自考 概率论与数理统计 冲刺串讲 考前老师划重点

第一章 随机事件及其概率1 事件的关系与运算必然事件：随机试验全部结果构成的集合。不可能事件： 一般事件A：若A、B为两事件 若，则其蕴含：“A发生导致B发生”。若，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。若 A-B=A，则AB=；若 AB=A，则；若ABA，则BA。若为n个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如等等。例1 事件发生等于“至少有1个发生”。2常用概率公式（1），（2）若，则（3）；当，则（4）（5）（6）若两两互不相容，则（7）若相互独立，则例2 设则 3古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A：取到两个白球；B：一白一红球，求（1）无放回抽样：（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次注：若设X为两次有放回取球中取到白球数，则，从而4条件概率（1）若，则，其中A为任一事件。（2）乘法公式： （其中）例4 箱中有两白球、三红球，表第次取到白球，则P（“前两次取到白球”）P（“第一次取到白球，第二次取到红球”）（3）全概率公式：设是一完备事件组（或的一个划分），即：，（即诸互不相容）且，则对任一事件A有（4）Bayes公式 例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有个次品的概率如下（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。解：（1）设事件是恰有个次品的一批产品，则由题设设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有由全概率公式，即得（2）由Bayes公式，所求概率分别为5事件的独立性（1）定义：A、B相互独立等价于（2）若相互独立，则有（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例6 袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、红、白）的概率解：设表第次抽到的白球，则所求为（4）在n重贝努利（Bernoulli）试验中，若每次试验事件A发生的概率为，即，则事件A发生K次的概率为例7 一射手对同一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.8，求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。解：由于每次射击相互独立，故本题可视为的贝努利试验，其中（1）设：“4次射击恰命中两次”，则（2）设B：“4次射击中至少命中一次”，表“4次皆未命中”，则第二章 随机变量及其概率分布1 离散型随机变量例1 设，则2常见离散型随机变量（1）01分布：设，则应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数，其中例2 设某射手的命中率为p，X为其一次射击中击中目标的次数，则X（2）二项分布：设X，则应用背景：n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X，其中为事件A在一次抽样中发生的概率。例某射手的命中率为0.8，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为，即X记住：若X，则,（3）泊松（Poisson）分布若则称X服从参数的泊松分布，且，记X，应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。另外，当Y，且n很大，P很小时，令，则例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则X，由于n很大，p很小，令则（1）（2）3随机变量的分布函数：X的分布函数为，的性质：若，则，例5 设X的分布函数，其中，则b=_.解：由知（因为）由，及题设时，故综上有，即例6 设X的分布函数求解：4 连续型随机变量若，其中任意，则称X为连续型随机变量。此时，；其中 为X的概率密度，满足（注意与分布律的性质：相对照）例7 设X的概率密度为，则c=_解：由知，故5常见连续型随机变量（1）均匀分布：设X，则，例8 设X，且，则a=_解：易知且，即 解得（2）指数分布设，则，应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。例9设X为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率（设X）解：由题意所求为（3）正态分布，设，则，特别，当时，称服从标准正态分布，其密度函数记为分布函数记为常用公式：若，则， *若，则6.简单随机变量函娄的概率分布例10 设 ，求的概率分布。解：由题设，X的可能值为，故的可能值为而故例11 设X，求的分布密度函数解：先求Y的分布函数：，当；当时再求Y的分布密度函数 故第三章 多维随机变量及其概率分布1 二维随机变量的分布函数X的分布函数Y的分布函数2 离散型的分布律 （与比较）例设的分布律为求（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）由知解得（2）（3）（4） （5）3 连续型的分布密度设D为平面上的区域，为的分布密度，则其满足：特别，若X，Y相互独立，则有，其中分别为X的边缘分布函数和分布密度，分别为Y的边缘分布函数和分布密度。4常见二维连续型分布（1）平面区域D上的均匀分布：设D的面积为，服从D的均匀分布，则的分布密度为例2 设，即D为xy平面上的单位园域，则，设服从D上的均匀分布，则其 *解：设具有D上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则，其中表示A与D公共部分的面积。例3 （续例2）求解：（2）二维正态分布 *，设具有该分布，则其概率密度为*此时X的边缘密度，即 故Y的边缘密度，即Y，故，P为X，Y的相关系数，可知当时，即X，Y相互独立，这是一个重要结论：在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。