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高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 共50道高一数学 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0x 且x ）的图象是下图中的（ ） A.B.C.D.【答案】C 【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象 【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx0，排除B，D 当 时，y=cosxtanx0，排除A故选：C【分析】根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案=2.若，都是锐角，且 ，则cos=（ ） A.B.C.或 D.或 【答案】A 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：，都是锐角，且 ， cos= = ，cos（）= = ，则cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）= + = ，故选：A【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cos=cos（）的值=3.设 为锐角，若cos = ，则sin 的值为（ ） A.B.C.D.【答案】B 【考点】二倍角的正弦 【解析】【解答】 为锐角，cos = ， ， = = 则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。=4.sin15sin105的值是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】sin15sin105=sin15cos15= sin30= ， 故答案为：A【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。=5.已知向量 =（1，cos）， =（1，2cos），且 ，则cos2等于（ ） A.1B.0C.D.【答案】B 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，二倍角的余弦 【解析】【解答】解：由向量数量积的性质可知， =12cos2=0即cos2=0cos2=0故答案为：B【分析】由两向量垂直时，两向量的数量积为零，可得到12cos2=0，根据二倍角的余弦公式可得cos2=0.=6.=（ ） A.B.C.- D.- 【答案】A 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：sin =sin = ， 故选：A【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果=7.在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】C 【考点】两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】解析：2cosBsinA=sinC=sin（A+B）sin（AB）=0， 又B、A为三角形的内角，A=B答案：C【分析】在ABC中，总有A+B+C=，利用此关系式将题中：“2cosBsinA=sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题=8.设角的终边经过点P（3，4），那么sin+2cos=（ ） A.B.C.D.【答案】C 【考点】任意角的三角函数的定义 【解析】【解答】解：由于角的终边经过点P（3，4），那么x=3，y=4，r=|OP|=5， sin= = ，cos= = ，sin+2cos= ，故选C【分析】根据任意角的三角函数的定义求得sin= 和cos= 的值，从而求得sin+2cos 的值=9.等于（ ） A.1B.1C.D.【答案】C 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：sin =sin（504+ ）=sin = ， 故选：C【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值=10.已知sin+cos=-， ， 则tan的值是（） A.-B.-C.D.【答案】B 【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】因为sin+cos=-， 又sin2+cos2=1，所以sin=， cos=， 所以tan=故选B【分析】通过平方关系式与已知表达式，求出sin，cos，即可得到结果=11.（2015安徽）已知函数f（x）=Asin（+）（A,均为正的常数）的最小正周期为，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是 A.f（2）f（-2）f（0）B.f（0）f（2）f（-2）C.f（-2）f（0）f（2）D.f（2）f（0）f(-2)【答案】A 【考点】三角函数值的符号，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】由题意f（x）=Asin（+）（A,均为正的常数），T=,所以=2，f（x）=Asin（),而当x=时解得=,kz时，要比较f（2），f（-2），f（0）的大小，所以f（2）f（-2）f（0）【分析】对于三角函数比较大小的问题，先得出三角函数解析式，然后比较解析式进行判断，得出函数图像特征进行判断。=12.已知向量 =（cos，sin）， =（1，2），若 ，则代数式 的值是（ ） A.B.C.5D.【答案】C 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，同角三角函数间的基本关系，三角函数的化简求值 【解析】【解答】解：向量 =（cos，sin）， =（1，2），若 ， 可得：sin=2cos= =5故选：C【分析】利用共线向量的关系，求出正弦函数与余弦函数的关系，代入所求表达式求解即可=13.若sin（+A）= ，则cos（ A）的值是（ ） A.B.C.D.【答案】C 【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：sin（+A）=sinA= sinA= cos（ A）=cos（+ A）=cos（ A）=sinA= 故答案选C【分析】先通过诱导公式求出sinA的值，再通过诱导公式化简cos（ A）进而求值=14.