高中数学必修1

高 中 数 学 课 件 必修一 第 二 章 ： 基 本 初 等 函 数第 三 章 ： 函 数 的 应 用第 一 章 ： 集 合 与 函 数 第 一 章 ： 集 合 与 函 数第一节：集合 一 集合的含义与表示u集 合 的 定 义我 们 把 研 究 的 对 象 称 为 元 素 ， 而 某 些 拥 有 共 同 特 征 的 元 素所 组 成 的 总 体 叫 做 集 合集 合 有 三 个 特 征 ： 确 定 性 、 互 异 性 和 无 序 性 。 就 是 根 据这 三 个 特 征 来 判 断 是 否 为 一 个 集 合u集 合 的 表 示列 举 法 ： 将 集 合 中 的 元 素 一 一 列 举 出 来 并 放 在 大 括 号 内 表 示集 合 的 方 法1. 元 素 间 要 用 逗 号 隔 开 ；2. 不 管 次 序 放 在 大 括 号 内 .描 述 法 ： 用 确 定 的 条 件 表 示 某 些 对 象 是 否 属 于 这 个 集 合 的方 法 . 其 一 般 形 式 为 ：1. 中 间 的 “ |” 不 能 缺 失 ； 2. 不 要 忘 记 标 明 x R或 者 k Z x | p(x) 若 一 个 元 素 m在 集 合 A中 ， 则 说 m A， 读 作 “ 元 素 m属 于集 合 A” 否 则 ， 称 为 mA,读 作 “ 元 素 m不 属 于 集 合 A。 u元 素 与 集 合 的 关 系属 于 或 不 属 于 u常 见 数 集N： 自 然 数 集 （ 含 0） 即 非 负 整 数 集N+： 正 整 数 集 （ 不 含 0)Z: 整 数 集Q： 有 理 数 集R： 实 数 集u集 合 的 分 类有 限 集 ： 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合 称 为 有 限 集 特 别 ， 不 含 任何 元 素 的 集 合 称 为 空 集 ,记 为 ， 注 意 ： 不 能 表 示 为 .无 限 集 ： 若 一 个 集 合 不 是 有 限 集 ， 则 该 集 合 称 为 无 限 集 课堂训练1. 直 线 y=x上 的 点 集 如 何 表 示 ？2. 方 程 组 的 解 集 如 何 表 示 ？3. 若 1,a和 a,a2表 示 同 一 个 集 合 ， 则 a的 值 为 .4. 集 合 A=1,0,x, 且 x 2 A, 则 x 12yx yx Rxxyyx ,),( )21,23( -1-1 B A读 作 ： A包 含 于 B， 或 者 B包 含 A. 可 以 联 系 数 与 数 之 间 的 “ ”二 集合间基本关系u子 集 和 真 子 集一 般 地 ， 对 于 两 个 集 合 A、 B， 如 果 集 合 A中 任 意 一 个 元 素都 是 集 合 B中 的 元 素 ， 我 们 就 说 这 两 个 集 合 有 包 含 关 系 ，称 集 合 A为 集 合 B的 子 集 .记 作 ： A B或 B A规 定 ： 空 集 是 任 何 集 合 的 子 集 ， 空 集 是 任 何 非 空 集 合 的 真 子 集 .如 果 A B， 但 是 A B， 则 称 A是 B的 真 子 集 .记 作 ： A B或 B A可 以 联 系 数 与 数 之 间 的 “ ”任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 ， A A若 A B， B C， 则 A C， 对 于 也 适 用 . S Au补 集 和 全 集设 AS， 由 S中 不 属 于 集 合 A的 所 有 元 素 组 成 的 集 合 称 为 S中子 集 A的 补 集 ， 记 作 CSA ， 即 CSA x|x S, 且 xA 阴 影 部 分 即 CSA 如 果 集 合 S包 含 我 们 所 要 研 究 的 各 个 集 合 ，这 时 集 合 S看 作 一 个 全 集 ， 通 常 记 作 U. 典例精析例 1. 不 等 式 组 的 解 集 为 A， U R， 试 求 A及 CUA，并 把 它 们 分 别 表 示 在 数 轴 上 . CUA的 补 集 是 什 么 ？ 063 012xx解 ： 先 解 不 等 式 组 得 221 x所 以 Rxxx ,221A RxxxxAC U ,221 或CUA的 补 集 是 A， 数 轴 上 表 示 略 例 2. 设 集 合 若 B A， 求 实 数 a的 值 . RaaxaxxBxxxA ,01)1(2,04 222 课堂训练1. 下 列 命 题 ：(1) 空 集 没 有 子 集 ； (2) 任 何 集 合 至 少 有 两 个 子 集 ；(3) 空 集 是 任 何 集 合 的 真 子 集 ； (4) 若 A， 则 A,其 中 正 确 的 有 ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 下 列 表 示 正 确 的 有 .(1) a a; (2) a a,b;(3) a,b b,a; (4) -1,1 -1,0,1(5) 0; (6) -1,1.3. 下 列 说 法 正 确 的 有 .(1) 若 U= 四 边 形 ， A= 梯 形 ， 则 C UA= 平 行 四边 形 ；(2) 若 U是 全 集 ， 且 A B， 则 有 CUB CUA；(3) 若 U= 1,2,3 ， A=U， 则 CUA=.A (3),(4),(6)(2),(3) 5. 设 集 合 A=x|1 x 3， B=x|x-a 0， 若 A是 B的 真子 集 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 . A,B,121|B,52|A axaxxx 1,2-x 3-y|y)(x,B2,-x3-y|y)(x,AR, ，yx4. 设则 A, B的 关 系 是 .6. 已 知求 实 数 a的 取 值 范 围 .B Aa1 512 21aa 33 a 7. 设 集 合 A=|2a-1|,2， B=2,3,a2+2a-3， 且 CBA=5，求 实 数 a的 值 。8. 已 知 全 集 U=1,2,3,4,5， 非 空 集 A=xU|x2-5x+q=0，求 CUA及 q的 值 。