自考 概率论与数理统计 冲刺串讲 考前老师划重点

上传人:仙*** 文档编号:28739040 上传时间:2021-09-09 格式:DOC 页数:29 大小:1.29MB
返回 下载 相关 举报
自考 概率论与数理统计 冲刺串讲 考前老师划重点_第1页
第1页 / 共29页
自考 概率论与数理统计 冲刺串讲 考前老师划重点_第2页
第2页 / 共29页
自考 概率论与数理统计 冲刺串讲 考前老师划重点_第3页
第3页 / 共29页
点击查看更多>>
资源描述
第一章 随机事件及其概率1 事件的关系与运算必然事件:随机试验全部结果构成的集合。不可能事件: 一般事件A:若A、B为两事件 若,则其蕴含:“A发生导致B发生”。若,这表示A发生时,B必不发生,反之亦然。若 A-B=A,则AB=;若 AB=A,则;若ABA,则BA。若为n个事件,由它们的运算可产生诸多新事件,如等等。例1 事件发生等于“至少有1个发生”。2常用概率公式(1),(2)若,则(3);当,则(4)(5)(6)若两两互不相容,则(7)若相互独立,则例2 设则 3古典概型古典概型:当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时,任一事件A的概率为例3 从五个球(其中两个白球、三个红球)中任取两球,设A:取到两个白球;B:一白一红球,求(1)无放回抽样:(2)有放回抽样:每次有放回的取一球,连取两次注:若设X为两次有放回取球中取到白球数,则,从而4条件概率(1)若,则,其中A为任一事件。(2)乘法公式: (其中)例4 箱中有两白球、三红球,表第次取到白球,则P(“前两次取到白球”)P(“第一次取到白球,第二次取到红球”)(3)全概率公式:设是一完备事件组(或的一个划分),即:,(即诸互不相容)且,则对任一事件A有(4)Bayes公式 例5 某工厂生产的产品以100个为一批,在进行抽样检查时,只从每批中抽取10个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品是不合格的,设每批产品中的次品最多不超过4个,并且恰有个次品的概率如下(1)求各批产品通过的概率;(2)求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。解:(1)设事件是恰有个次品的一批产品,则由题设设事件A是这批产品通过检查,即抽样检查的10个产品都是合格品,则我们有由全概率公式,即得(2)由Bayes公式,所求概率分别为5事件的独立性(1)定义:A、B相互独立等价于(2)若相互独立,则有(3)有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例6 袋中有3白球,2个红球,今有放回的抽取3次,求先后抽到(白、红、白)的概率解:设表第次抽到的白球,则所求为(4)在n重贝努利(Bernoulli)试验中,若每次试验事件A发生的概率为,即,则事件A发生K次的概率为例7 一射手对同一目标独立射击4次,每次射击的命中率为0.8,求:(1)恰好命中两次的概率;(2)至少命中一次的概率。解:由于每次射击相互独立,故本题可视为的贝努利试验,其中(1)设:“4次射击恰命中两次”,则(2)设B:“4次射击中至少命中一次”,表“4次皆未命中”,则第二章 随机变量及其概率分布1 离散型随机变量例1 设,则2常见离散型随机变量(1)01分布:设,则应用背景:一次抽样中,某事件A发生的次数,其中例2 设某射手的命中率为p,X为其一次射击中击中目标的次数,则X(2)二项分布:设X,则应用背景:n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X,其中为事件A在一次抽样中发生的概率。例某射手的命中率为0.8,X为其5次射击中命中目标的次数,则X取的可能值为,即X记住:若X,则,(3)泊松(Poisson)分布若则称X服从参数的泊松分布,且,记X,应用背景:偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布,如某地的降雨的次数,车祸发生的次数等等。另外,当Y,且n很大,P很小时,令,则例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005,任取1000件,计算解:设X表任取的1000件产品中的次品数,则X,由于n很大,p很小,令则(1)(2)3随机变量的分布函数:X的分布函数为,的性质:若,则,例5 设X的分布函数,其中,则b=_.