高等数学教案 11 无穷级数
第十一章 无穷级数
教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、，和的麦克劳林展开式；
6、傅里叶级数。
教学难点：
1、 比较判别法的极限形式；
2、 莱布尼茨判别法；
3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
4、 函数项级数的收敛域及和函数；
5、 泰勒级数；
6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。
11. 1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数: 给定一个数列
u1, u2, u3, , un, ,
则由这数列构成的表达式
u1 + u2 + u3 + + un +
叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为, 即
,
其中第n项u n 叫做级数的一般项.
级数的部分和: 作级数的前n项和
称为级数的部分和.
级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限s, 即,
则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和,
并写成
;
如果没有极限, 则称无穷级数发散.
余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值
rn=s-sn=un+1+un+2+
叫做级数的余项.
例1 讨论等比级数(几何级数)
的敛散性, 其中a0, q叫做级数的公比.
例1 讨论等比级数(a0)的敛散性.
解 如果q1, 则部分和
.
当|q|<1时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为.
当|q|>1时, 因为, 所以此时级数发散.
如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na, 因此级数发散;
当q=-1时, 级数成为
a-a+a-a+ ,
时|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零,
所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散.
综上所述, 如果|q|<1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|1, 则级数发散.
仅当|q|<1时, 几何级数a0)收敛, 其和为.
例2 证明级数
1+2+3+ +n+
是发散的.
证 此级数的部分和为
.
显然, , 因此所给级数是发散的.
例3 判别无穷级数
的收敛性.
解 由于
,
因此
从而
,
所以这级数收敛, 它的和是1.
例3 判别无穷级数的收敛性.
解 因为
,
从而
,
所以这级数收敛, 它的和是1.
提示: .
二、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks.
性质1 如果级数收敛于和s, 则级数也收敛, 且其和为ks.
性质1 如果, 则.
这是因为, 设与的部分和分别为sn与sn, 则
.
这表明级数收敛, 且和为ks.
性质2 如果级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为ss.
性质2 如果、, 则.
这是因为, 如果、、的部分和分别为sn、sn、tn, 则
.
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.
比如, 级数是收敛的,
级数也是收敛的,
级数也是收敛的.
性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.
应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数
1-1)+1-1) + 收敛于零, 但级数1-1+1-1+ 却是发散的.
推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
级数收敛的必要条件:
性质5 如果收敛, 则它的一般项un 趋于零, 即.
性质5 如果收敛, 则.
证 设级数的部分和为sn, 且, 则
.
应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.
例4 证明调和级数
是发散的.
例4 证明调和级数是发散的.
证 假若级数收敛且其和为s, sn是它的部分和.
显然有及. 于是.
但另一方面,
,
故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散.
11. 2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界.
定理2(比较审敛法)设和都是正项级数, 且unvn (n=1, 2, ). 若级数收敛, 则级数收敛; 反之, 若级数发散, 则级数发散.
定理2(比较审敛法)
设和都是正项级数, 且unvn(k>0, "nN).
若收敛, 则收敛; 若发散, 则发散.
设Sun和Svn都是正项级数, 且unkvn(k>0, "nN). 若级数Svn收敛, 则级数Sun收敛; 反之, 若级数Sun发散, 则级数Svn发散.
证 设级数收敛于和s, 则级数的部分和
sn=u1+u2+ +unv1+ v2+ +vns (n=1, 2, ),
即部分和数列{sn}有界, 由定理1知级数收敛.
反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数
收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设矛盾.
证 仅就unvn (n=1, 2, )情形证明. 设级数Svn收敛, 其和为s, 则级数Sun的部分和
sn=u1+ u2+ + unv1+v2+ +vns (n=1, 2, ),
即部分和数列{sn}有界. 因此级数Sun收敛.
反之, 设级数Sun发散, 则级数Svn必发散. 因为若级数
Svn收敛, 由上已证明的结论, 级数Sun也收敛, 与假设矛盾.
推论 设和都是正项级数, 如果级数收敛, 且存在自然数N, 使当nN时有unkvn(k>0)成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当nN时有unkvn(k>0)成立, 则级数发散.
例1 讨论p-级数
的收敛性, 其中常数p>0.
例1 讨论p-级数的收敛性.
解 设p1. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知, 当p1时级数发散.
设p>1. 此时有
(n=2, 3, ).
对于级数, 其部分和
.
因为.
所以级数收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数当p>1时收敛.