解 ： 由 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 有 x 1+x2=5, x1x2=q且 x U有 A=1,4或 A=2,3当 A=1,4时 , q=4, CUA=2,3,5;当 A=2,3时 , q=6, CUA=1,4,5. 532 3122 aaa 2a U A BAB交 集 就 是 找 两 个 集 中 中 共 同 存 在 的 元 素三 集合的运算性质u交 集 A B可 用 右 图 中的 阴 影 部 分 来 表 示一 般 地 ， 由 所 有 属 于 集 合 A且 属 于集 合 B的 元 素 构 成 的 集 合 ， 称 为 A与B的 交 集 ， 记 作 A B， 即 A B=x|x A， 且 x BABABA BBAABA ABBAA AAA (5) ,(4)(3)(2) (1) 则 并 集 就 是 把 两 个 集 和 的 元 素 合 并 到 一 起u并 集 A B可 用 右 图 中的 阴 影 部 分 来 表 示一 般 地 ， 由 所 有 属 于 集 合 A或 属 于集 合 B的 元 素 构 成 的 集 合 ， 称 为 A与B的 并 集 ， 记 作 AB， 即 AB=x|x A， 或 x B U A BBBABA BABABABBAA ABBA AA AAA 则 )5( ,)4( )3( )2( )1( 典例精析例 1. 设 ，9,1,5,12,4 2 aaBaaA 已 知 ，9BA求 a的 值 ， 并 求 出 A B.解 ： 由 A B=9得 2a-1=9或 a2=9, 即 ： a=5， 3， -3当 a=5时 ， A=-4,9,25, B=0,-4,9, A B=-4,9, 不 合 题 意当 a=3时 ， A=-4,5,9, B=-2,-2,9, B的 元 素 重 复 , 不 合 题 意当 a=-3时 ， A=-4,-7,9, B=-8,4,9, A B=-4,-7,-8,4,9 所 以 a的 值 为 -3， A B=-4,-7,-8,4,9 例 2. 已 知 01|,023| 22 aaxxxBxxxA ABA 求 实 数 a的 值 .解 ： 由 A B=A=1,2得 B=, 1, 2, 1,2;当 B=, 0， 即 (a-2)20且 1+2=a且 1a=a-1, 即 a=3.所 以 a的 值 为 2或 者 3 课堂训练1. 集 合 A 0,2,a2， B 1,a， 若 A B 1， 则 a的 值为 ( )A. 0 B. 1 C. 1 D. 12. 集 合 P x Z|0 x0=(-1,2),若 a=2， 则 有 即 有所 以 有 A B=(-1,4).(2) 由 A=x|-x2+x-20=(-1,2) 当 a1时 ， 若 ， 则 必 有(或 者 ， a=2， 此 时 符 合 题 意 ，故 a=2为 所 求 . 当 0a1时 ， 若 则 必 有 此 时 不 合 题 意 ， 舍 去 . 综 上 可 知 a=2. ),4,21(2 xxay ),4,21(B ),1( 2aaB )2,21(A B ；2,22112 aaa211 a ),2,21()4,21( BAB ，)1,( 2 aaB )2,21(A B 22,212 aa),2,21()2,21( BAB ， 第二节：函数第 一 章 ： 集 合 与 函 数 一 函数及其表示设 A、 B是 非 空 的 数 集 ， 如 果 按 照 某 种 确 定 的 对 应 关 系 f，使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 数 x， 在 集 合 B中 都 有 唯 一 确 定的 数 f(x)和 它 对 应 ， 那 么 就 称 f： A B为 集 合 A到 集 合 B的一 个 函 数 . 记 作 y=f(x)， x A.其 中 ， x叫 做 自 变 量 ， x的 取 值 范 围 A叫 做 函 数 的 定 义 域 ； 与 x的 值 相 对 应 的 y值 叫 做 函 数 值 (因 变 量 )， 函 数 值 的 集 合 f(x)|x A叫 做 函 数 的 值 域 . 而 对 应 的 关 系 f则 称 为 对 应 法 则 .u函 数设 A、 B是 两 个 非 空 的 集 合 ， 如 果 按 照 某 一 个 确 定 的 对 应 关系 f， 使 对 于 集 合 A中 的 任 何 一 个 元 素 x， 在 集 合 B中 都 有 唯一 确 定 的 元 素 y与 之 相 对 应 ， 那 么 就 称 对 应 f： A B为 集 合 A 到 集 合 B的 一 个 映 射 . 解 析 法 ， 图 像 法 ， 列 表 法u函 数 的 表 示u函 数 的 三 要 素定 义 域 ， 对 应 法 则 ， 值 域相 等 函 数 ： 如 果 两 个 函 数 的 定 义 域 和 对 应 法 则 完 全 一 致 ，则 这 两 个 函 数 相 等 ， 这 是 判 断 两 函 数 相 等 的 依 据 函 数 的 定 义 域 和 对 应 法 则 确 定 了 ， 函 数 就 确 定 了 ， 值 域 也就 确 定 了 ； 但 对 应 法 则 和 值 域 确 定 了 ， 定 义 域 不 是 确 定 的 .例 如 ， y=x2， 值 域 (0,1), 定 义 域 可 以 为 (-1,1), (0,1), (-1,0). 例 1 有 以 下 判 断 ：(1) 表 示 同 一 函 数 ；(2) 函 数 y f(x)的 图 象 与 直 线 x 1的 交 点 最 多 有 1个 ；(3) f(x) x2 2x 1与 g(t) t2 2t 1是 同 一 函 数 ；(4) 若 f(x) |x 1| |x|， 则其 中 正 确 的 序 号 是 .