毕业设计（论文）基于MATLAB的航空故障电弧的仿真分析

基于MATLAB的航空故障电弧的仿真分析摘 要随着航空工业的发展，航空电气系统的复杂性逐渐提高，这使得对系统的可靠性有了更高的要求。因此，及时发现故障并采取相应的措施，尽量减小故障对飞机性能的影响，是提高飞机可靠性的重要条件。其中，故障电弧的存在就是影响航空电力设备稳定运行的一个潜在因素，所以检测故障电弧是必要的。 航空故障电弧作为一种低压故障电弧，具有一般故障电弧的特征，每半个周期都存在 “电流零区”。但也具有自身的特殊性，即持续时间短、电流强度小、电弧波形复杂、电弧电源频率为400Hz等特点。从而使得以此为基础，来讨论电弧电流零点的检测情况。故障电弧的随机性，使得很难用传统的方法进行检测。长期以来，傅立叶变换是研究函数奇异性的主要工具，但是它缺乏空间局部性，只能确定函数奇异性的整体特性，不能确定奇异点在空间的位置和分布情况。而小波变换具有空间局部化性质，可利用它来分析信号的奇异性以及奇异性的位置和奇异度的大小。本文首先利用航空故障电弧的电压电流波形，并对故障电弧基本特征经行了理论分析。然后选取合适的小波基函数，运用Matlab软件中的小波分析，将故障电弧电流信号分解，从分解后的数据中提取出特征参量。关键词：航空；故障电弧；小波分析；MATLAB- I -基于MATLAB的航空故障电弧的仿真分析Aviation arc fault simulation analysis based on MATLABAbstract With the development of the aviation industry, aviation electrical system gradually increases complexly, which requires higher system reliability. Therefore, the timely detection of failures and corresponding measures to minimize the failure impact on the performance of the aircraft is an important condition for the aircraft to improve the reliability. And the existence of arc fault often effects the stable operation of air power equipment. Therefore, the arc fault detection is necessary.AS a low-voltage arc fault, Air Arc Fault has the general characteristics of arc fault, and there are current zero-area in each half cycle. But it also has its own particularity, that is, short duration, current strength of the small, complex waveforms arc, arc power supply frequency of 400Hz and so on. It makes a basis to discuss the detection of zero arc current situation. However, Arc Faults randomness makes it difficult to use traditional methods for testing. As a long time, the Fourier transform function is the main tools to study the singularity, but for lacking of partial space, it can only determine the singularity of the overall nature of a function, not the location and distribution of the singular points in space. While, with the localized nature of space, Wavelet transform can be used to analyze the singularity of signal, as well as the location and the size of the singularity.In this paper, it uses air arc faults voltage and current waveforms to theoretically analysis the basic characteristics of arc fault. And then it selects the appropriate wavelet basis function. After that it decomposes the arc fault current signal with the wavelet analysis in Matlab software, and extractes feature parameters from the data.Key Words：Aviation; Arc Fault; Wavelet Analysis; Matlab software- IV -目 录摘 要IAbstractII引 