn+2=2n(n+2)=1n-1n+2,故Tn=b1+b2+bn=11-13+12-14+1n-1n+2=1+12-1n+1-1n+2=32-2n+3(n+1)(n+2).【方法技巧】裂项相消法的应用技巧裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.19.【解析】(1)因为an是等差数列,且a3=5,a7=13,设公差为d.所以a1+2d=5,a1+6d=13,解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1(nN*).在bn中,因为当n=1时,b1=2b1-1,所以b1=1.当n2时,由Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1.所以bn是首项为1公比为2的等比数列,所以bn=2n-1(nN*).(2)cn=anbn=(2n-1)2n-1,Tn=1+32+522+(2n-1)2n-12Tn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n-得-Tn=1+22+222+22n-1-(2n-1)2n=1+22(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n=1+4(2n-1-1)-(2n-1)2n=-3-(2n-3)2n,所以Tn=(2n-3)2n+3(nN*).【加固训练】已知数列an的前n项和为Sn,a1=2.当n2时,Sn-1+1,an,Sn+1成等差数列.(1)求证:Sn+1是等比数列.(2)求数列nan的前n项和Tn.【解析】(1)因为Sn-1+1,an,Sn+1成等差数列,所以2an=Sn+Sn-1+2(n2),所以2(Sn-Sn-1)=Sn+Sn-1+2,即Sn=3Sn-1+2,所以Sn+1=3(Sn-1+1)(n2),所以Sn+1是首项为S1+1=3,公比为3的等比数列.(2)由(1)可知Sn+1=3n,所以Sn=3n-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=23n-1.又因为a1=2符合上式,所以an=23n-1(nN*),所以Tn=2+43+632+2(n-1)3n-2+2n3n-1,3Tn=23+432+633+2(n-1)3n-1+2n3n,-得:-2Tn=2+23+232+23n-1-2n3n=2(1-3n)1-3-2n3n=3n-1-2n3n,所以Tn=(2n-1)3n+12.20.【思路点拨】(1)由-2S2,S3,4S4成等差数列求等比数列an的公比,然后写出其通项公式.(2)写出等比数列an的前n项和Sn,表示Sn+1Sn,分n为奇数或偶数讨论其最大值,进而得出证明.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,由-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列an的通项公式为an=32-12n-1=(-1)n-132n.(2)Sn=1-12n,Sn+1Sn=1-12n+11-12n=2+12n(2n+1),n为奇数,2+12n(2n-1),n为偶数,当n为奇数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1SnS1+1S1=136.当n为偶数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1SnS2+1S2=2512.故对于nN*,有Sn+1Sn136.21.【解析】(1)n=1时,a1=S1=2-1=1,n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.所以an=2n-1.显然an=2n-1是递增的,故不存在常数M,使anM恒成立,即不满足条件,an不是上凸有界数列.(2)设bn的公差为d,则b1+2d=4,3b1+322d=18.解得b1=8,d=-2.所以Tn=nb1+n(n-1)2d=8n+n(n-1)2(-2)=-n2+9n.因为Tn+Tn+22-Tn+1=(Tn+2-Tn+1)-(Tn+1-Tn)2=bn+2-bn+12=d2=-10,所以Tn+Tn+22Tn+1,即Tn满足条件;又Tn=-n2+9n=-n-922+814,当n=4或5时,Tn取得最大值20,即Tn20,满足条件.综上,Tn为上凸有界数列.22.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.当02时,a3=2-(a1-2)=4-a1,所以a1(4-a1)=(2-a1)2,得a1=2-2(舍去)或a1=2+2.综合得a1=1或a1=2+2.(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|.由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*).分以下情况讨论:当a12时,由(*)得a1=0,与a12矛盾;当00,因此存在m2使得am=a1+2(m-1)2.此时d=am+1-am=2-|am|-am0,矛盾.综合可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,a3,构成等差数列.关闭Word文档返回原板块- 16 -