解:由知(因为)由,及题设时,故综上有,即例6 设X的分布函数求解:4 连续型随机变量若,其中任意,则称X为连续型随机变量。此时,;其中 为X的概率密度,满足(注意与分布律的性质:相对照)例7 设X的概率密度为,则c=_解:由知,故5常见连续型随机变量(1)均匀分布:设X,则,例8 设X,且,则a=_解:易知且,即 解得(2)指数分布设,则,应用背景:描述电子元件,某类动物的寿命,或服务时间等。例9设X为某类电子元件的寿命,求这类元件已经使用t时,仍能正常工作的概率(设X)解:由题意所求为(3)正态分布,设,则,特别,当时,称服从标准正态分布,其密度函数记为分布函数记为常用公式:若,则, *若,则6.简单随机变量函娄的概率分布例10 设 ,求的概率分布。解:由题设,X的可能值为,故的可能值为而故例11 设X,求的分布密度函数解:先求Y的分布函数:,当;当时再求Y的分布密度函数 故第三章 多维随机变量及其概率分布1 二维随机变量的分布函数X的分布函数Y的分布函数2 离散型的分布律 (与比较)例设的分布律为求(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)由知解得(2)(3)(4) (5)3 连续型的分布密度设D为平面上的区域,为的分布密度,则其满足:特别,若X,Y相互独立,则有,其中分别为X的边缘分布函数和分布密度,分别为Y的边缘分布函数和分布密度。4常见二维连续型分布(1)平面区域D上的均匀分布:设D的面积为,服从D的均匀分布,则的分布密度为例2 设,即D为xy平面上的单位园域,则,设服从D上的均匀分布,则其 *解:设具有D上的均匀分布,A为平面上的某一区域,则,其中表示A与D公共部分的面积。例3 (续例2)求解:(2)二维正态分布 *,设具有该分布,则其概率密度为*此时X的边缘密度,即 故Y的边缘密度,即Y,故,P为X,Y的相关系数,可知当时,即X,Y相互独立,这是一个重要结论:在正态分布的场合:不相关等价于相互独立。另外,可知 *例4 设X,Y,两者相互独立,求的分布密度解:由相互独立知 第四章 随机变量的数字特征1 单个随机变量的期望例1 设 ,则例2 设X的分布密度为,则2 单个随机变量函数的期望设X为随机变量,是普通函数,则是随机变量,且 *例3 设X的分布如例1,求的期望解:例4 设X的分布密度如例2,求的期望解:当(其中)时,即为X的方差例4 设则 ,(方差大者,取值分散)注:是重要常用公式例5 设随机变量X具有概率密度,求DX解:因是分段函数,故求时也要随之分段积分于是3函数的期望设是普通函数,则是随机变量,其数学期望EZ等于例6 设分布律为 ,则例 设的分布密度,则 当时,其中,则是X,Y的协方差,即 (重点)当时,其中 *为X,Y的相关系数期望的重要性质(1) (常数)(2)(3) 推广:(4)若X,Y相互独立,则方差的重要性质(1),其中c为常数(2)特别(3)若X,Y相互独立,则 (4)例 设X,Y相互独立,且,则协方差的运算性质:(1)(2),其中a,b为常数(3)(4)若X,Y相互独立,则,从而,即X与Y不相关注:一般地,若X,Y独立,则X,Y必不相关(即);反之不真,即X,Y不相关推不出X,Y独立。重要特例是:若为正态分布,则X,Y独立等价于X,Y不相关(即)例 设的分布律为 ,求解:易知 故,, , *例 设,则 *例 设为连续型,则X与Y不相关的充分必要条件是_(选择题)(A)X,Y独立 (B) (C)(D)解法1(排除法):排除(A),因X,Y独立不相关(故非充要条件);排除(B),这一等式成立不需任何条件;排除(D),由服从正态分布及知X,Y独立,从而不相关,但并非正态场合才有这一结论故选(C)解法2(直接证明):当时,故X,Y不相关;反之亦然。 第五章 大数定律与中心极限定理1 贝努利大数定律贝努利大数定律:设,为A在n次观测中发生的频率,则对任给的正数有2 中心极限定理设相互独立,同分布,从而它们有相同的期望和相同的方差,其中为标准正态分布函数注:中心极限定理的含义是:大量随机变量的和近似正态分布,即当n很大时近似某正态分布,为了便于查表近似计算,将标准化(从而标准化后其近似分布)故上述随机变量的分布函数,即在应用中心极限定理,大多用上式的形式更进一步的特别场合为:若相互独立同分布时,上式化为这一式子在应用也较为常用例1 计算机进行加法计算时,设所取整误差是相互独立的随机变量,且都服从,求300个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。