言11 航空电气系统的故障电弧21.1 航空电气系统概述21.2 航空电气系统故障电弧的分类31.3 故障电弧的形成41.3.1 电弧的形成41.3.2 直流电弧及熄灭51.3.3 交流电弧及熄灭61.4 航空故障电弧的仿真71.5 航空故障电弧特性分析81.5 故障电弧检测的难点91.6 本章小结92 小波分析理论102.1 小波变换的由来102.1.1 小波变换与傅里叶变换的比较102.2 小波变换的分类112.2.1 连续小波变换(Continuous wave1et Transform-CWT)112.2.2 离散小波变换132.2.3 多分辨率分析142.2.4 小波包152.3 几种常用的小波172.4 本章小结203 基于小波变换的航空故障电弧的分析203.1 信号的小波变换模极大值原理及奇异性检测原理203.2 基于小波变换的航空故障电弧检测213.2.1 整体思路213.2.2 小波基的选取213.2.3 离散小波变换分解故障电弧243.2.4 小波包变换分解故障电弧303.3 故障电弧特征提取323.3.1 故障电弧仿真分析323.3.2 仿真结果分析353.3 本章小结35结 论36参 考 文 献37致 谢39基于MATLAB的航空故障电弧的仿真分析引 言基于MATLAB的航空故障电弧的仿真分析，是在了解航空电气系统中故障电弧的种类和特点基础上，用MATLAB对航空故障电弧进行处理分析。首先，通过电弧理论中电弧的产生原理，燃弧和熄灭过程，及对航空故障电弧的电压电流波形的研究，我们知道航空故障电弧作为一种低压故障电弧，除具有一般故障电弧的特征，也具有自身的特殊性。航空故障电弧每半个周期都存在电流接近为零的区域，即“电流零区”，并且它的时间宽度是随机变化的。航空故障电弧自身的特点是电弧持续时间短；电流强度小；电弧波形复杂；电弧电源频率为400Hz。针对这些特性我们知道，对航空故障电弧故障点的检测，即对故障电弧电流零点的检测，这是信号的间断、奇异性变化。因此我们要找到一种可以检测这种局部变化的工具，来检测信号奇异点，即电流零点。故障电弧具有随机性，这使得传统的时域和频域方法都难以有效地对故障电弧信号进行分析。小波变换适合对小信号和突变信号进行分析，将其应用于故障电弧检测，可以有效提取电弧特征，准确判断故障电弧的发生。小波变换是时间和频率的局域变换，能有效地从信号中提取瞬态突变信息，通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多困难。将小波变换运用于故障电弧检测能有效地捕捉故障电弧的特征，作出正确的判断。小波理论是在傅立叶级数的基础上发展起来的。小波分析方法是一种窗口大小固定但形状可变，时间窗和频率窗都可改变的时频的局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被称为“数学显微镜”。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。因此，掌握小波函数的特性的情况下，首先根据分解信号的特点选择合适的小波基函数。本文对各种常用小波函数的参数性质，包括正交性，正则性，支撑长度，消失矩等进行了比较，我们选择应用广泛，性质好的Daubechies小波作为小波基。在此基础上，结合故障电弧的特点，及实际的分析结果，确定选用db3。在利用db3小波进行的各个层次的分解中，通过分解结果的比较，我们获得4层分解效果较好。因此，我们确定了对故障电弧用db3小波进行4层分解，以此准确找出故障电弧的电流零点。另外，还以小波包为工具对故障电弧的电压和电流波形进行了分析，加强对离散小波变换分析的肯定。1 航空电气系统的故障电弧1.1 航空电气系统概述航空电气系统是由供电系统、用电设备和输配电系统组成。飞机供电系统是现代飞机的一个重要组成部分，它的作用是保证飞机上所有用电设备的正常工作。在飞机上，根据用电设备对电能类型及其用电量的具体需求，供电系统有直流供电系统和交流供电系统两大类型；用电设备分为直流用电设备和交流用电设备；配电系统，将电源产生的电能传输和分配到飞机各用电设备上去。随着现代飞机任务和功能的急剧扩大，特别是近年来多电飞机和全电飞机的出现，用电设备日益增加，这就要求配电系统要更加的可靠、自动化和可扩展。随飞机设备与用电量的的增长，直流供电系统的电压不断提高。但是由于100V以上直流开关的电弧问题，绝大部分仍为低压直流供电系统，其额定电压值为28V，飞机供电系统高压直流供电也在研究中，研制成功高压直流供电系统，其额定电压值为270V。交流供电系统最主要的基本电气参数是额定电压与频率，相数和相位。目前飞机交流供电系统广泛采用 115/200V、400Hz恒速恒频三相交流供电系统，额定相电压为115V，线电压为200V。交流供电系统一般采用三相结构，相位差，并采用三相四线制，中线接地，即接飞机机壳体。飞机供配电系统工作需满足以下技术要求：(l)高可靠：在飞机正常和应急工作状态下，配电系统应具有将电能从电源传输到设备的高可靠性；(2)低故障：个别电源(发电机)发生故障或导线断开、短路时，配电系统仍能保持连续工作的能力，并能限制故障的发展，将故障产生的影响限制在最小范围之内；(3)轻质量：对于低压直流电网，电压低，电流大，导线粗，减轻电网质量更需采取必要措施；(4)易维护：易于安装、检查、维修和维护方便；(5)抗干扰：要采取滤波和屏蔽设施，减少对电子和通信设备的电磁干扰。航空电气系统的结构和控制方法日趋复杂，控制范围日益扩大，控制精度日益提高。随着系统复杂性的提高，对系统的可靠性提出了更高的要求。及时发现故障并采取相应的措施，尽量减小故障对飞机性能的影响，是提高飞机的可靠性的重要条件。1.2 航空电气系统故障电弧的分类电孤是一种能量集中、温度高、亮度大的持续气体放电现象。