下列各式中，值为 的是（ ） A.B.C.D.【答案】C 【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】 ， ， ， ， 故答案为：C【分析】利用二倍角的正与、余弦公式求逐一求出结果即可。=15.已知sin2= ，则cos2（ ）=（ ） A.B.C.D.【答案】B 【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦 【解析】【解答】sin2= ，cos2（ ）= 故答案为：B【分析】借助二倍角的余弦公式整理化简原有的代数式，代入数值求出结果即可。=16.设，为锐角，且sin = ，cos = ，则+的值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：，为锐角，+（0，），sin = ，cos = ， cos= = ，sin= = ，cos（+）=coscossinsin= = ，故+= ，故选：C【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos、sin的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（+）=coscossinsin的值，结合+的范围，可得+的值=17.已知 ，3sin2 =2cos ，则 等于（ ） A.B.C.D.【答案】C 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】 ，3sin2 =2cos ，sin = ，cos = ， 故答案为：C【分析】首先由题意借助角的取值范围再结合同角三角函数的关系式sin2 + cos 2 =1求出cos 的值，再由诱导公式的公式求出结果即可。=18.设 为第四象限的角，cos = ，则sin2 =（ ） A.B.C.D.【答案】D 【考点】二倍角的正弦 【解析】【解答】 为第四象限的角，cos = ，sin = = ，则sin2 =2sin cos = ， 故答案为：D【分析】由同角三角函数的关系=1求出sin 的值，再结合二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。=19.已知 则cos(+)的值为（ ） A.- B.- C.D.【答案】B 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】因为 ， ，所以 ， ，又因为 ， ，所以 ， ，故 ，故答案为：B.【分析】根据已知角的取值范围分别得出+、+的取值范围，再借助两角和差的正弦公式以及同角三角函数的关系式求出对应的正弦和余弦值，整理要求的cos ( + )运用整体思想求出结果。=20.的值为（ ） A.B.C.D.【答案】D 【考点】二倍角的正弦 【解析】【解答】 = 故答案为：D【分析】利用二倍角的正弦公式分子分母同时乘以需要的正弦值整理化简原有的代数式即可求出结果。=21.已知当 时，函数y=sinx+acosx取最大值，则函数y=asinxcosx图象的一条对称轴为（ ） A.B.C.D.【答案】A 【考点】两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的对称性 【解析】【解答】解：当 时，函数y=sinx+acosx取最大值， 解得： ， ， 是它的一条对称轴，故选A【分析】由题意知当 时，函数y=sinx+acosx取最大值，把值代入表示出最大值，求出a的值，把求出的值代入三角函数式，表示出对称轴，得到结果=22.已知cos（ ）+sin= ，则sin（+ ）的值是（ ） A.B. C. D.【答案】B 【考点】两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】解：cos（ ）+sin= cos+ sin= sin（+ ）= ，sin（+ ）= ，则sin（+ ）=sin（+ ）= ，故答案为：B【分析】由两角差的余弦公式进行化简可得sin（+）=，根据三角形诱导公式可得答案.=23.如图圆C内切于扇形AOB，AOB= ，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【考点】几何概型，扇形面积公式 【解析】【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r， 试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为C的面积=r2 ， 连接OC，延长交扇形于P由于CE=r，BOP= ，OC=2r，OP=3r，则S扇形AOB= = ；C的面积与扇形OAB的面积比是 概率P= ，故选C【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与P的面积比=二、解答题（共20题；）=24.（2015北京卷）已知函数（1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最小值 【答案】（1）解： 的最小正周期为；（2）解： 因为， 所以当时，f(x)取得最小值为：【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【分析】先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为 f ( x ) = A sin ( x + ) + m 形式，再利用周期公式 T = 2 / 求出周期，第二步由于 - x 0 ,则可求出 - 3 / 4 x + /4 /4 ,借助正弦函数图像找出在这个范围内当 x + /4 = - /2 ,即 x = - 3 /4 时， f ( x ) 取得最小值为： .=25.化简： 【答案】解：原式= =1 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】根据诱导公式化简计算即可=26.已知角 为第三象限角， ,若 ，求 的值. 【答案】解： ，从而 ，又 为第三象限角，则 ，即 的值为 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】由题意利用三角函数值的诱导公式“奇变偶不变符号看象限”对原式进行化简，再结合同角三角函数的基本关系式求出 cos 的值。=27.