综上所述, p-级数当p>1时收敛, 当p1时发散.
解 当p1时, , 而调和级数发散, 由比较审敛法知,
当p1时级数发散.
当p>1时,
(n=2, 3, ).
而级数是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,
级数当p>1时收敛.
提示:
级数的部分和为
.
因为,
所以级数收敛.
p-级数的收敛性: p-级数当p>1时收敛, 当p1时发散.
例2 证明级数是发散的.
证 因为,
而级数是发散的,
根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.
定理3(比较审敛法的极限形式)
设和都是正项级数, 如果(0
N时, 有不等式
, 即,
再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论.
例3 判别级数的收敛性.
解 因为, 而级数发散,
根据比较审敛法的极限形式, 级数发散.
例4 判别级数的收敛性.
解 因为, 而级数收敛,
根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛.
定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
若正项级数的后项与前项之比值的极限等于r:
,
则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散.
定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
若正项级数满足, 则当r<1时级数收敛;
当r>1(或)时级数发散. 当r =1时级数可能收敛也可能发散.
定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设为正项级数, 如果
,
则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散.
例5 证明级数
是收敛的.
解 因为,
根据比值审敛法可知所给级数收敛.
例6 判别级数的收敛性.
解 因为,
根据比值审敛法可知所给级数发散.
例7 判别级数的收敛性.
解 .
这时r=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.
因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.
解 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.
提示: , 比值审敛法失效.
因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.
定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于r:
,
则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散.
定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
若正项级数满足, 则当r<1时级数收敛;
当r>1(或)时级数发散. 当r=1时级数可能收敛也可能发散.
定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设为正项级数, 如果
,
则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散.
例8 证明级数是收敛的.
并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差.
解 因为,
所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.
以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为
+
.
例6判定级数的收敛性.
解 因为
,
所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.
定理6(极限审敛法)
设为正项级数,
(1)如果, 则级数发散;
(2)如果p>1, 而, 则级数收敛.
例7 判定级数的收敛性.
解 因为, 故
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
例8 判定级数的收敛性.
解 因为
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
二、交错级数及其审敛法
交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的.
交错级数的一般形式为, 其中.
例如, 是交错级数, 但不是交错级数.
定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数满足条件:
(1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2),
则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un+1.
定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数满足: (1); (2),
则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un+1.
简要证明: 设前n项部分和为sn.
由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及
s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n
看出数列{s2n}单调增加且有界(s2n|x0|的一切x使这幂级数发散.
定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑anxn当x=x0 (x00)时收敛, 则适合不等式
|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑anxn当
x=x0时发散, 则适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散.
提示: ∑anxn是的简记形式.
证 先设x0是幂级数的收敛点, 即级数收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有, 于是存在一个常数M, 使
| anx0n |M(n=0, 1, 2, ).
这样级数的的一般项的绝对值
.
因为当|x|<|x0|时, 等比级数收敛, 所以级数收敛, 也就是级数绝对收敛.
简要证明 设∑anxn在点x0收敛, 则有anx0n0(n) , 于是数列{anx0n}有界, 即存在一个常数M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ).
因为 ,
而当时, 等比级数收敛, 所以级数∑|anxn|收敛, 也就是级数∑anxn绝对收敛.
定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.
推论 如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得
当|x|R时, 幂级数发散;
当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散.
收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=R处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一.
规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+, 这时收敛域为(-, +).
定理2
如果, 其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径
.
定理2
如果幂级数系数满足, 则这幂级数的收敛半径
.
定理2
如果, 则幂级数的收敛半径R为:
当r0时, 当r=0时R=+, 当r=+时R=0.
简要证明: .
(1)如果01即时级数发散, 所以收敛半径为.
提示: .
例5 求幂级数的收敛域.
解 令t=x-1, 上述级数变为.
因为 ,
所以收敛半径R=2.
当t=2时, 级数成为, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为, 此级数收敛. 因此级数的收敛域为-2t<2. 因为-2x-1<2, 即-1x<3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3).
三、幂级数的运算
设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R, R)内收敛, 则在(-R, R)与(-R, R)中较小的区间内有
加法: ,
减法: ,
设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(-R, R)及(-R, R)内收敛, 则在(-R, R)与(-R, R)中较小的区间内有
加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn ,
减法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn .
乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+
+(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+
性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.
如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R](或[-R, R))连续.
性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式
(xI ),
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式
(|x|
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