这样大的能量在很短的时间内几乎全部变成热能，造成电弧及其附近区域强烈的物理、化学变化。电弧是一种自持放电现象，只要很低的电压就能维持电弧稳定燃烧而不熄灭。其实，电弧是很难产生和持续燃烧的，除非有一个导电通道或电极之间有松弛接触。当绝缘破损、老化或电源线误接时，导线之间就可能产生泄漏电流或火花放电，它们产生的热量就可能使绝缘裂解，在导线之间形成导电的碳化通道。产生足以引起电弧的导电通道可能需要很长时间，几个月甚至几年。在低压系统中，产生碳化通道是引起电弧的一个很重要的原因。电弧有时由电气松弛连接导致，当电气线路在其接点处松弛接触，接点间的电压足以击穿间隙空气，形成空气导电。如接点间空隙稍大，又恰逢电压波动峰值，会在空气间拉起电弧；如果接点间隙很小，即使在电压不大的情况下空气也可能被击穿而产生电弧。故障电弧的产生不是存在一个“金属性”短路，其产生的原因可以是不同电位导体之间由于导电杂质而形成跨接，或者是电器元件和用电线路上的绝缘的损坏或老化造成。当用电设备或者用电线路由于老化、腐蚀、机械应力破坏等因素，造成用电设备或者用电线路的损坏时，亦可以在破损处发生空气气体放电，而产生电弧，甚至造成火灾等电气安全事故。美国联邦航空管理局(FAA)指出电气故障是无数飞机事故的主要问题，也认为电气故障是造成安全问题和飞机不能准时起飞的重要原因。在引起这些事故的电气原因中，电弧故障是主要的原因之一。故障电弧根据电弧产生的位置可分为三类：串联故障电弧、并联故障电弧以及接地故障电弧。(1) 串联故障电弧：它是由电极之间的松弛连接造成的，例如导线断裂，导线与插座连接处接触不良等。串联电弧能导致局部过热,这有很大的危害。由于串联回路的阻抗负载限制，电弧电流一般低于正常负载电流。因此，串联电弧中电流是根据负荷而确定的。串联电弧能量远低于并联电弧能量，较并联电弧更难检测。在飞机上，串联电弧一半都是由振动引起接触不良或接触断开形成的间歇性故障电弧，导致导线过热，接触端发烫而引发火灾，是主要的潜在火灾危险。图1.1 串联故障电弧 (2) 并联故障电弧：它是发生在相线与中性线或相线与相线之间，由于导体绝缘破坏等原因引起，是一种短路电弧。在航空电气系统中，并联电弧主要由电缆绝缘损坏和电缆捆扎造成绝缘破坏露出导体产生。但是由于故障电弧电压的限制，电弧电流很小而不能使传统的故障电流保护器动作，也不能使常规的热保护器动作，因此并联电弧一般比串联电弧更危险。图1.2 并联故障电弧 (3)接地故障电弧：它是指相线与地、接地的金属管道或设备外壳间产生的电弧短路故障。接地故障电弧只有当存在接地回路的时候才会发生，在双回路或者不存在接地回路的场合不会发生，在存在接地回路和接地外壳的时候接地故障电弧经常会发生。在以飞机壳体作为接地的飞机中，接地故障电弧常发生在相线与机壳之间。图1.3 接地故障电弧1.3 故障电弧的形成1.3.1 电弧的形成(l)电弧的形成导体在接触后的分离时，当距离达到一定程度时候，接触面积缩小，接触处的电流密度逐渐增大，接触电阻和触头中放出的热量就增加。因而此处的金属强烈发热。及至极限状态、即仅剩一个点接触时，接触面积减至最小，电流密度非常巨大，电阻和温升剧增。以至触头随仍闭合，热量却集中在很小的体积中，金属被加热到高温而熔化。在触头之间形成液态金属桥，金属桥内热量高度集中，使其温度达到材料沸点，并随即发生爆炸形式的金属桥断裂过程，形成间隙。金属桥刚断裂时，一部分变成蒸气进入触头间隙中，炽热的金属表面加剧了电子的热发射；同时，触头开始分离时距离很小，触头间的电场强度很高，阴极表面将产生场致电子发射。这两种电子发射使得大量电子进入触头间隙，它们在电场作用下，通过电场电离使触头间隙中产生更多的电子和正离子。其中一部分正离子和电子在触头间隙中复合，放出的能量以光的形式进行辐射。结果热辐射促使气体电离，气体的导电率越来越大，在触头之间形成过渡的或稳定的电弧。(2)电弧的组成部分电弧在阴极和阳极之间稳定燃烧时，电弧压降沿电弧长度并非均匀分布，电弧电压包括阴极区电压降、阳极区电压降和弧柱电压降。电弧的两个电极:阴极和阳极，可认为是电弧的组成部分。电弧形成时，阴极表面有一块或若干块光度特别强的区域-阴极斑点。在电弧电流本身磁场作用下，此斑点在阴极表面不断移动，并发射电子。临近斑点的一段极短的电弧区称为近阴极区。在阴极附近聚集着大量的正离子，形成正空间电荷，使阴极附近的电位有一个较大的跃变，称为阴极电压降。在阳极表面也有阳极斑点，它接受来自电弧间隙的电子，其附近也称为近阳极区。在阳极附近则聚集着大量的电子，形成阳极电位降。两近极区之间的一段电弧是弧柱，它几乎占有电弧的全部长度。弧柱内的气体已全部电离（但同时在进行消电离），且正负带电粒子电量相等，所以是等离子区。因此，弧柱是由高温、电离了的气体形成的充满了带电粒子的等离子体。另外，由于不存在空间电荷，弧柱区近似于金属电阻，它的电位沿轴线均匀分布，电位梯度几乎不变，所以弧柱内的电场强度近乎恒值。按照近极区压降和弧柱压降在电弧电压中所占比例的不同，可以将电弧分为短弧和长弧。电极间距离很小，以致弧柱压降可以忽略不计的电弧是短弧，电极间距离比较长，弧柱压降远远大于近极压降的电弧是长弧。1.3.2 直流电弧及熄灭对于含电阻R、电感L的直流电路，当其中触头间隙内产生电弧时，若以U表示电源电压，i表示电弧电流，电压平衡方程为 (1.1)如图电弧的伏安特性， U-iR为连接纵轴上的点U与横轴上的点I=U/R的、斜率为的线段，它们与伏安特性交于A、B两点，是电路在有电弧时的两个工作点。其中B点是稳定燃烧点，即电路的稳态工作点。要消灭电弧，就必须消除稳定电弧点。其中消除稳定电弧点的方法有：拉长电弧或对其实行人工冷却；增大近极区电压降增大弧柱电场强度；增大弧柱电场强度等。图1.3 直流电弧燃弧点及熄灭条件1.3.3 交流电弧及熄灭就直流电弧而言，只要电弧电流等于零即可认为它已经熄灭，除非弧隙被过电压重新击穿。