已知是第三象限角，且f（）= （1）化简f（）；（2）已知cos（）=， 求f（）的值 【答案】解：（1）已知是第三象限角，f（）=cos（2）cos（）=sin=，sin=，f（）=sin=+5= 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】（1）由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简可得所给式子的值，可得结果（2）由条件利用诱导公式求得sin=， 由此可得f（）=sin的值=28.已知sin= ，求 的值 【答案】解：sin= ， 原式= =sin= 【考点】三角函数的化简求值，运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，约分后将sin的值代入计算即可求出值=29.若sin(-)=， 求cos(-)的值 【答案】解：sin（）=，cos（）=cos（+）=cos（+）=sin（+）=sin（）= 【考点】诱导公式的作用 【解析】【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值=30.已知向量 =（ ，2）， =（sin（ +2x），cos2x）（xR）设函数f（x）= （1）求 的值； （2）求f（x）的最大值及对应的x值 【答案】（1）解： ，（2）解： = 当 ，即当 时， 【考点】平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象 【解析】【分析】（1）根据f（x）= 得到函数f（x）的解析式，然后把x= 代入解析式即可；（2）根据两角和与差的正弦函数公式对函数进行整理，再结合三角函数在闭区间上的最值讨论即可得到函数的值域=31.已知sin=， 求cos2的值； 【答案】解：已知sin=，cos=1-sin2=【考点】二倍角的余弦 【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得要求式子的值=32.已知 为锐角且 . （1）求tan 的值； （2）求 的值 【答案】（1）解： ， ，即 ，解得tan = .（2）解： = = =cos +sin . 为锐角且tan = ，sin = ，cos = ，可得cos +sin = 【考点】两角和与差的正切函数，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)根据题意利用两角和的正切公式展开求出tan 即可。(2)利用两角和的正弦公式展开再结合二倍角的余弦公式整理化简得到cos +sin ，借助(1)的结果求出sin 、cos 的值，故而得出结果。=33.已知cos=， 且为第三象限角（1）求sin的值；（2）求f（）=的值 【答案】解：（1）cos=，且为第三象限角sin=（2）f（）= 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】（1）由已知及同角三角函数关系式即可求sin的值（2）由诱导公式化简后代入（1）的结果即可求值=34.求值：sin45cos15cos45sin15 【答案】解：sin45cos15cos45sin15=sin（4515）=sin30= 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【分析】直接利用两角差的正弦得答案=35.（2015湖南）设的对边分别为且为锐角，问：（1）证明： B - A =，（2）求 sin A + sin C 的取值范围 （1）（1）证明：（2）（2)求的取值范围 【答案】（1）证明：由 a = b tan A , 及正弦定理，得 sin A /cos A = a /b = sin A/ sin B 所以 sin B = sin ( /2 + A), 又 B 为锐角.因此 /2 + A ( / 2 , )，故 B = /2 + A 即 B - A = /2.（2）【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用，正弦定理 【解析】【解答】（1）由及正弦定理，得所以又为锐角.因此， 故即（2）由(1)知，所以， 于是=因为所以,由此可知的取值范围是【分析】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.=36.已知 ，且 = （1）求tan 的值； （2）求 的值 【答案】（1）解： ，sin = ，cos = = ，tan = = （2）解：sin = ，原式 【考点】同角三角函数基本关系的运用，二倍角的余弦 【解析】【分析】(1)由题意结合角的取值范围利用条件三角函数的关系式求出cos 的值代入到正切公式中求出值即可。(2)利用二倍角的余弦公式整理原式代入数值求出结果即可。=37.设函数 ，其中02； （）若f（x）的最小正周期为，求f（x）的单调增区间；（）若函数f（x）的图象的一条对称轴为 ，求的值 【答案】解：（）f（x）= sin2x+ =sin（2x+ ）+ T=，0， ，=1令 ，得 ，所以f（x）的单调增区间为： （） 的一条对称轴方程为 ， 又02， k=0， 【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【分析】（）利用辅助角公式将f（x）= sin2x+ 化为：f（x）=sin（2x+ ）+ ，T=，可求得，从而可求f（x）的单调增区间；（）由f（x）的图象的一条对称轴为 ，可得到： ，从而可求得= k+ ，又02，从而可求得=38.已知角终边上一点P（4，3 ），求 【答案】解：角终边上一点P（4，3 ）， tan= = ； = = = =tan= 【考点】任意角的三角函数的定义，三角函数的化简求值 【解析】【分析】根据定义求出tan的值，再化简题目中的代数式并代入求值=39.已知函数f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（xR，m为常数），其最大值为2 （）求实数m的值；（）若f（）= （ 0），求cos2的值 【答案】解：（）函数f（x）=4sinxcos（x+ ）+m（xR，m为常数）， 化简可得：f（x）=4sinxcosxcos 4sin2xsin +m=sin2x2 sin2x+m=sin2x+ cos2x +m=2sin（2x+ ） +m最大值为2即2 +m=2，可得m= （）由f（）= （ 0），即2sin（2+ ）= sin（2+ ）= 0 2+ cos（2+ ）= ；那么cos2=cos（2 ） =cos（2+ ）cos +sin（2+ ）sin = 【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象 【解析】【分析】（）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，求出最大值，令其等于2，可得实数m的值（）f（）= （ 0）带入计算，找出等式关系，利用二倍角公式求解即可=40.