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. 周期信号的频域分析. LTI系统的频域分析. 傅立叶级数的性质Fourier Series Representation of Periodic Signals第3章 周期信号的傅里叶级数表示 . 周期信号的频域分析. LTI系统的频域分析. 傅立叶级数的性质Fourier Series Representation of Periodic Signals第3章 周期信号的傅里叶级数表示 3.0 引 言 Introduction 时 域 分 析 方 法 的 基 础 ： 信 号 在 时 域 的 分 解 ； LTI系 统 ： 满 足 线 性 、 时 不 变 性 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足：本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 傅立叶分析方法： 出发点：将信号表示成一组基本信号的线性组合；基本信号为复指数信号；信号表示为连续时间和离散时间的傅立叶级数与傅立叶变换。 3.1 历 史 的 回 顾 （ A Historical Perspective）任 何 科 学 理 论 , 科 学 方 法 的 建 立 都 是 经 过 许 多 人不 懈 的 努 力 而 得 来 的 , 其 中 有 争 论 , 还 有 人 为 之 献出 了 生 命 。 历 史 的 经 验 告 诉 我 们 , 要 想 在 科 学 的领 域 有 所 建 树 ， 必 须 倾 心 尽 力 为 之 奋 斗 。 今 天 我们 将 要 学 习 的 傅 立 叶 分 析 法 ， 也 经 历 了 曲 折 漫 长的 发 展 过 程 ， 刚 刚 发 布 这 一 理 论 时 ， 有 人 反 对 ，也 有 人 认 为 不 可 思 议 。 但 在 今 天 ， 这 一 分 析 方 法在 许 多 领 域 已 发 挥 了 巨 大 的 作 用 。 傅立叶 1768-1830(Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家最早使用定积分符号改进符号法则、根数判别方法傅立叶级数创始人 1807 热的传播1822 热的分析理论傅立叶级数、分析等理论 傅 里 叶 的 两 个 最 重 要 的 贡 献 “ 周 期 信 号 都 可 以 表 示 为 成 谐 波 关 系 的 正 弦 信号 的 加 权 和 ” 傅 里 叶 的 第 一 个 主 要 论 点 “ 非 周 期 信 号 都 可 以 用 正 弦 信 号 的 加 权 积 分 来表 示 ” 傅 里 叶 的 第 二 个 主 要 论 点 傅立叶分析方法的历史l古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运动l 1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合l1753年 D伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示l1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数 l 1822年 傅立叶“热的分析理论” 中提出并证明周期函数的正弦级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础l 1829年 狄里赫利周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件l 19-20世纪两种傅立叶分析方法-连续与离散l 1965年 Cooley & Tukey (IBM) 发明FFT 算法 由时域分析方法有，( )( ) ( ) ( ) ( )s t st s sty t e h d e h e d H s e ( ) ( ) ( ) ( )n k n k nk ky n z h k z h k z H z z 3.2 LTI系统对复指数信号的响应ste nz( )h n( )h tste ( )y t nz ( )y nv 考查LTI系统对复指数信号 和 的响应 易求LTI系统对复指数信号的响应这说明 和 符合对单元信号的第一项要求ste nz特 征 函 数 (Eigenfunction)v 如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信号乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的特征函数，该常数称为与该信号有关(相对应)的特征值 系统对某一输入信号的响应：一个常数输入信号( ) ( ) sty t H s e( ) ( ) ny n H z z ( ) ( ) stH s h t e dt ( ) ( ) nkH z h n z v 系统的特征值结论：复指数函数是一切LTI系统的特征函数( )( ) ( ) ( ) ( )s t st s sty t e h d e h e d H s e ( ) ( ) ( ) ( )n k n k nk ky n z h k z h k z H z z nkk kZanx )( nkk kk ZZHany )()( tsk kk kesHaty )()(tsk k keatx )(即：tststs esHaesHaesHatytx 321 )()()()()( 332211 利用齐次性与可加性，有 1 11( )s t s te H s e 2 22( )s t s te H s e3 33( )s t s te H s e由于对时域的任何一个信号 或者 ,若能将其表示为下列形式：( )x t ( )x n tststs eaeaeatx 321 321)( 例：( ) ( 3)y t x t v 系统输入为2( ) j tx t e 系统( ) ?H s ( ) ?y t v 系统输入为( ) cos(4 ) cos(7 )x t t t 系统( ) ?y t *问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？ 回 顾 ： 连 续 复 指 数 信 号 的 周 期tje 0T)2,1,0(k10 Tje 02Tk对一个复指数信号 ，要成为具有周期为 的周期信号的必要条件： 00 2T 定义0 k有 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 , 0, 1, 2k 0 02T 02kT k 成 谐 波 关 系 的 复 指 数 信 号 0( ) jk tk t e 基波频率 0jk te 成 谐 波 关 系 的 复 指 数 信 号 之 和 0( ) jk tkkx t a e 02T 0( ) cosx t t 0 01 12 2j t j te e 该信号中，有两个谐波分量， 为相应分量的加权因子1 12a 0 0( ) cos 2cos3x t t t 0 0 0 03 31 2 j t j t j t j te e e e 在该信号中，有四个谐波分量，即,3,1 k时对应的谐波分量。