交流则不然，其电流会自然过零。在此后同时有两个过程进行着，一为介质恢复过程；另一为弧隙电压恢复过程。若介质强度恢复速度始终高于电压恢复速度，弧隙内的电离必然逐渐减弱，最终使弧隙变成完全绝缘状态，电弧也不会重燃。否则弧隙中的电离将逐渐加强，以至带电粒子浓度超过某一定值，电弧重燃。因此，交流电弧熄灭与否视电弧电流过零后介质恢复过程是否超过电压恢复过程而定。交流电弧电流自然过零时，弧隙介质恢复过程便已开始，但是近阴极区和弧柱区恢复过程有所不同。近阴极区的介质恢复过程：电弧电流过零后，弧隙两端的电极立即改变电性。在新的近阴极区内外，电子的运动速度为正离子的成千倍，故它们于刚改变极性时即迅速离开而移向新的阳极，在此处仅留下正离子。新阴极是原来的阳极，附近正离子不多，难以在新阴极表面产生场致发射以提供持续的电子流。另外，新阴极在电流过零前后的温度已降低到热电离温度以下，亦难以借热发射提供持续的电子流。因此，电流过零后，只需经过0.1-1us，即可在近阴极区获得150-250V的介质强度。弧柱区的介质恢复过程：电弧电流自然过零前后的数十微妙内，电流近乎等于零，这段时间称为零休时间。由于热惯性的影响，零休期间电弧电阻并非无穷大，而是因灭弧程度不同呈现不同的量值。弧隙电阻非无穷大意味着弧隙内尚有残留的带电离子和它们形成的剩余电流，故电源仍向弧隙输送能量。当后者小于电弧散出的能量时，弧隙内温度降低，消电离作用增强，弧隙电阻不断增大，直至无穷大，即弧隙变成具有一定强度的介质，电弧也将熄灭。反之，若弧隙取自电源的能量大于其散出的能量，电弧电阻迅速减小，剩余电流不断增大，使电弧重燃。这就是热击穿。但是热击穿存在与否不是交流电弧能否熄灭的唯一条件。当弧隙两端的电压足够高时，仍可能将弧隙内的高温气体击穿，重新燃弧，这称为电击穿。因此，交流电弧电流自然过零后的弧柱介质恢复过程大抵可分为热击穿和电击穿两个阶段。交流电弧的熄灭条件：在零休期间，弧隙的输入能量恒小于输出能量，因而无热积累；在电流过零后，恢复电压又不足以将已形成的弧隙介质击穿。弧隙电压的恢复过程：电弧电流过零后，弧隙两端的电压将由零或反向电弧电压上升到此时的电源电压。电压的这一上升过程称为电压恢复过程。电压恢复过程进展情况与电路参数有关。分断阻性电路时，电弧电流与电源电压同相，故电流过零时电压亦为零。分断感性电路时，电流滞后电源电压约，故电流过零时电源电压恰为幅值。分断电容性电路时，因电流超越电源电压约，电流过零时电源电压也处于幅值。因为交流电弧的熄灭条件是在零休期间不发生热击穿，同时在此之后弧隙介质恢复过程总是胜过电压恢复过程，即不发生电击穿。电流经过零点时，弧隙的输入能量也就等于零，电弧的温度下降，给熄弧创造了有利条件。同时，在电流自然过零熄弧时，交流电弧的能量比直流电弧的能量要小的多。因此，交流电弧的熄灭比直流电弧要容易的多。在电力系统中，大多数开关电器是用于交流电路的，为此，研究交流电弧的熄灭原理是有重要意义的。由于交流电路中电流要经过零点，在电流过零期间，电弧的输入功率为零，这就给交流电弧的熄灭创造了非常有利的条件。交流开关电器利用交流电流的这一特点来熄灭电弧，使电路开断。1.4 航空故障电弧的仿真采用Matlab软件中的Simulink工具，建立了故障电弧的仿真模型，对航空电气系统故障电弧的产生进行了模仿，以此得到故障电弧电压和电流的波形，为后面的分析提供依据。此模块包括交流电压源（电压=208V，频率=400HZ），电阻（R=10），电弧模型及电压电流测量装置和示波器，如下图所示：图3.1 航空故障电弧仿真电路1.5 航空故障电弧特性分析故障电弧的电流特征(见图)主要有：图1.4故障电弧电流特征 (1)每半个周期都存在电流接近为零的区域，称为“电流零区”，这是由于电弧在电流过零前后存在一个熄灭和重燃的过程；但“电流零区”的时间宽度是随机变化的；(2)由于“电流零区”的存在，使得电流每半个周期都有突变，且突变也是随机的；(3)电弧的发生时断时续，没有周期性，故故障电弧的电流含有高次噪声。除了以上特征，电弧通常还是零星的、间歇的。对于串联故障电弧，由于电弧上存在压降，所以有电弧时的回路电流通常比无电弧时要小。由于故障电弧发生位置的未知性，并且数值较小，所以电弧电压不适合在实际中用作判断依据，在这里不考虑。(2)航空电气故障电弧自身的特点:电弧持续时间短；电流强度小；电弧波形复杂；电弧电源频率为400Hz。1.5 故障电弧检测的难点故障电弧的随机性成为检测的难点，还因为需要区别一些特殊负荷以及插拔电器等操作产生的类似电弧信号。很多飞行器负载和正常操作表现出与故障电弧及其相似的信号波形，如飞机电机启动，电气设备的启停，电源切换，负载变化等等，利用时域或频域方法都难以很好地将它们区分，这使得故障电弧很难用传统的方法进行检测。本文应用小波变换对故障电弧进行分析，以此检测故障点，并对电弧信号和非电弧信号加以区别。1.6 本章小结本章通过电弧理论中电弧产生原理，燃弧和熄灭过程，研究航空故障电弧的电流波形，并对故障电弧基本特征经行了理论分析。航空故障电弧作为一种低压故障电弧，同样具有一般故障电弧的特征，但也具有自身的特殊性。从而使得以航空故障电弧的特征为基础，来讨论电弧电流零点的检测情况。2 小波分析理论2.1 小波变换的由来小波变换（Wavelet Transform）的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet在分析处理地球物理勘探提出的。小波变换的基础是19世纪的傅里叶变换，其后理论物理学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。1985年，法国数学家Y.Meyer第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。