典例精析 0,1 0,1)(,)( x xxfxxxf 0)21( ff(2) (3)例 2 若 函 数 的 定 义 域 为 R， 求 实 数 m的 取 值 范 围 .34 4)( 2 mxmx xxf解 ： 分 式 分 母 不 为 0， 函 数 的 定 义 域 为 R， 则 方 程mx2+4mx+3=0无 解 . (1) m=0时 方 程 无 解 ；(2)m 0时 ， =16m2-12m0得由 已 知 条 件 可 得所 以 有(3) 设 f(x)=kx+b, 代 入 已 知 条 件 得化 简 得 kx+(5k+b)=2x+17, 即 k=2,b=7, 所 以 f(x)=2x+7 ；2)1(1)1( 222 xxxxxxftx 12 1,12 ttx 1),1lg(2lg12lg)( ttttf 1),1lg(2lg)( xxxf ,172)1(2)1(3 xbxkbxk (4) 由 已 知 条 件 可 得方 程 组 xxxf xxfxf xxfxf 12)( 3)()1(2 3)1()(2 ， 得 1( )f x(1) 凑 配 法 ： 由 已 知 条 件 f(g(x) F(x)， 可 将 F(x)改 写 成 关于 g(x)的 表 达 式 ， 然 后 以 x替 代 g(x)， 便 得 f(x)的 解 析 式 ；(2) 换 元 法 ： 已 知 复 合 函 数 f(g(x)的 解 析 式 ， 可 用 换 元 法 ，此 时 要 注 意 新 元 的 取 值 范 围 ；(3) 待 定 系 数 法 ： 若 已 知 函 数 的 类 型 (如 一 次 函 数 、 二 次 函数 )， 可 用 待 定 系 数 法 ；(4) 方 程 思 想 ： 已 知 关 于 f(x)与 或 f( x)的 表 达 式 ， 可根 据 已 知 条 件 再 构 造 出 另 外 一 个 等 式 组 成 方 程 组 ， 通 过 解方 程 组 求 出 f(x)函数解析式的求法 例 4 求 函 数 的 定 义 域(1) 函 数 的 定 义 域 ；(2) 函 数 f(2x)的 定 义 域 是 -1,1, 求 f(log2x)的 定 义 域 .)12(log 1)( 21 xxf解 ： (1) 真 数 大 于 0， 二 次 根 式 开 方 数 0 ， 分 母 不 为 0. 0)12(log 012 21 xx )0,21(x(2) 抽 象 函 数 定 义 域 ：由 f(2x)的 定 义 域 -1,1得 函 数 f(x)的 定 义 域 为所 以 f(log 2x)的 定 义 域即 ： 2,212 x 2log21 0 2 xx4,2x 其 准 则 一 般 是 ： 分 式 中 ， 分 母 不 为 零 ； 偶 次 根 式 ， 被 开 方 数 非 负 ； 对 于 y x0， 要 求 x 0； 对 数 式 中 ， 真 数 大 于 0， 底 数 大 于 0且 不 等 于 1； 由 实 际 问 题 确 定 的 函 数 ,其 定 义 域 要 受 实 际 问 题 的 约 束 ； 抽 象 函 数 的 定 义 域 要 看 清 内 、 外 层 函 数 之 间 的 关 系 求函数的定义域 例 5 求 函 数 的 定 义 域(1) (2) (3) (4)；13 xxy ;3,0(22 xxxy；xxy 21 .432 x xy解 ： (1) 分 式 ：(2) 二 次 函 数 ： 但 题 目 中 x有 限 制 ，且 函 数 在 0,3为 增 函 数 ， 所 以 值 域 为 y 0,15;(3) 根 式 ： 令 得 对 称 轴 为 t=-1，当 t 0时 ， 函 数 为 减 函 数 ， 所 以 值 域 为(4) 基 本 不 等 式 ：当 x=0时 可 取 得 y=0； 当 x0时 ， 分 母 取 值 范 围 为 4,+ ), 则 y的 范 围 为当 x1， 由 解 得 a= ; b 3.11. 若 函 数 的 定 义 域 和 值 域 均 为 1,b(b1)， 求a, b的 值 axxxf 221)( 23 解 ： (1) 若 则(2) f1(x) 4x 1， 1 4x2， g(x) 4x 1， f2(x) f1(4x 1) 16x 4； 又 f2(x)=3 3 16x 44 而 1 4x0， g(a) 2 a|a 3| a2 3a 2; 二 次 函 数 g(a)的 对 称 轴 为 在 上 单 调 递 减 ， g( ) g(a) g( 1) 即 g(a)的 值 域 为 .14 已 知 函 数 f(x) x2 4ax 2a 6 (a R)(1) 若 函 数 的 值 域 为 0, )， 求 a的 值 ；(2) 若 函 数 的 值 域 为 非 负 数 ， 求 函 数 g(a) 2-a|a 3|的 值 域 .；23；23 ；23a 231 a23 ;4)(419 ag4,419)( ag 解 : 当 x 0时 ， f(x) x2 bx c， 因 为 f( 2) f(0)，f( 1) 3， ( 1)2 b c 3且 ( 2)2 2b c c，解 得 c 2， b 2， f(x) 2 (x0)； f(x)=x2 2x 2 (x 0),当 x 0时 ， 由 f(x) x得 ， x2 2x 2 x，得 x 2或 x 1.由 x 10， 所 以 舍 去 ;当 x0时 ， 由 f(x) x得 x 2，所 以 方 程 f(x) x的 解 为 2, 2.15. 设 函 数 , 若 f(-2)=f(0), f(-1)=-3, 求 关于 x的 方 程 f(x)=x 的 解 . 2 , 0( ) 2, 0 x bx c xf x x 二 函数的基本性质u函 数 的 单 调 性 那 么 就 说 在 f(x)这 个 区 间 上 是 单 调减 函 数 ， I称 为 f(x)的 单 调 减 区 间 . 那 么 就 说 在 f(x)这 个 区 间 上 是 单 调 增 函 数 ， I称 为 f(x)的 单 调 增 区 间 . 单 调 区 间设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 A, 区 间 I A. 如 果 对 于 属 于 定 义 域 A内 某 个 区 间I上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1, x2，当 x1x2时 ， 都 有 f(x1 ) f(x2 )， 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 A, 区 间 I A. 