如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，CPQ周长为2 （1）求PQ的最小值； （2）试探究求PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由 【答案】（1）解：设CPQ=，则CP=PQcos，CQ=PQsin （ ） （2）解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设Q（x，1），P（1，y），设DAQ=，PAB= ，即xy+（x+y）=1又tan=x，tan=y ， 【考点】两角和与差的正弦函数，两角和与差的正切函数，正弦函数的定义域和值域 【解析】【分析】（1）根据CPQ周长为2，并且CPQ是直角三角形，设CPQ=，根据三角函数的定义，CP=PQcos，CQ=PQsin，因此可以表示出 ，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出PAQ的正切值，即可求得结果=41.已知向量v=（sinx，1）， =（sinx，cosx+1） （I）若 ，求所有满足条件的向量 、 的坐标；（II）若函数f（x）= ，x ， ，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值 【答案】解：（I）由 ，得sinx（cosx+1）=sinx， sinxcosx=0，又sin2x+cosx2=1，解得 或 所以满足条件的向量 ， 有 =（0，1）， =（0，2）或 =（0，1）， =（0，0）或 =（1，1）， =（1，1）或 =（1，1）， =（1，2）（II）函数f（x）= =sin2x+cosx+1=cos2x+cosx+2，x ， ，cosx0，1，令cosx=t，则f（x）的解析式可化为f（t）=t2+t+2=（t ）2+ ，t0，1，故当t= ，即x= 时，函数f（x）取得最大值，最大值为 【考点】平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【分析】（）根据向量平行得到sinx（cosx+1）=sinx，再根据又sin2x+cosx2=1，解得sinx，cosx，即可得到所有满足条件的向量 、 的坐标，（）根据向量的数量积公式，和同角的三角函数的关系，利用换元法，根据二次函数的性质即可求出=42.已知cos= ，cos（）= ，且0 ， （1）求tan2的值； （2）求 【答案】（1）解：由 ，得 ，于是 （2）解：由0 ，得 ， 又 ， 由=（）得：cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）= 所以 【考点】三角函数值的符号，三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦函数 【解析】【分析】（1）欲求tan2的值，由二倍角公式知，只须求tan，欲求tan，由同角公式知，只须求出sin即可，故先由题中cos的求出sin 即可；（2）欲求角，可通过求其三角函数值结合角的范围得到，这里将角配成=（），利用三角函数的差角公式求解=43.化简：【答案】解：=2 【考点】诱导公式的作用 【解析】【分析】直接利用诱导公式化简，即可求出表达式的值即可=三、填空题（共7题；）=44.已知 ， ，则 _ 【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】【解答】 ， ， ， ，又 ， ， .【分析】由题根据所给条件，运用差角公式展开，两边平方，结合同角三角函数基本关系式及所给角的分计算即可.=45.ABC中，若 sin（-A）=， tan（+B）=，则cosC _ 【答案】【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】由 sin（-A）=得sinA= ，由 tan（+B）=得tanB= ，所以B为锐角，且 sinB=，cosB=，又sinAsinB 。所以 也为锐角cosA= ，故cosC=-cos（A+B）=-cosA+sinAsinB= .【分析】由题根据所给条件结合角的范围分别计算其对应的正弦、余弦，然后根据角的范围得到对应的三角函数值，结合三角形内角和性质运用和角公式计算即可.=46.化简 _ 【答案】【考点】两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦 【解析】【解答】 【分析】整理化简原有的函数式利用两角和差的正弦函数公式以及二倍角的正弦公式代入化简即可得出结果。=47.已知 ，且 ，则 _. 【答案】【考点】同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切 【解析】【解答】因为 ，且 ，所以 ， .【分析】根据题意借助同角三角函数的关系式求出正弦值，再结合二倍角的正切公式代入数值求出结果即可。=48.计算： =_ 【答案】1 【考点】三角函数的化简求值，两角和与差的正切函数 【解析】【解答】解：tan60= ， = =tan（6015）=tan45=1故答案为：1【分析】由tan60= ，利用两角差的正切公式，即可求出答案来=49.已知 ，且 ，则 的值为_ 【答案】【考点】两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦 【解析】【解答】 ，由 ，平方得 ，得 ， ，由于 ， ，代入得 .【分析】根据题意利用二倍角的余弦公式以及两角和差的正弦公式整理原式化简，再把原有的代数式两边平方结合同角三角函数的基本关系求出sin 2 ，进而得到sin+cos的值。=50.已知sin（ +x）= ，则sin2x的值为_ 【答案】 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦 【解析】【解答】解：sin（ +x）=sin cosx+cos sinx= （sinx+cosx）= ， sinx+cosx= ，两边平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x= ，解得：sin2x= 故答案为： 【分析】已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sinx+cosx的值，两边平方并利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x值 Page 24 / 24
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