1988年，比利时女数学家I.Daubechies证明了紧支撑正交标准小波基的存在性并成功的构造了它，使离散小波分析成为可能。1989年，S.Mallat提出多分辨率概念，统一了在此之前各种构造小波的方法，特别是提出了二进离散小波变换的快速算法，使小波变换走向实用性。小波理论是在傅立叶级数的基础上发展起来的。傅立叶级数是指任何函数都可表示为三角函数的无穷级数，傅立叶级数是一种微积分变换。根据这一原理，可把某种信号转变为时间与频率的加和，根据需要选取某种频率进行变换，达到分离或合成的效果，这就是著名的傅立叶变换。但是，傅立叶变换侧重于整体变换，对局部处理不敏感，因此诞生了小波理论。小波理论的基础是傅立叶变换，但是小波对于局部变化敏感，因此采用小波理论来对信号进行处理获得所需的信号。小波变换是傅立叶变换的变种，目的是为了适用于局部变化的处理。研究函数变化的过程中，为把变化的各相区分出来，就可通过小波变换实现。小波分析方法是一种窗口大小固定但形状可变，时间窗和频率窗都可改变的时频的局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被称为“数学显微镜”。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。小波变换在很多领域得到了不同程度的应用与发展尤其是在信号处理方面得到了广泛的应用。原因在于小波是基于级数而且具有很高分辨率的函数，而信号正是具有与其相似的特征，因此小波成为研究信号处理的最“天然”的工具。2.1.1 小波变换与傅里叶变换的比较对小波分析方法和傅里叶变换进行比较，可显示小波变换的特长所在：(l)傅立叶变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到以为正交基的空间上；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到小波函数所构成的空间上。两者的离散化形式都可以实现正交变换，都满足时域的能量守恒定律。(2) 傅立叶变换的基函数为三角函数，具有唯一性；小波变换所用到的小波函数具有多样性。(3)在频域分析中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分较简单的确定信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，但在时域中，它没有局部化能力，无法从信号f(t)傅里叶变换F(w)中看出f(t)在任何一时间点附近的性态。因此，小波变换在对瞬态信号的分析中拥有更大的优势。(4)在小波分析中，尺度a的值越大相对于傅立叶变换中w越小。(5)短时傅里叶变换，变换系数主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗确定，分辨率也就固定了。而小波变换中，变换系数随依赖于信号在时间窗内的情况，但时间宽度随尺度a的变化而变化，所以小波变换有时间局部的分析能力。因此，小波变换也可以看成是信号局部奇异性分析的有效工具。(6)若信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换的不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率w无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽正比于中心频率w，即，C为常数；这称之为等Q结构。它适应了对低频信号分析时，频域用高频分辨率，对高频信号分析时，频域用低频分辨率。(7)从框架角度来说傅里叶变换是一种非常冗余的正交框架，而小波变换却可以实现冗余的非正交非紧框架。2.2 小波变换的分类2.2.1 连续小波变换(Continuous wave1et Transform-CWT)小波分析的基本思想也是用一族函数去表示或逼近一信号或函数，这一族函数称为小波函数系，它是通过一基本小波函数的平移和伸缩构成的，用其变换系数即可描述原来的信号。小波函数系表示的突出特点是它的时宽带宽乘积很小，且在时间和频率轴上都很集中。小波（wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限（紧支集）或快速衰减，且均值为零的波形。小波函数的确切定义为：设为一平方可积函数，即，若其傅里叶变换满足条件： (2.1) 则称为一个基本小波或小波母函数。（1）为小波函数的可容许条件。将小波母函数进行伸缩和平移，得到函数 (2.2) 其中a为伸缩因子，b为平移因子。连续小波变换的定义：将任意空间的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换(Continuous wave1et Transform-CWT)，其表达式为： （2.3）若采用的小波满足容许条件，则连续小波变换存在着逆变换，逆变换的公式： (2.4)连续小波变换的性质:(1)线性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。(2)时移不变性：若f(t)的小波变换为，则的小波变换为。(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为，则f(ct)的小波变换为，c0。(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。(5)冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面:由连续小波变换恢复原信号的重构方式不是唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与反变换是一一对应的。