如 果 对 于 属 于 定 义 域 A内 某 个 区 间I上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1, x2，当 x1 f(x2 )， 前提 设 函 数 y f(x)的 定 义 域 为 I, 如 果 存 在 实 数 M满 足条件 (3) 对 于 任 意 x I,都 有 ； (4) 存 在 x0 I, 使 得结论 M为 最 大 值 M为 最 小 值f(x) M f(x) Mf(x0) Mf(x0) M函数的最值(1) 对 于 任 意 x I， 都 有(2) 存 在 x0 I, 使 得 证 明 ： 在 区 间 1， + ） 上 任 取 两 个 值 x1和 x2， 且 x1x2 则 1 2 1 21 21 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x x xx x 1 2 1 21 1( ) ( )x x x x 2 11 2 1 2( )( ) x xx x x x 1 2 1 2 1 2 1( )( )x xx x x x 1 2, 1,x x ， 且 1 2x x 1 2 1 20, 1 0 x x x x 1 2 1 2( ) ( ) 0, ( ) ( )f x f x f x f x 所 以 函 数 在 区 间 上 是 增 函 数 . 1y x x 1,取值作差变形定号结论 例 1. 判 断 函 数 在 定 义 域 1， + ） 上 的 单 调 性 ， 并给 出 证 明 ：典例精析 1y x x 任 取 x1, x2 D,且 x10时 ， 恒 有 f(x)1.(1) 求 证 ： f(x)在 R上 是 增 函 数 ；(2) 若 f(3) 4， 解 不 等 式 f(a2 a 5)2.(1) 证 明 : 设 x10，当 x0时 ， f(x)1， f(x2 x1)1.f(x2) f(x2 x1) x1 f(x2 x1) f(x1) 1， f(x 2) f(x1) f(x2 x1) 10 f(x1)f(x2)， f(x)在 R上 为 增 函 数 (2)解 : m， n R， 不 妨 设 m n 1， f(1 1) f(1) f(1) 1 f(2) 2f(1) 1，f(3)=f(2 1)=f(2) f(1) 1=3f(1) 2 4， f(1) 2， f(2) 2 2 1 3， f(a2 a 5)2 f(1)， f(x)在 R上 为 增 函 数 ， a2 a 51 3a0.(1) 若 2f(1) f( 1)， 求 a的 值 ；(2) 证 明 : 当 a 1时 ， 函 数 f(x)在 区 间 0, )上 为 单 调 减 函 数 ；(3) 若 函 数 f(x)在 区 间 1, )上 是 增 函 数 ， 求 a的 取 值 范 围 ,1)( 2 axxxf 解 ： (1) 由 2f(1)=f(-1), 得(2) 证 明 : 设 0 x1x2，又 0 x 1x2， x1 x20 f(x1)f(x2)， f(x)在 0,+ )上 为 减 函 数 ； ;32a )11)()(11 )( 11)()( 2221 2121212221 2121 22212121 axx xxxxxxaxx xxxx axxaxxxfxf ） ；且 011,1,111 2221 212221 21 axx xxaxx xx (3) 法 一 : 任 取 1 x1x2， 因 为 f(x)单 调 递 增 ， 所 以f(x1) f(x2)0, 恒 成 立 ， 又 所 以 有法 二 : 用 求 导 的 方 法 求 a的 取 值 范 围函 数 在 x1,+)上 为 增 函 数对 于 x1,+)以 上 不 等 式 恒 成 立 ； 即 恒 成 立因 为 所 以 有所 以 a的 取 值 范 围 ；axx xx 11 2221 21，11122 2221 21 xx xx .22,0(,220 aa 011221)( 22 axxax xxf ，； 22222 2 111 axxaxx ，2111 2 x ,22212 aa ， 即 .22,0(,220 aa 即 k 0时 , 函 数 y=f(x)与 y=kf(x)+b具 有 相 同 的 单 调 性 ； 若 f(x)恒 为 正 或 恒 为 负 时 , 函 数 f(x)与 1/f(x)具 有 相 反 的单 调 性 ； 若 函 数 f(x), g(x), 则增 函 数 f(x)+增 函 数 g(x)是 增 函 数 ；减 函 数 f(x)+减 函 数 g(x)是 减 函 数 ；增 函 数 f(x)-减 函 数 g(x)是 增 函 数 ；减 函 数 f(x)-增 函 数 g(x)是 减 函 数 ； 奇 函 数 在 对 称 的 区 间 上 有 相 同 的 单 调 性 , 偶 函 数 在 对 称的 区 间 上 有 相 反 的 单 调 性 ； 复 合 函 数 fg(x)的 单 调 性 ： 同 则 增 异 则 减 ； 导 数 法 ： 若 f(x)在 某 个 区 间 内 可 导 ， 当 f (x) 0时 , f(x)为 增 函 数 ； 当 f (x) 0时 ， f(x)为 减 函 数 .函数的单调性规律总结 确 定 函 数 f(x)在 给 定 区 间 上 的 单 调 性 ； 将 函 数 不 等 式 转 化 为 f(M)0且 f(x)在 (1, )内 单 调 递 减 ， 求 a的 取 值 范 围 )(,)( axax xxf 解 ： (1) 由 a=-2, 得设 x1x2-2，又 x1x2-2， x1 x20, x1+20, x2+20, f(x1) f(x2)0 f(x1)0, 图 形 的 单调 减 区 间 为 a,+ ), 要 想 函 数 在 (1,+ )单 调 递 减 ， 则 00, 则 对 任 意 x只 要 x a就 能 成 立 ， x的 范 围 为 (1,+), 所 以 a不 能 取 此 范 围 内 的 任 何 值 ， 则 00时 ， f(x)0， f(1)(1) 求 证 ： f(x)在 R上 是 减 函 数 ；(2) 求 f(x)在 3,3上 的 最 大 值 和 最 小 值 ,32解 ： (1) 证 明 ： 设 x10时 ， f(x)0, f(x1)-f(x2)0, 函 数 在 R上 为 减 函 数 ；(2) 由 函 数 的 单 调 性 可 知 ， f max(x)=f(-3), fmin(x)=f(3); f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2， 即 fmin(x)=-2；又 f(0)=f(0)+f(0), 得 f(0)=0, f(0)=f(x)+f(-x), 得 f(-x)=-f(x);所 以 f(-3)=f(3)=2, 即 fmax(x)=2. 