一道数学奥林匹克试题的引申

一道数学奥林匹克试题的引申谷焕春山东聊城大学数学科学学院(252059)第16届亚太地区数学奥林匹克(2021年3月)压轴题为：证明：对任意正实数a,b,c，均有(a2+2)(b2+2)(c2+2)9(ab+bc+ca).?数学通讯?2021年第11期刊登了一种证明方法，此种方法首先采用降幂的策略，利用柯西不等式把所证不等式左边六次多项式的问题放缩为三次多项式的问题，然后利用根本不等式继续放缩，最后采用作差法，利用抽屉原那么并经过较复杂的计算得到了所要证明的不等式.笔者通过对此题进行细致研究，得到本质性的证明方法，并对字母个数及幂指数进行推广.引理h璱-1(i=1,2,，n)，且h璱h璲0)(1i,jn)，那么ni=1(1+h璱)1+ni=1h璱.证：用数学归纳法即可.(略)引申设x璱0(i=1,2,n+1)且x琻璱-1(i=1,2,，n)同号，那么n+1i=1(n+x琻璱)(n+1)琻n+1i=1(1jin+1x璲).证明：由引理得ni=1(n+x琻璱)=ni=1n+1+(x琻璱-1)=(n+1)琻ni=1(1+x琻璱-1n+1)(n+1)琻1+1n+1ni=1(x琻璱-1)=(n+1)-1n+1+ni=1(x琻璱-1)=(n+1)-1(1+ni=1x琻璱),于是n+1i=1(n+x琻璱)=ni=1(n+x琻璱)(n+x琻+1)(n+1)-1(1+ni=1x琻璱)(n+x琻+1)=(n+1)-1(n+x琻+1+nni=1x琻璱+ni=1x琻璱x琻+1)=(n+1)-1n+1i=1x琻璱+ni=1x琻璱+ni=1(x琻璱x琻+1+1)+(n-2)ni=1x琻璱，由于1jin+1x琻璲n1jin+1x璲(i=1,2,，n+1)，所以将以上n+1个不等式左右两边分别相加，得nn+1i=1x琻璱nn+1i=1(1jin+1x璲),即n+1i=1x琻璱n+1i=1(1jin+1x璲).记x0=x璶,那么x琻璱x琻+1+1+1jnji-1,ix琻璲n1jn+1ji-1x璲(i=1,2,3，n)，将以上n个不等式左右两边分别相加，得ni=1(x琻璱x琻+1+1)+(n-2)ni=1x琻璱nni=1(1jin+1x璲),于是n+1i=1(n+x琻璱)(n+1)-1n+1i=1(1jin+1x璲)+nnj=1x璲+nni=1(1jin+1x璲)=(n+1)琻n+1i=1(1jin+1x璲).另外，注意到(a2-1)(b2-1)(b2-1)(c2-1)(c2-1)(a2-1)=(a2-1)(b2-1)(c2-1)20，所以a2-1,b2-1,c2-1中必有两个同号，用类似的方法可得到原题的证明，也就是本文开始提到的本质证法.参考文献1冯志刚.2021年亚太地区数学奥林匹克.数学通讯，2021年第11期.