小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。连续小波变换在不同的(a，)之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难。因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。2.2.2 离散小波变换为了减少小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数的a，b限定在一些离散点上进行取值。尺度离散化a=，位移离散化b=n，则 (2.5) 离散小波变换DWT定义为： (2.6)在实际中，为了使小波变换能够对信号的频谱二分化，一般取=2，=1。因此得到小波，m,nZ，成为二进小波。二进小波只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。为了在尺度及位移均离散化时能够重建原始信号，必须引入小波框架的概念。小波框架的定义是:当基本小波基经伸缩和位移引出的函数族，m,nZ具有下述性质时：当时，便称是小波框架，并称上式为小波框架条件，其频域表示为：，。如果离散小波序列构成了一个框架，其上下界分别为A和B，则当A=B时(称为紧框架)，离散小波变换的逆变换由下式给出：；当AB，但两者比较接近时，重建公式近似为：。研究表明，只有A=B=1时，框架变成正交基，此时经框架变换后的信息无任何冗余，但其他情况下，框架并不正交，具有一定的相关性。离散小波和连续小波的区别:连续小波变换是一种冗余变换，它对复杂信号的分析不仅含有信号本身的关联，还包含小波变换本身的某些关联。小波空间的性质强烈地依赖于小波函数的类型，也与参数s和的取值有关，对尺度和位移参数的不同离散化就会产生不同的小波变换。离散小波变换(尤其是离散正交小波变换)不会出现冗余，在一定程度上避免了因小波变换之间的关联而造成分析变换结果的困难，并利于对原始信号进行重构。因此，本文选用离散小波来对故障电弧信号进行处理分析。2.2.3 多分辨率分析连续小波变换和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在很多问题，因为两者都存在信息冗余，在对信号采样以后，需要计算的信息量相当大，尤其是连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都做计算，所以计算量相当的大。而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间没有正交性，各个分量的信息掺杂在一起，为我们的分析带来了不便。为此，S.Mallat于1988年在构造正交小波时提出了多分辨分析的概念，从函数分析的角度给出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，给出了通用的构造正交小波的方法，并将之前所有的正交小波基的构造统一起来，使小波理论产生突破性进展。多分辨率的概念是从函数空间的剖分上引入的。把平方可积函数看成是某一逐级逼近极限的情况，即每级逼近都是某一低通函数对f(t)做平滑的结果，在逐级逼近时平滑函数也做逐级伸缩，这就是多分辨率。空间中的多分辨分析是指满足如下性质的一个空间序列。(1)单调性：对任意，；(2)逼近性：，close；(3)伸缩性：；(4)平移不变性：Z，；(5)正交基存在性：存在，使得构成的正交基。即，。其中正交基存在性条件可放宽为Rieze基存在性，因为由Rieze可以构造出一组正交基来。必为子空间的标准正交基。由多分辨率的定义：，,对任意函数，我们可以将它分解为细节部分和大尺度逼近部分 ，然后将大尺度进一步分解。如此重复就可以得到任意尺度的逼近部分和细节部分。这就是多分辨率分析的框架。可分解为的直接和 （2.7）表示多分辩分解中的低频部分，表示高频部分。在对信号的分解过程中，多分辩分析只是对低频部分进行分解，而高频部分则不予考虑。分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辩率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。令代表分辩率为时对函数的逼近（即函数f(t)的低频部分），而代表逼近的误差（即函数f(t)的高频部分），此时有： （2.8）注意到f =，所以上式可简写为： （2.9）这表明，任何函数都可以根据分辩率为时f(t)的低频部分和分辩率为（1jN）下f(t)的高频部分完全重构，这也就是小波分析中著名的Mallat塔式重构算法的思想。 2.2.4 小波包小波包是小波概念的推广，简单的说就是一个函数族，由它们构造(R) 的规范正交基库。小波包(waveletPacket)分解是比小波分解更细致的频域分解方法。由给定的正交尺度函数和小波函数的二尺度关系式： （2.10） （2.11）式中、是多分辨率分析中的滤波器系数。进一步递推二尺度方程得 （2.12） （2.13）当n=0时，。以上定义的函数集合为所确定的小波。所以小波包是包括尺度函数和小波函数在内的具有一定联系的函数集合。小波包的正交性质：(1)平移正交性设函数族为标准正交小波基的尺度函数所生成的小波包，则它们具有平移正交性，即，。(2)，的正交关系设函数族为标准正交小波基的尺度函数所生成的小波包，则它们具有下面的正交关系：，为讨论小波包组成的空间，我们引入符号：，根据小波多分辨率可得 ，。推广到小波包有，因此。在小波多分辨率分析中，把(R)空间分解为子空间和，在小波分解中，将按二进制形式进行分解。