5. 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0, )， 且 对 一 切 x0， y0都 有=f(x) f(y)， 当 x1时 ， 有 f(x)0.(1) 求 f(1)的 值 ；(2) 判 断 f(x)的 单 调 性 并 加 以 证 明 ；(3) 若 f(4) 2， 求 f(x)在 1,16上 的 值 域 )( yxf解 ： (1) f(1)=f(1)-f(1)=0; (2) 设 0 x11时 ， f(x)0, f(x1)-f(x2)0时 ，f(x)1, 且 对 任 意 的 a,b R, f(a+b)= f(a)f(b).(1) 求 f(0)的 值 ； (2) 判 断 f(x)的 单 调 性 .解 ： (1) f(0)=f(0)f(0), 且 有 f(0) 0, 得 f(0)=1; (2) 设 x10恒 成 立 ， 上 面 不 等 式 可 以 变 形 为 f(x 2)f(x1)函 数 在 R上 为 增 函 数 . )()()()( 1121122 xfxxfxxxfxf 1)()( )( 1212 xxfxf xf 7. 已 知 函 数(1) 求 证 ： f(x)在 (0, )上 是 单 调 递 增 函 数 ；(2) 若 f(x)在 上 的 值 域 为 求 a的 值 .),0,0(,11)( xaxaxf 2,21 ，2,21解 ： (1) 证 明 : 设 0 x10， x1x20， f(x1)f(x2)， f(x)在 (0, )上 是 单 调 递 增 的 (2)解 : f(x)在 上 的 值 域 是又 f(x)在 (0, )上 单 调 递 增 ，易 得 01111)()( 21 212121 xx xxxaxaxfxf 2,21 ，2,21.52a ,2211,212111 aa 8. 试 讨 论 函 数 的 单 调 性 .)1,1(,0,1)( 2 xaxaxxf解 : 设 1x1x21，则 1x1x20, x12 10， x22 10, 1x1x20, 因 此 ， 当 a0时 ， f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 此 时 函 数 在 ( 1,1)上 为 减 函 数 ；当 a0时 ， f(x 1) f(x2)0，即 f(x1)0, 则 函 数 变 形 为而即 ： f(-x)=-f(x), 所 以 函 数 f(x)为 奇 函 数 .典例精析例 1 试 讨 论 函 数 的 奇 偶 性 .221)( 2 x xxf ,022 01 2x x ,12)2( 1)( 22 x xx xxf ,1)(1)( 22 x xxxxf 例 2 已 知 函 数 f(x)对 于 任 何 实 数 x， y 都 有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 且 f (0) 0求 证 : f (x)是 偶 函 数 .证 明 ： 令 x=y=0得f(0)+f(0)=2f(0)f(0), 而 f(0) 0, 得 f(0)=1;又 令 x=0得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y), 即 f(-y)=f(y),所 以 函 数 f(x)为 偶 函 数 . 例 3 设 为 奇 函 数 , 且 定 义 域 为 R.(1) 求 b的 值 ；(2) 判 断 函 数 f(x)的 单 调 性 ；(3) 若 对 于 任 意 t R, 不 等 式 恒 成 立 ，求 实 数 k的 取 值 范 围 222)( 1 x x bxf 0)2()2( 22 ktfttf解 ： (1) 函 数 变 形 为由 函 数 是 奇 函 数 有 即 ： 比 较 分 子 可 知 b=1；(2) 设 x 1x2, 由得所 以 函 数 f(x)在 R上 为 减 函 数 ；(3) 由即 ： ， 由 减 函 数 得即 恒 成 立 ， 有 =4+12k0)在 区 间 -8,8上 有 四个 不 同 的 根 x 1,x2,x3,x4, 则 x1+x2+x3+x4的 值 为 .-8 4. 已 知 函 数 f(x)=x3+x, 对 任 意 的 m-2,2, f(mx-2)+f(x)0.(1) 判 断 f(x)在 (-1,1)上 的 奇 偶 性 ；(2) 判 断 函 数 f(x)在 (0,1)上 的 单 调 性 ；(3) 若 ， 试 求 的 值 .)1()()( xyyxfyfxf 21)51( f )191()111()21( fff 解 ： (1) 令 x=y=0, 则 2f(0)=f(0), 得 f(0)=0,令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x), 函 数 为 奇 函 数 ；(2) 任 取 -1x1x21, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=有 条 件 很 容 易 知 x 1-x20, 即所 以 ， 即 f(x1)f(x2), 函 数 在 区 间 上 为 减 函 数 ；(3) 由 条 件 ， 可 得 出 ),1( 21 21 xxxxf 01 21 21 xxxx0)1( 21 21 xxxxf )1()()( xyyxfyfxf ),51()191()41(),41()111()31(),31()51()21( fffffffff .1)51(2)191()111()21( ffff 11. 已 知 f(x)是 定 义 在 -1,1上 的 奇 函 数 ， 且 f(1) 1， 若 a， b -1,1, a b 0时 ， 有 成 立 (1) 判 断 f(x)在 1,1上 的 单 调 性 ；(2) 解 不 等 式(3) 若 对 所 有 的 a-1,1恒 成 立 ， 求 实 数 m的 取值 范 围 . 