连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合? 二 .连 续 时 间 傅 里 叶 级 数 的 系 数 确 定如 果 周 期 信 号 可 以 表 示 为 傅 里 叶 级 数( )x t则有 0 0( )( ) jn t j k n tkkx t e a e 对两边同时在一个周期内积分，有0 00 0( )0 0( )T Tjn t j k n tkkx t e dt a e dt 0( ) jk tkkx t a e 0 0 00 ( )T jn t nx t e dt a T 0 0001 ( )T jn tna x t e dtT 即 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为 01 ( ) jk tk Ta x t e dtT 0 1 ( )Ta x t dtT 是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a 三 .频 谱 （ Spectral） 的 概 念 信 号 集 中 的 每 一 个 信 号 ， 除 了 成 谐 波 关 系外 ， 每 个 信 号 随 时 间 的 变 化 规 律 都 是 一 样 的 ，差 别 仅 仅 是 频 率 不 同 。 在 傅 里 叶 级 数 中 ， 各 个 信 号 分 量 （ 谐 波 分 量 ） 间 的 区 别 也 仅 仅 是 幅 度 （ 可 以 是 复 数 ） 和 频 率 不同 。 因 此 ， 可 以 用 一 根 线 段 来 表 示 某 个 分 量 的 幅度 ， 用 线 段 的 位 置 表 示 相 应 的 频 率t( )k t 1212 00 001 分量 可表示为0j te 因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数 时，就可以将 表示为( )x t ( )x t 0( ) jk tkkx t a e 这样绘出的图称为频谱图 0 00 1cos ( )2 j t j tt e e 频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，即 关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。ka四.傅里叶级数的其它形式 0 0 0 0*( ) jk t jk t jk t jk tk k k kk k k kx t a e a e a e a e k ka a 或*k ka a 若 是实信号,则有)()( txtx ，于是( )x t 傅里叶级数的三角函数表示式 傅里叶级数的另一种三角函数形式幅度谱、相位谱 3.4 连 续 时 间 傅 里 叶 级 数 的 收 敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似Convergence of the Fourier series 01 ( ) jk tk Ta x t e dtT 对任何周期信号 代入左式都可求得傅里叶系数 。某些情况下，左式的积分可能不收敛，即求得的 无穷大。 0( ) jk tkkx t a e 求得的全部 都是有限值，代入左式所得的无限项级数也可能不收敛于 。二. 傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义： 是否存在? 级数是否收敛于 ? ka 2.周期信号 在一个周期内具有有限的能量， 可以用傅里叶级数表示（平方可积条件） 即0 2( )T x t dt 1.对于全部连续的周期信号都有一个傅里叶级数表示三组条件：3. 周期信号 满足Dirichlet条件， 可以 用傅里叶级数表示。 Dirichlet条件：在任何周期内信号绝对可积，即 在任何单个周期内，只有有限个极值点，且极值为有限值。（最大值和最小值数目有限） 在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点，且在间断点上的函数值为有限值。0 ( )T x t dt 0 0 00 01 1( ) ( )jk tk T Ta x t e dt x t dtT T 因 此 ， 信 号 绝 对 可 积 就 保 证 了 的 存 在 。ka 后两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。几个不满足Dirichlet条件的信号 三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于 ?( )x t ( )x t( )x t 1N 3N 7N 19N 100N 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明： 例 1： 周 期 信 号 )cos(cossin)( 4323231 ttttx )()()()()( 4324323333 21211 tjtjtjtjtjtj eeeeeejtx tjjtjjtjtj eeeeejej 32432433 21212112111 )()()()(试 确 定 的 傅 里 叶 级 数 系 数 。解 ： 由 题 的 基 波 周 期 为 jjajjaa 2112112112111 110 ，kajeajea kjj，其余，01422114221 4242 )()( 21212501 111100 arctgarctgaaa，；， 4421 2222 ， aa 例2：对称周期方波信号 1 0 0 1 11 0 10 0 0 0 02sin1 1T jk t jk t Tk TT k Ta e dt eT jk T k T 1 0T0T t ( )x t 确定 的傅里叶级数系数。 11 0100 211 TT TTdtTa 根据 可绘出 的频谱图。 称为占空比ka ( )x t 102TT0 ( )Sa x1 xsinSa( ) xx x其中 102 12TT 102 14TT 102 18TT 不变 时0T 1T 102 12TT 102 14TT 102 18TT 1T不变 时0T 周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性 考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：当 不变，改变 时，随 使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2. 当 改变， 不变时，随 使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。