另外，可知 *例4 设X，Y，两者相互独立，求的分布密度解：由相互独立知 第四章 随机变量的数字特征1 单个随机变量的期望例1 设 ，则例2 设X的分布密度为，则2 单个随机变量函数的期望设X为随机变量，是普通函数，则是随机变量，且 *例3 设X的分布如例1，求的期望解：例4 设X的分布密度如例2，求的期望解：当（其中）时，即为X的方差例4 设则 ，（方差大者，取值分散）注：是重要常用公式例5 设随机变量X具有概率密度，求DX解：因是分段函数，故求时也要随之分段积分于是3函数的期望设是普通函数，则是随机变量，其数学期望EZ等于例6 设分布律为 ，则例 设的分布密度，则 当时，其中，则是X，Y的协方差，即 （重点）当时，其中 *为X，Y的相关系数期望的重要性质（1） （常数）（2）（3） 推广：（4）若X，Y相互独立，则方差的重要性质（1），其中c为常数（2）特别（3）若X，Y相互独立，则 （4）例 设X，Y相互独立，且，则协方差的运算性质：（1）（2），其中a，b为常数（3）（4）若X，Y相互独立，则，从而，即X与Y不相关注：一般地，若X，Y独立，则X，Y必不相关（即）；反之不真，即X，Y不相关推不出X，Y独立。重要特例是：若为正态分布，则X，Y独立等价于X，Y不相关（即）例 设的分布律为 ，求解：易知 故，, ， *例 设，则 *例 设为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是_（选择题）（A）X，Y独立 （B） （C）（D）解法1（排除法）：排除（A），因X，Y独立不相关（故非充要条件）；排除（B），这一等式成立不需任何条件；排除（D），由服从正态分布及知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选（C）解法2（直接证明）：当时，故X，Y不相关；反之亦然。 第五章 大数定律与中心极限定理1 贝努利大数定律贝努利大数定律：设，为A在n次观测中发生的频率，则对任给的正数有2 中心极限定理设相互独立，同分布，从而它们有相同的期望和相同的方差，其中为标准正态分布函数注：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当n很大时近似某正态分布，为了便于查表近似计算，将标准化（从而标准化后其近似分布）故上述随机变量的分布函数，即在应用中心极限定理，大多用上式的形式更进一步的特别场合为：若相互独立同分布时，上式化为这一式子在应用也较为常用例1 计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量，且都服从，求300个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。解：易知第i个加数的误差满足：，故故所第六章 统计量及其抽样分布1设总体则其样本相互独立，同分布，n为样本容量从而 例1 设总体X，则从而其样本的联合密度函数为2常见统计量常见统计量：设总体为X，为其样本，不含任何未知参数的样本的函数称为统计量（1）样本均值，这结论对任何总体都成立。进一步的，若总体X，则，从而（2）样本方差，（3）若总体X，则有与相互独立，且 *（4）若总体X与总体Y相互独立，与分别为其样本，X，Y，其中，则进一步的，若，则有其中3.关于分布的密度曲线及分位数（1）分布若，则，从而而F分布的密度曲线与上图相似。（2）分布若，则t分布的密度曲线关于y轴对称，故有例 设总体，是容量n的样本均值，求解：由总体，知，故 ，例 设总体X，为其样本，则证明：即 第七章 参数估计1矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设X为总体，为其样本则的矩估计 的矩估计 例1 设总体，其中皆未知，为其样本，求的矩估计解：因为，故 ，故例2 设总体，未知，求的矩估计解：因为，故（矩法方程），由此解得，即为的矩估计例3 设总体，其中，未知为其样本，求P的矩估计解：由，故P的矩估计2极大似然估计设总体X，具有概率密度函数， 其中为未知参数，其变化范围为，为其样本，则似然函数为若存在使，则称为的极大似然估计一般求法：由题设，求出的表达式取对数： *求导并令其等于0，建立似然方程 *解之即得的极大似然估计例4 设是总体X的样本，总体概率密度为求 的矩估计和极大似然估计解：（1）由 解得为之矩估计（2）似然函数 * 解得的极大似然估计例5 设总体X，为其样本，求的极大似然估计解： 由于按常规方法建立的似然方程无解，故用极大似然估计的定义解之设欲使似然函数达最大，取即可注3估计量的评价标准（1）无偏性：若，则为的无偏估计（2）有效性：若、皆为之无偏估计，且D，则称较有效（3）相合性：若的估计量满足，则称为之相合估计4参数的区间估计设总体，为其样本则的置信度的区间估计为（1）已知时；（2）未知时；（见书中P.162表）例6 设总体，且，则的0.95置信区间为注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表第八章 假设检验1 假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的例1 设总体，其中未知，为其样本试在显著性水平下检验假设；这里，即为小概率事件的概率，当真时，则 即事件即为小概率事件，当它发生时，即认为原假设不真，从而接受对立假设2 两类错误以例1为例，上述的取值完全由样本所决定，由于样本的随机性，假设检验可能犯以下两类错误：第一类错误：（拒真），也即检验的显著性水平第二类错误：（接受不真）（接受真）在样本容量n固定时，相互制约，当减小时，的值会增大，反之亦然。3正态总体参数的假设检验（1）首先要会判断所讨论问题是否为假设检验问题例2 从一批灯泡中随机抽取50个，分别测得其寿命，算得其平均值（小时），样本标准差（小时），问可否认为这批灯泡的平均寿命（）为2000小时。分析：本题中虽然没说总体（寿命）服从什么分布，但由于样本容量，可按正态总体处理，“可否认为平均寿命为2000小时”等价于作检验（2）检验问题主要是对提出的假设检验确定出检验的拒绝域，这可参考指定教材第八章正态总体检验一览表。第九章 回归分析本章只是简述了一元线性回归分析若因变量Y与可控变量x具有线性关系，即回归分析的目的之一就是要通独立样本求出的点估计，以建立关于Y与x的线性回归方程由最小二乘法，可得的点估计为可以证明，它们都是未知参数的无偏估计更详细的例子请参考例91