0)()( ba bfaf；)11()21( xfxf 12)( 2 ammxf解 ： (1) 任 取 -1x1x21, 函 数 为 奇 函 数 ，则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)， 有 题 设 有而 x1-x20, 于 是 f(x1)-f(x2)0, 函 数 在 区 间 上 为 增 函 数 ；(2) 解 不 等 式 等 价 于 解 不 等 式 组解 得(3) 函 数 为 增 函 数 ， 最 大 值 为 f(x)max=f(1)=1, 所 以 要 使 对 任 意 x恒 成 立 ， 只 需 即 要 使 对 任 意 a-1,1， 恒 成 立 ， 则 有得 m的 取 值 范 围 为 0)()( 21 21 xx xfxf；)11()21( xfxf ,1121 1111 1211 xx xx;123 x 12)( 2 ammxf 1122 amm022 amm ,02)1( 02)1( 2 2 mmg mmg .0),22,( 12. 定 义 在 -1,1上 的 函 数 f(x)是 奇 函 数 , 并 且 在 -1,1上 f(x)是增 函 数 , 求 满 足 条 件 f(1-a)+f(1-a2) 0的 a的 取 值 范 围 . 解 ： 函 数 为 奇 函 数 ， 不 等 式 可 变 形 为 f(1-a)-f(a2-1) 0,即 f(1-a) f(a2-1)， 而 函 数 又 是 增 函 数 ， 解 不 等 式 等 价 于解 不 等 式 组 解 得 则 有 a的 取 值 范 围 为 ,11 111 111 22aa a a ,21 x.21 ，a 13. 定 义 在 2,2 上 的 偶 函 数 f(x), 当 x 0时 , f(x)单 调 递 减 ,若 f(1-m) f(m) 成 立 ,求 m的 取 值 范 围 14. 若 函 数 y=f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 (- ,0上 是减 函 数 ， 又 f(2a-1) f(3-a), 则 a的 取 值 范 围 是 .解 ： 函 数 为 偶 函 数 ， 故 有不 等 式 f(1-m) f(m)变 形 为又 函 数 在 0,2上 单 调 递 减 , 不 等 式 等 价 于 ：则 有 m的 取 值 范 围 为 ),()( xfxf ),()1( mfmf ,211 m mm).21,1m ),34()2,( 15 已 知 函 数 f(x), 若 对 一 切 实 数 x, y都 有 f(x+y)=f(x)+f(y),(1) 求 f(0)的 值 ；(2) 判 定 f(x)的 奇 偶 性 .解 ： (1) 令 x=y=0, 则 2f(0)=f(0), 得 f(0)=0,(2) 令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x), 函 数 为 奇 函 数 16 已 知 函 数(1) 判 断 f(x)的 奇 偶 性 ；(2) 若 f(1) 2， 试 判 断 f(x)在 2, )上 的 单 调 性 解 : (1) 当 a 0时 ， f(x) x2， f( x) f(x) ， 函数 是 偶 函 数 当 a 0时 ，取 x 1， 得 f( 1) f(1) 2 0；f( 1) f(1) 2a 0， f( 1) f(1)， f( 1) f(1) 函 数 f(x)既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 ;(2) 若 f(1)=2, 代 入 函 数 解 析 式 很 容 易 得 到 a=1，即设 任 意 2x 1x2, 则 有很 明 显 ， 有 f(x1)0)以T/a为 最 小 正 周 期 ； 设 函 数 y=f(u)是 定 义 在 A上 的 函 数 ， u=(x)是 B上 的 周期 函 数 ， 且 (x)A, 则 复 合 函 数 y=f(x)为 B上 的 周 期 函 ； 设 f 1(x)与 f2(x)是 A上 分 别 以 T1与 T2为 正 周 期 的 函 数 ， 且T2:T1=m:n, 则 它 们 的 和 ,差 ,积 是 A上 以 mT1(或 nT2)为 周 期的 周 期 函 数 ； 对 于 定 义 在 R上 的 函 数 ， 若 总 有 f(x+a)=f(x-a), 则 函 数 是以 2a为 一 个 周 期 的 周 期 函 数 ， 反 之 也 成 立 . 1. 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R， 若 f(x+1)与 f(x-1)都 是 奇 函 数 ， 则 ( )A. f(x)是 偶 函 数 B. f(x)是 奇 函 数 C. f(x)=f(x+2) D. f(x+3)是 奇 函 数2. 已 知 f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， 并 且 ， 当2 x 3时 ， f(x) x， 则 f(105.5) . )(1)2( xfxf 3. 函 数 f(x)对 于 任 意 实 数 x满 足 条 件 ， 若 f(1)=-5, 则f(f(5)= . )(1)2( xfxf 课堂训练 D2.551 4. 函 数 y=f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 且 为 偶 函 数 ， 对于 函 数 y=f(x)下 列 几 种 描 述 正 确 的 是 . y=f(x)是 周 期 函 数 ； x=是 它 的 一 条 对 称 轴 ； (-,0)是 它 图 象 的 一 个 对 称 中 心 ； 当 时 ， 它 一 定 取 最 大 值 . )2( xfy2x 5. 