抛物线及其标准方程 (2)

抛物线及其标准方程 嘉祥一中高二、一科数学组 喷泉 球在空中运动的 轨迹是抛物线规律 , 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢 ? 二 次 函 数 2 ( 0 )y a x b x c a 又到底是一条怎样的 抛物线 ? 抛物线及其标准方程 ( 一 ) C M F l e=1 H 在平面内 ,与一个定点 F 和一条定直线 l(l不经过点 F) 的 距离相等 的点的轨迹叫 抛 物线 . 点 F叫抛物线的 焦点 , 直线 l 叫抛物线的 准线 d 为 M 到 l 的距离 准线 焦 点 d 即 : 若 1MF d , 则 点 M 的 轨迹 是 抛 物 线 . 那么如何建立坐标系 , 使抛物线的方程更简 单 , 其标准方程形式怎样 ? 一、抛物线的定义： C M F l e=1 H 如何建立坐标系呢 ？ 思考 ： 抛物线是 轴对称图形吗 ？ 怎样建立坐标系 , 才能使焦点坐标 和准线方程更简 捷 ? x y 0 x y 0 x y 0 三、抛物线的标准方程： l . F M d . F l x F 如 图 ， 以 过 点 垂 直 于 直 线 的 直 线 为 轴 ， 和 垂 足 的 中 点 为 坐 标 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 . xO y K | | , ( 0 ) , ( , ) ,F K p p M x y设 2 :),0, 2 ( pxlpF 则 22( ) | | 22 ppM F d x y x 即 22 2 2 2 44 ppx p x y x p x )0(,22 ppxy 抛物线标准方程 p（ 其 中 是 焦 点 到 准 线 的 距 离 ） 标准方程的推导 标准方程 把方程 y2 = 2px (p 0)叫做抛物线的 标准方 程 .其中 p 为正常数 ,表示焦点在 x 轴正半轴上 . 且 p的几何意义是 : 焦点到准线的距离 焦点坐标是 ( , 0 ) 2 p 2 p x 准线方程为 : 想一想 : 坐标系的建立还 有没有其它方案 也 会使抛物线方程的形式简单 ？ y x o 方案 (1) y x o 方案 (2) y x o 方案 (3) y x o 方案 (4) y2=2px (p0) 想一想 ? 这种坐标 系下的抛物 线方程形式 怎样 ? 设 KF = p 则 F（ ， 0）， l： x = - p 2 p 2 设点 M的坐标为（ x， y）， 由定义可知 |MF|=|MN| 即： 2 2) 2 ( p xy p x 2 解：设取过焦点 F且垂直于准线 l的直 线为 x轴 ，线段 KF的中垂线为 y轴 化简得 y2 = 2px（ p 0） y o x N F M K l y轴 x轴 y 2 ,0 p y y x x y y2=2px (p0) )0(22 ppyx 一条抛物线 ， 由于它在坐标平面内的位置 不同 ， 方程也不同 ， 所以抛物线的标准方程有四 种形式 . y2=-2px (p0) x2=2py (p0) 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l y2=2px (p0) )0,2p( 2px )0, 2 p ( 2 p x ) 2 p 0( ， 2 p y x2=-2py (p0) )2p0( ， 2py P的意义 :抛物 线的焦点到准 线的距离 方程的特点 : (1)左边 是二次 式 , (2)右边 是一次 式 ;决定了 焦点 的位置 . 四四种 抛物线的 对比 例 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （ 2） （ 3） 2x2+5y=0 解： （ 1）因为 2p=6， p=3， 准线方程是 x=- 2 3 2 3所以焦点坐标是（ ， 0） ， yx 2 12 F O l x y . 例 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （ 2） （ 3） 2x2+5y=0 解： （ 1）因为 2p=6， p=3， 准线方程是 x=- 2 3 2 3所以焦点坐标是（ ， 0） ， yx 2 12 (2)因为 2p= ， p= 2 1 4 1 所以焦点坐标是 准线方程是 8 1,0 1 8 y 例 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （ 2） （ 3） 2x2+5y=0 解： （ 3）抛物线方程是 2x2+5y=0 , 即 x2=- y, 2p= 2 5 2 5 则焦点坐标是 F（ 0， - ） , 准线方程是 y= 8 5 8 5 焦点坐标是（ ， 0） ， （ 1） 2 3 准线方程是 x=- 2 3 yx 2 12 (2) 焦点坐标是 准线方程是 8 1,0 1 8 y 例 2 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是 F（ 0， -2） (2)焦点在直线 3x-4y-12=0上 (3)抛物线过点 A（ -3， 2） (1)因为焦点在 y轴的负半轴上，并且 p/2=2， p=4， 解 ： 所以抛物线的方程是 x2=-8y . F 例 2 解 ： (2)由题意，焦点应是直线 3x-4y-12=0与 x轴或 y轴的交点， 即 A（ 4， 0）或 B（ 0， -3） 当焦点为 A点时， 抛物线的方程是 y2=16x 当焦点为 B点时， 抛物线的方程是 x2=-12y 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是 F（ 0， -2） (2)焦点在直线 3x-4y-12=0上 (3)抛物线过点 A（ -3， 2） (1)抛物线的方程是 x2=-8y 例 2 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是 F（ 0， -2） (2)焦点在直线 3x-4y-12=0上 (3) 抛物线过点 A（ -3， 2） (1)抛物线的方程是 x2=-8y 解 ： (2)抛物线的方程是 y2=16x或 x2=-12y 当抛物线的焦点在 y轴的正半轴上时， 把 A（ -3， 2）代入 x2 =2py， 当焦点在 x轴的负半轴上时， 把 A（ -3， 2）代入 y2 = -2px， 得 p= 9 4 抛物线的标准方程为 x2 = y或 y2 = - x 9 2 4 3 o x y A (3) 2 3 得 p= 例 3、 M是抛物线 y2 = 2px（ P 0）上一点，若点 M 的横坐标为 X0，则点 M到焦点的距离是 X0 + 2 p O y x F M 这就是抛 物线的焦 半径公式 ! 练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （ 1）焦点是 F（ 3， 0）； （ 2）准线方程 是 x = ； 4 1 （ 3）焦点到准线的距离是 2。 y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （ 1） y2 = 20 x （ 2） x2= y （ 3） 2y2 +5x =0 （ 4） x2 +8y =0 2 1 焦点坐标 准线方程 （ 1) （ 2) （ 3) （ 4) （ 5， 0） x= -5 （ 0， ） 1 8 y= - 1 8 8 x= 5 （ - ， 0） 5 8 （ 0， -2） y=2 a0 a0时与当 a0时，结论都为 ： 1 2 p a 练习 : 1. 抛物线 216yx 的焦点坐标是 ( ) (A) ( 4 , 0 ) ( ) ( 0 , 4 )B 1 ( ) ( , 0 ) 64 C (D) 1 ( 0, ) 64 2. 平面上到定点 ( 1 , 1 )A 和到定直线 : 2 3l x y 距离相等的点的轨迹为 ( ) (A) 直线 ( B ) 抛物线 (C) 双曲线 (D) 椭圆 D B 小 结 ： 1、抛物线的定义 ,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程 3、注重数形结合的思想。 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 小结 . 不同位置的抛物线 x轴的 正方向 x轴的 负方向 y轴的 正方向 y轴的 负方向 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py )0,2( pF )0,2p F(- )2,0( pF ) 2,0( pF - 2= px - 2= px 2= py 2= py - x y O F l x y OF l x y O F l x y O F l