因为n=0对应着小波分解，所以只考虑n=1，2，和j=1，2，所以得小波包分解的一般表达式：下图为分解过程：图2.1 小波包子空间分解2.3 几种常用的小波1.Haar小波Haar小波是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在范围内的单个矩形波。定义如下： (2.14)图2.2 Haar小波性质：（1）在时域上不是连续的，所以作为基本小波性能不是特别好；（2）计算简单；（3）不但与自己的整数位移正交，而且与 正交。因此，在的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一小波族。2.Daubechies（dbN）小波Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，一般写为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函数中的支撑区为2N-1，的消失矩为N，除N=1外，dbN不具对称性。dbN没有明确的表达式（N=1除外），但是转换函数h的平方模很明确。令，为二项式的系数，则有其中图2.3 Daubechies小波函数Daubechies（dbN）小波特点：(1)时域上是有限支撑的，即的长度是有限的。其高阶原点距，p=0-N-1，N越大，长度就越长；(2)在频域上在w=0处有N阶零点；(3)和它的整数位移正交归一，即；(4)小波函数可以有所谓的尺度函数求出来。尺度函数为低通函数，长度有限，支撑域在t=0,2N-1范围内。是的移位加权和：，N值不同，权重也不同。由于为有限支撑，所以求出来的也是有限支撑为2N-1，起于1-N处，终于N处。3 Mexican Hat（mexh）小波Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数，因为它的形状像墨西哥小帽的截面，所以称这个函数为墨西哥帽函数。它在时域和频域有很好的局部化，且不存在尺度函数，不具有正交性。4.Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函数系的主要特性体现在具有线性相位，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另一个小波函数进行重构。Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式，其中r表示重构(Reconstruction)，d表示分解(Decomposition)。Nr和Nd的组合形式为: Nr=l，Nd=l，3，5Nr=2，Nd=2，4，6，8Nr=3，Nd=l，3，5，7，9Nr=Nd=4Nr=Nd=5Nr=6，Nd=8。Biorthogonal小波的特性:具有双正交性，但不具有正交性，具有紧支集，可以进行连续小波变换(CwT)、离散小波变换(DwT)，还具有对称性，支集宽度对于重构为2Nr+l，对于分解为2Nd-l。5. Symlet(symN)小波它是Daubechies提出的近似对称的小波函数，是对db函数的一种改进，Symlet(symN)小波系数表示为symN（N=2,3,8）。symlets小波的特性：具有正交性、双正交性和紧支集，可以进行连续小波变换(CwT)、离散小波变换(DwT)，只具有近似对称性，支集宽度为2N-1。6. Coiflet(coif N)小波根据R.Coifman的要求,Daubechies构造了Coiflet(coif N)小波，它具有coif N（N=1,2,3,4,5）这一系列。Coiflet(coif N)小波函数的2N阶矩为零，尺度函数的2N-1阶矩为零，和的支撑长度为6N-1。Coifiet具有比dbN更好的对称性，从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，CoifN具有和db2N、sym2N相同的消失矩数目。Cniflet小波的特性：具有正交性、双正交性和紧支集，可以进行连续小波变换(CWT)、离散小波变换(DWT)，支集宽度为6N一l。2.4 本章小结本章在介绍小波变换较傅里叶变换优点的基础上，分类介绍了连续小波变换、离散小波变换，连续小波变换和离散小波变换的的比较及多分辨率和小波包。此外，文中对它们的特点的介绍，方便此后小波分析中小波变换方式的选择，并且对常用的几种小波函数，从性质上也给了很好的介绍。3 基于小波变换的航空故障电弧的分析3.1 信号的小波变换模极大值原理及奇异性检测原理信号中的奇异点及不规则的突变部分常带有重要的信息。比如，在故障诊断中，故障通常表现为输出信号发生突变，因而对突变点的检测在故障诊断中有着非常重要的意义。长期以来，傅立叶变换是研究函数奇异性的主要工具，其方法是研究函数在傅立叶变换域的衰减以推断函数是否具有奇异性以及奇异性的大小。但傅立叶变换缺乏空间局部性，它只能确定一个函数奇异性的整体性质，而不能确定奇异点在空间的位置和分布情况。而小波变换具有空间局部化性质，可利用它来分析信号的奇异性以及奇异性的位置和奇异度的大小。1991年后，小波变换广泛应用于图像处理中的边缘检测和信号处理中的尖峰探测。Mllat及其合作者建立了小波变换尺度域上的模极大值与相应奇异点lipschitz指数间的数值关系，奠定了小波变换定量分析信号奇异性的基础。该方法凭借幅值信息给出奇异点的lipschitz正则性。若函数在某处间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性；若函数f(t)在其定义域内有无限次导数，则称函数是平滑的或没有奇异性。一个突变的信号在其突变点必然是奇异的。信号的奇异性检测理论是用奇异性指数lipischitz 来刻划检测和识别信号的突变点。一个函数(或信号) 在某点的奇异性常用其奇异性指数lipischitz 来刻划。