已 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 且 它 的 图 象 关 于 直 线x 1对 称 (1) 求 证 ： f(x)是 周 期 为 4的 周 期 函 数 ；(2) 若 (00 a0 a0 =0 0)的 图 象方 程 ax2+bx+c=0的 根ax2+bx+c0(a0)的 解 集ax 2+bx+c0)的 解 集 有 两 不 等 实 根x1, x2x|xx2 有 两 相 等实 根 x1=x2 无 实 根x|xx1 R u二 次 函 数 ,一 元 二 次 方 程 与 一 元 二 次 不 等 式 三 者 之 间 的 关 系x|x 1x2x m恒 成 立 , 求 实 数 m的取 值 范 围 解 ： (1) 由 f(0)=1, 即 f(x+1)-f(x)=2x, 分 别 将 函 数一 般 式 代 入 ， 得 a=1, b=-1, c=1, 即 解 析 式 为f(x)=x2-x+1;(2) 不 等 式 f(x)2x m， 将 函 数 解 析 式 代 入 ， 得x 2-3x+(1-m)0恒 成 立 ， 令 g(x)=x2-3x+(1-m), 其对 称 轴 为 ， 故 有 gmin(x)=g(1), 要 想 不 等 式恒 成 立 ， 只 需 g(1)0, 得 m2x m， 将 函 数 解 析 式 代 入 ， 得x 2-3x+(1-m)0恒 成 立 ， 令 g(x)=x2-3x+(1-m), 其对 称 轴 为 ， 故 有 gmin(x)=g(1), 要 想 不 等 式恒 成 立 ， 只 需 g(1)0, 得 m0 恒成立问题 ax2+bx+c0在 R上 恒 成 立 f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 m,n上 恒 成 立 f(x) min0(x m,n) ax2+bx+c0在 R上 恒 成 立 f(x)=ax2+bx+c0) 在 m,n上 恒 成 立 0 0040 2 c baacba 或 0 0040 2 c baacba 或 0)(20420)(2 2 nf nabacb nabmmf mab 或或 0)( 0)(nf mf f(x) 图 象 的 开 口 方 向 ; 方 程 f(x)=0的 判 别 式 ; f(x) 图 象 的 对 称 轴 与 区 间 的 关 系 ; 区 间 端 点 处 函 数 值 的 符 号 . 二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布 课堂训练1. 设 g(x)是 二 次 函 数 ， 若 f(g(x)的 值 域 是 0,+ ), 则 g(x)的 值 域 是 ( )A. (- ,-11,+ ) B. (- ,-10,+ )C. 0,+ ) D. 1,+ ),1, 1,)( 2 xx xxxf2. 关 于 x的 方 程 x2+(a2-1)x+(a-2)=0的 一 根 比 1大 ， 另 一 根 比 1小 ， 则 有 ( ) A. -1 a 1 B. a -2或 a 1C. -2 a 1 D. a -1或 a 23. 设 x,y是 关 于 m的 方 程 m 2-2am+a+6=0的 两 个 实 根 ， 则(x-1)2+(y-1)2的 最 小 值 是 ( ) A. -12 B. 18 C. 8 D. 34 CCC 4. 二 次 函 数 f(x)满 足 f(3+x)=f(3-x)且 f(x)=0有 两 个 实 根 x1,x2，则 x1+x2等 于 .5. 函 数 f(x)=2x2-mx+3， 当 x (- ,-1时 是 减 函 数 ， 当x (-1,+ )时 是 增 函 数 ， 则 f(2)= . 6. 当 时 ， 不 等 式 ax2-2x+20恒 成 立 ， 则 实 数 a的 取值 范 围 是 .221 x7. 若 方 程 x2-2x=k在 区 间 -1,1上 有 解 , 则 实 数 k的 取 值 范 围为 . 8. 方 程 x 2-mx+1=0的 两 根 为 ,且 则 实 数 m的 取 值 范 围 是 . 21,0 6 19),21( a-1,3 252 m 9. 设 函 数 f(x)=|x|x+bx+c， 给 出 下 列 命 题 ： b=0,c 0时 ， f(x)=0只 有 一 个 实 数 根 ； c=0时 ， y=f(x)是 奇 函 数 ； y=f(x)的 图 象 关 于 点 (0,c)对 称 ； 方 程 f(x)=0至 多 有 2个 实 数 根 . 上 述 命 题 中 的 所 有 正 确 命 题 序 号 是 . 10. 已 知 函 数 f(x) 4x2 4ax 4a a2在 区 间 0, 1内有 一 个 最 大 值 5， 求 a的 值 11. 已 知 函 数 f(x) x2 mx n的 图 象 过 点 (1,3), 且 f( 1 x) f( 1 x)对 任 意 实 数 都 成 立 ， 函 数 y g(x)与 y f(x)的 图 象关 于 原 点 对 称 (1) 求 f(x)与 g(x)的 解 析 式 ；(2) 若 F(x)=g(x)-f(x)在 (-1,1上 是 增 函 数 , 求 实 数 的 取 值 范 围 . 12. 已 知 关 于 x的 二 次 函 数 f(x) x2 (2t 1)x 1 2t.(1) 求 证 ： 对 于 任 意 t R， 方 程 f(x) 1必 有 实 数 根 ；(2) 若 , 求 证 : 方 程 f(x) 0在 区 间 ( 1,0)及 上 各 有一 个 实 根 )21,0(4321 t 13. 已 知 函 数 在 区 间 0, 1上 的 最 大 值 是 2， 求实 数 a的 值 . 2142 aaxxy 2114. 已 知 二 次 函 数 f(x)=ax2+bx+c.(1) 若 f(-1)=0， 试 判 断 函 数 f(x)零 点 个 数 ；(2) 是 否 存 在 a,b,c R， 使 f(x)同 时 满 足 以 下 条 件 ：i. 对 x R, f(x-4)= f(2-x), 且 f(x) 0，ii. 对 x R， 都 有 0 f(x)-x (x-1)2,若 存 在 ， 求 出 a,b,c的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。 15. 