解:易知第i个加数的误差满足:,故故所第六章 统计量及其抽样分布1设总体则其样本相互独立,同分布,n为样本容量从而 例1 设总体X,则从而其样本的联合密度函数为2常见统计量常见统计量:设总体为X,为其样本,不含任何未知参数的样本的函数称为统计量(1)样本均值,这结论对任何总体都成立。进一步的,若总体X,则,从而(2)样本方差,(3)若总体X,则有与相互独立,且 *(4)若总体X与总体Y相互独立,与分别为其样本,X,Y,其中,则进一步的,若,则有其中3.关于分布的密度曲线及分位数(1)分布若,则,从而而F分布的密度曲线与上图相似。(2)分布若,则t分布的密度曲线关于y轴对称,故有例 设总体,是容量n的样本均值,求解:由总体,知,故 ,例 设总体X,为其样本,则证明:即 第七章 参数估计1矩法估计:矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设X为总体,为其样本则的矩估计 的矩估计 例1 设总体,其中皆未知,为其样本,求的矩估计解:因为,故 ,故例2 设总体,未知,求的矩估计解:因为,故(矩法方程),由此解得,即为的矩估计例3 设总体,其中,未知为其样本,求P的矩估计解:由,故P的矩估计2极大似然估计设总体X,具有概率密度函数, 其中为未知参数,其变化范围为,为其样本,则似然函数为若存在使,则称为的极大似然估计一般求法:由题设,求出的表达式取对数: *求导并令其等于0,建立似然方程 *解之即得的极大似然估计例4 设是总体X的样本,总体概率密度为求 的矩估计和极大似然估计解:(1)由 解得为之矩估计(2)似然函数 * 解得的极大似然估计例5 设总体X,为其样本,求的极大似然估计解: 由于按常规方法建立的似然方程无解,故用极大似然估计的定义解之设欲使似然函数达最大,取即可注3估计量的评价标准(1)无偏性:若,则为的无偏估计(2)有效性:若、皆为之无偏估计,且D,则称较有效(3)相合性:若的估计量满足,则称为之相合估计4参数的区间估计设总体,为其样本则的置信度的区间估计为(1)已知时;(2)未知时;(见书中P.162表)例6 设总体,且,则的0.95置信区间为注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表第八章 假设检验1 假设检验的基本思想:小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的例1 设总体,其中未知,为其样本试在显著性水平下检验假设;这里,即为小概率事件的概率,当真时,则 即事件即为小概率事件,当它发生时,即认为原假设不真,从而接受对立假设2 两类错误以例1为例,上述的取值完全由样本所决定,由于样本的随机性,假设检验可能犯以下两类错误:第一类错误:(拒真),也即检验的显著性水平第二类错误:(接受不真)(接受真)在样本容量n固定时,相互制约,当减小时,的值会增大,反之亦然。3正态总体参数的假设检验(1)首先要会判断所讨论问题是否为假设检验问题例2 从一批灯泡中随机抽取50个,分别测得其寿命,算得其平均值(小时),样本标准差(小时),问可否认为这批灯泡的平均寿命()为2000小时。分析:本题中虽然没说总体(寿命)服从什么分布,但由于样本容量,可按正态总体处理,“可否认为平均寿命为2000小时”等价于作检验(2)检验问题主要是对提出的假设检验确定出检验的拒绝域,这可参考指定教材第八章正态总体检验一览表。第九章 回归分析本章只是简述了一元线性回归分析若因变量Y与可控变量x具有线性关系,即回归分析的目的之一就是要通独立样本求出的点估计,以建立关于Y与x的线性回归方程由最小二乘法,可得的点估计为可以证明,它们都是未知参数的无偏估计更详细的例子请参考例91
展开阅读全文
相关资源
正为您匹配相似的精品文档
相关搜索

最新文档


当前位置:首页 > 办公文档


copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 装配图网版权所有   联系电话:18123376007

备案号:ICP2024067431-1 川公网安备51140202000466号


本站为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。装配图网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知装配图网,我们立即给予删除!