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椭圆的基本知识例题习题 1椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) . 2.椭圆的标准方程：（0） （0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m0，n0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法. 例2. 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程4.范围. x2a2，y2b2，|x|a，|y|b椭圆位于直线xa和yb围成的矩形里5.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心6.顶点 只须令x0，得yb，点B1(0,b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y0，得xa，点A1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点椭圆有四个顶点：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b)椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴长b叫做椭圆的短半轴长|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a在RtOB2F2中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b27.椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。（2）对于离心率e，因为ac0，所以0e1，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。（3）观察下图，所以，所以椭圆的离心率e = cosOF2B2例3 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值例4.已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程练习。 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程8.直线与椭圆： 直线：（、不同时为0） 椭圆：那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下， （1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为，可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。例5 已知椭圆（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；练习。 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程 椭圆练习题一选择1.椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A4B2 C8 D2.已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( ) A -1k0 C k0 D k1或kb0)的一个顶点作圆x2y2b2的两条切线，切点分别为A，B，若AOB90(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为_9.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，三解答题1设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？2.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程3.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程4已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4.若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线yx2相切，求椭圆C的焦点坐标；.5.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长x+bxb6.已知函数f（x）=loga（a0，a1，b0）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）讨论f（x）的单调性，并证明
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