已 知 二 次 函 数 f(x) ax2 bx (a,b为 常 数 , 且 a 0)， 满 足条 件 f(1 x) f(1 x), 且 方 程 f(x) x有 等 根 .(1) 求 f(x)的 解 析 式 ;(2) 是 否 存 在 实 数 m,n(mn), 使 f(x)的 定 义 域 和 值 域 分 别 为m,n和 3m,3n, 如 果 存 在 , 求 出 m、 n的 值 , 如 果 不 存 在 , 说明 理 由 .解 ： (1)由 题 意 ， f(1+x)=f(1-x), 对 称 轴 为 x=1， f(x)=x有等 根 ， =0， 可 求 出 b=1, a= ,函 数 的 解 析 式 为 ： (2) 根 据 抛 物 线 的 顶 点 ， 可 知 函 数 最 大 值 为 所 以 有 函 数 在 m,n上 为 增 函 数 ， 所 以 有 又 mn， n=-4不 合 题 意 ， n=0， m=-4.终 上 所 述 ， m,n存 在 ， m=-4, n=0.21 ;21)( 2 xxxf ，21,161,213 nn 得 ,40 40321 3213)( 3)( 22 nn mmmmm mmmnnf mmf 或 或 16. 设 不 等 式 mx2-2x-m+10对 于 满 足 |m| 2的 一 切 值 都 恒成 立 ， 求 实 数 x的 取 值 范 围 .知 道 谁 的 范 围 ， 谁 就 是 变 量 ， 求 谁 的 范 围 ， 谁 就 是 参 数 .解 ： 由 题 意 ， 设 函 数 g(m)=(x2-1)m+(1-2x), g(m)是 m的 一 次 函 数 ， m的 取 值 范 围 为 -2,2, 要 使 g(m)0恒 成 立 ， 则 有 g(-2)0且 g(2)0,即 ： 解 之 得所 以 x的 取 值 范 围 为,0122 03222 2 xx xx ,2 312 71 x ).2 31,2 71( x 17. 已 知 函 数 f(x) |x2 4x 3|.(1)求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ， 并 指 出 其 增 减 性 ；(2)求 集 合 M m|使 方 程 f(x) mx有 四 个 不 相 等 的 实 根 .解 ： (1) 由 题 意 ， 函 数 为由 此 可 得 函 数 的单 调 增 区 间 ： 1,2, 3,+);单 调 减 区 间 ： (-,1, 2,3;(2) 若 m=0， 函 数 f(x)与 g(x)=0只 有 两 个 交 点 ； 方 程 f(x)=mx有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， m0, 当 g(x)=mx与 函 数 f(x)在 1,3的 图 象 相 切 时 ， 有 三 个 交 点 ， 直 线 g(x)在 切 线 与 x轴 之 间 时 ，有 四 个 交 点 ， 直 线 在 切 线 上 方 时 有 两 个 交 点 ； 只 要 求 出 切线 对 应 的 斜 率 m的 值 ， 符 合 条 件 的 m的 范 围 就 在 0和 切 线 对应 斜 率 之 间 .由 相 切 ， 则 有 方 程 -x2+4x-3=mx有 唯 一 解 ，=0, 得 或 ， 前 者 舍 去 (因 为 对 应 x值 为 ） 所 以 m的 取 值 范 围 为 3,34 31,34 1,34)( 2 22 xxx xxx xxxxf324m 324m 3).324,0( m 18. 关 于 x的 不 等 式 在 区 间 2,3上 恒 成 立 ,则 实数 m的 取 值 范 围 是 . 092 2 mxx 9m解 ： (1) 变 量 分 离 法m -2x2+9x在 区 间 2,3上 恒 成 立 , 记 g(x)=-2x2+9x,则 问 题 转 化 为 m g(x)min, 因 为 gmin(x)=g(3)=9, 则 m 9；(2) 转 换 求 函 数 的 最 值构 造 函 数 g(x)=-2x2+9x+m, x 2,3, 问 题 等 价 于 f(x)max 0,因 为 所 以 f(x)max=f(3)=m-9 0, m 9;,3,2,881)49(2)( 2 xmxxf构 造 函 数 f(x)=-2x2+9x+m, x 2,3, 则 有(3) 数 形 结 合 法 ;909 0100)3( 0)2( mmmff(4) 不 等 式 解 集 法9 81 8 9 81 8 , 4 4m m 9 81 8 349 81 8 24 mm 81 8 0m ， 9.m 2 3A 第 二 章 ： 基 本 初 等 函 数第二节：幂函数 幂函数u幂 函 数 的 定 义一 般 地 ， 形 如 y=xa的 函 数 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 x是 自 变 量 ，a是 常 数 .(1) 底 数 为 自 变 量 x； (2) 指 数 为 常 数 ； (3) 幂 的 系 数 为 1.u幂 函 数 的 图 象(1) 所 有 的 幂 函 数 在 (0,+ )都 有定 义 ， 并 且 图 象 都 通 过 点 (1,1);(2) 如 果 a ,则 图 象 都 过 点 (0,0)和 (1,1); 如 果 a ， 则 图 象 都 只过 点 (1,1);(4) 图 象 分 布 ： 第 象 限 都 有 图 象 ；第 象 限 都 没 有 图 象 ； 二 三 象 限 可 能 有 ， 也 可 能 没 有 图 象 . 12幂函数的性质y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1定 义 域 R R R 0,+ ) x 0值 域 R 0,+ ) R 0,+ ) x 0奇 偶 性 奇 偶 奇 非 奇 非 偶 奇单 调 性 增 :(- ,+ ) 减 ： (- ,0增 ： 0,+ ) 增 :(- ,+ ) 增 ： 0,+ ) 减 ： (- ,0减 ： 0,+ )公 共 点 图 象 都 过 点 (1,1)单 调 性 ： 如 果 a0,则 幂 函 数 在 (0,+ )上 为 增 函 数 ; 如 果 a1且 n为 N*n为 奇 数 时 ， 正 数 的 奇 次 方 根 为正 数 ； 负 数 的 奇