lipischitz 指数定义如下：设01，在点若存在常数K，对于的邻域t使得下式成立： K （2.15）则称函数（或信号）f(t)在点是lipischitz 的。如果=1，则函数f(t)在点是可微的，称函数f(t)没有奇异性；如果=0，称函数f(t)在点间断。越大，说明函数f(t)越接近规则，反之，越小，说明函数f(t)在点的变化越尖锐。用lipischitz 来刻划函数（或信号）的奇异性，其数值可通过小波变换模极大值在不同尺度的数值计算出来。小波变换模极大值定义如下：在尺度下，在的某一邻域，对于一切t均有 （3.27）则称点为小波变换的模极大值点，称为小波变换的模极大值。因此，若要检测一个信号f(t)的奇异点，只需对该信号进行小波变换，找出变换后的模极大值点，则该点即为信号的一个突变点。发生故障的信号必有奇异性，航空故障电弧经过小波变换，由模极大值原理可得，航空故障电弧的电流零区必有模极大值。因此，通过这个方法可以有效地找出故障点，提取故障电弧的特征参量。3.2 基于小波变换的航空故障电弧检测3.2.1 整体思路应用小波分析提取飞机故障电弧特征参量，首先要选取合适的小波基函数，然后运用Matlab软件中的小波分析函数命令，将故障电弧电流信号分解，从分解后经过得到的数据中提取出特征参量。3.2.2 小波基的选取基于小波变换的航空故障电弧检测的前提是选择合适的基本小波基函数。因为与Fourier变换不同，小波基不具有唯一性。Fourier变换不需要选择基波，而且其基波是规则的、可预测的；小波基波是不规则的，不同小波基波的波形差别很大，支撑范围和规则性都有着很大的差别。对同一个信号选用不同的小波基波进行信号处理，往往得到的结果差别较大，这必然影响最终的处理结果。因此最重要的是，结合各小波函数特点及信号特征，选择出适合分析飞机故障电弧的小波基函数。小波系数为如何选择小波基波提供依据。小波变换后的小波系数表明了小波与被处理的信号之间的相似程度，如果小波变换后的小波系数比较大，就表明小波和信号的波形相似程度比较大，反之则比较小。另外，还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小，如果小波变换仅仅要反映信号整体的、近似的特性，则往往选用较大的尺度；反映信号细小、细节上的变化选用尺度较小的小波。因此小波基的选择要根据小波的形状、支撑长度和规则性。为了更好的获得信号特征，对小波基有以下几点选择标准：(1) 正交性。正交性是指用小波函数基分析信号时的低频分解(重构)部分与高频分解(重构)部分正交。用正交小波基进行小波变换得到的各频带信号分别落在相互正交的子空间中，使各频段信号的相关性减小，消除了相邻时刻信号之间的关联；而选用非正交小波基函数对信号进行变换时，出现冗余，不利于故障点的判断。所以，应选择正交小波。(2)支撑长度。、的支撑区间，是当时间或频率趋向无穷大时，、从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波函数。大部分选择支撑长度为5-9的小波，因为支集太长会产生边界问题，支集太短使消失矩太低，不利于能量的集中。一般要求小波是紧支撑集。紧支小波函数的重要性在于它在数字信号的离散小波分解过程中可以提供系数有限的滤波器。(3)消失矩。小波函数 n阶消失矩的定义为：当小波函数是连续可微、具有紧支撑的实函数时，函数且(a，b)是R上的一个区间，令0a0，在区间(a+，b-)上一致于Lipschitz指数a，当且仅当存在常数A对x(a+，b-)和s0,有，并且仅当对所有的正整数kn,有。、的消失矩阶数，对于数据压缩和特征提取非常重要。消失矩越大，越多的小波系数为零，但支撑长度也越长。所以为了权衡定位的精确性和分析结果的可用性，选择能够识别i阶导数支集最短的小波。(4)正则性。正则性是函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量集中的度量，设O1，对于任意t, R，有则称的正则性阶数为。其中c是常数。若的N阶导数满足上式，且，则称的正则性阶数为。当（N为某一整数）时，具有N阶连续导数。其中正则性阶数越大，越光滑，频域的能量越集中，信号分解的结果也越好正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。正则性是小波选择的一个重要标准，正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。(5)实小波与复小波的选择。复函数的小波变换虽然可以同时得到不同尺度下信号的幅值和相位信息，但是其计算复杂，不容易使用快速算法实现。实小波的小波变换结果虽然只能得到实系数，但已足够可以反映信号中的尖峰与间断点。因此，选择实小波。我们的目的是提取出故障电弧的特征参量。从小波理论我们可以知道，电弧电流信号突然发生熄灭和复燃时，细节系数的模最大值出现在电流零区。也就是说，在一个频率范围内，熄灭和复燃的细节系数达到最大值。常用的几个小波函数有：Haar小波，Daubechies (db)小波族，SymletsA(sym)小波族，Gaussian小波族，Morlet小波，MexicanHat小波，Meyer小波等。Daubechies系列小波基是典型的具有紧支光滑的正交小波基，其中双正交Biorthogonal小波基系列，Coiflets小波基系列，Symlets小波基系列，都是由Daubechies小波基系列推广、引伸得到的，而Haar小波基就是Daub1小波基。以Daubechies小波基系列作为分析的小波基，其结果具有代表性。其中小波的参数性质比较如下：小波函数名称小波系数正交性双正交性正则性支撑长度消失矩Haar实数有有非连续11Daubechies实数有有连续2N-1Nsymlets实数有有连续2N-