0T 12T1T 1T 0T 0T 1T 0T Properties of Continuous-Time Fourier Series3.5 连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。一. 线性：若 和 都是以 为周期的信号，且( )x t ( )y t T则 二.时移:若 是以 为周期的信号，且( )x t T则0 2T 三.反转:若 是以 为周期的信号，且( )x t T则四.尺度变换:若 是以 为周期的信号，且( )x t T则 以 为周期，于是( )x at /T a 令 ，当 在 变化时， 从 变化，at t 0 /T a 0T于是有：01 ( ) jkk kTb x e d aT 五. 相乘:若 和 都是以 为周期的信号，且( )x t ( )y t T则也即 0( )1 ( ) j k l tk l l k lTl lC a y t e dt a bT 六.共轭对称性:若 是以 为周期的信号，且( )x t T则由此可推得，对实信号有： 或 k ka a k ka a 七.Parseval 定理： k kT adttxT 22)(1表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.* 掌握表对实信号( ) ( )x t x t k ka a（ 实偶函数）当 时，( ) ( )x t x t k ka a（ 虚奇函数）当 时， 例1：如图周期为 的冲激串 k kTttx )()( -T 1 tT0 )(tx 0/2/21 1( )T jk tk Ta t e dtT T 01( ) jk tkx t eT 0 2T T求其傅里叶级数表示。解： 例2：周期性矩形脉冲)(tg101T 1T-TT t求其傅里叶级数系数解：将其微分后可利用例1表示为)()()( 11 TtxTtxtg )( tg1 t0 1T1T设由时域微分性质有0k kb jk c 由例1知1/ka T根据时移特性，有0 1 0 1 0 12 sinjk T jk Tk k kb a e e ja k T 0 1 0 110 0 0 12sin sin2kk b k T k TTc jk k T T k T 0 2 /T 0k 考察成谐波关系的复指数信号集: 该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中只有 个信号是彼此独立的 Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic SignalsN一.离散时间傅里叶级数（DFS） Discrete-Time Fourier SeriesN3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以 为周期的序列。即： 其中 为 个相连的整数 这个级数就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中 也称为周期信号 的频谱。 ka二. 傅里叶级数系数的确定给 两边同乘以 ，得2j rnNe N N Nk 2 2 ( ) 21( ) ( ) 0,2( )0 11 j k rNj k r n j k r nN N Nj k rn N n Nee e e 显然 仍是以 为周期的而 k rk rN 显然上式满足 即 也是以 为周期的，或者说 中只有 个是独立的。即或k N ka a kaka对实信号同样有：k ka a k ka a Re Re k ka a Im Imk ka aN N 例1：考虑信号nnx 52sin 55522 1 kkkN )( njnj eejnx 525221 基波周期02121 11 kakjaja，在一个周期内其余， 的频谱图 三.周期性方波序列的频谱 1 12 1 2 1( ) ( )2 21 j k j k N j k NN N Nj k j k j kN N Ne e eN e e e 2 1 11 1 2 ( 1)2 21 1 1j kNN j N kN Nj knNk j kn N Ne ea eN N e 12 1k Na N k rN 显然 的包络具有 的形状。ka sinsin xx时1sin (2 1)1 sink NNN kN 0, , 2 ,k N N kkk1 220NN 1 110NN 1 210NN 周期性方波序列的频谱 u 当 不变、 时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。u 当 改变、 不变时，由于 的包络具有 的形状，而 ，可知其包络形状一定发生变化。当 时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。1N1N NN kasinsin xx 12 1N 1N 四. DFS的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。ka 周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在 区间 考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。 1. 相乘 2. 差分周期卷积Properties of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性质DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。 knNjkFS aennxnx )1( 020 3. Paseval定理左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。上式表明：一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。也表明：周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。 3.9 滤波 Filtering本节移至第6章讲授3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例用差分方程描述的离散时间滤波器举例第二章中已介绍 3.12 小 结 Summary 本章主要讨论了：v 复指数函数是一切LTI系统的特征函数。v 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解。v 以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。 v 通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别。v 在对信号分析的基础上，研究了LTI系统的频率响应及LTI系统对周期信号的响应。 作 业 见 黑 板
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