15有理数的乘法和除法

有 理 数 的 乘 法 和 除 法本 课 内 容本 节 内 容1.5 1.5.1 有 理 数 的 乘 法 我 们 已 经 熟 悉 了 非 负 数 的 乘 法 运 算 ，那 么 如 何 计 算 （ -5） 3， 3 （ -5） ， （ -5） （ -3） 呢 ？5 3 = 15 ， 例 如 动 脑 筋 我 们 把 向 东 走 的 路 程 记 为 正 数 .如 果 小 丽 从 点 O出 发 ， 以 5km/h的 速 度 向 西 行 走 3h后 ， 小 丽 从 O点 向哪 个 方 向 行 走 了 多 少 千 米 ？ 小 丽 从 O点 向 西 行 走 了 （ 5 3） km.由 此 ， 我 们 有（ -5） 3 = （ 5 3） 我 们 已 经 知 道 (-5) 3 = -(5 3)，探 究那 么 3 (-5 )， (- 5) (-3)又 应 怎 样 计 算 呢 ？ 非 负 数 的 乘 法 与 加 法 是 用 分 配 律 联 系 起 来 的 ，因 此 ， 当 数 扩 充 到 有 理 数 后 ， 要 规 定 有 理 数 的 乘 法法 则 ， 当 然 也 要 求 它 满 足 分 配 律 ， 以 便 把 乘 法 与 加法 联 系 起 来 .如 果 它 满 足 分 配 律 ， 那 么 就 会 有 3 (-5)+3 5=3 (-5)+5=3 0=0这 表 明 3 (-5)与 3 5互 为 相 反 数 ， 于 是 有3 (-5)=-(3 5). 结 论 异 号 两 数 相 乘 得 负 数 ， 并 且 把 绝 对 值 相 乘 .从 、 式 受 到 启 发 ， 一 般 规 定 ：3 (-5)= -(3 5) (-5) 3 = -(5 3) （ -） （ +） （ -）（ +） （ -） （ -） 结 论 任 何 数 与 0相 乘 ， 都 得 0. 类 似 地 ， 我 们 有(-5) (-3)+(-5) 3=(-5) (-3)+3=(-5) 0= 0这 表 明 (-5) (-3)与 (-5) 3互 为 相 反 数 .因 为 (-5) 3= -15， 而 -15的 相 反 数 是 15，所 以 (-5) (-3)=15 .即 (-5) (-3)= 15 = 5 3 . 由 式 看 出 ， (-5) (-3)得 正 数 ， 并 且 把 绝 对 值 5与 3相 乘 . 结 论 同 号 两 数 相 乘 得 正 数 ， 并 且 把 绝 对 值 相 乘 .从 、 式 受 到 启 发 ， 于 是 规 定 ：(-5) (-3)=15=5 3 5 3 = 15 （ +） （ +） （ +）（ -） （ -） （ +） 例 1 计 算 ： （ 1） 3.5 （ -2） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） （ -0.57） 0. 3 28 9 举例 13 3 ( ) 解（ 1） 3.5 （ -2）= -(3.5 2) 根 据 乘 法 法 则= -7 3.5)和 (-2)为 异 号 ，结 果 为 负3.5和 (-2)的 绝 对 值 相 乘解（ 2） = 根 据 乘 法 法 则= 为 异 号 ，结 果 为 负它 们 的 绝 对 值 相 乘 3 28 9 3 28 9 11 2 3 28 9 和 解（ 3） = 根 据 乘 法 法 则= 1 为 同 号 ，结 果 为 正解（ 4） （ -0.57） 0 根 据 乘 法 法 则= 0 任 何 数 与 0相 乘 ， 结 果 为 0 13 3 ( ) 13 3 13 3 和 1. 填 表 :因 数 因 数 积 的 符 号 绝 对 值 的 积 积-2 7-10.3 -10 - 1414 -+ 314 -1414-3练 习 2. 计 算 ：（ 1） ；（ 2） . 2 153 4 8 515 12 5229 在 小 学 我 们 已 经 学 过 乘 法 的 交 换 律 、 结合 律 ， 那 么 这 两 个 运 算 律 在 有 理 数 范 围 内 是否 也 适 用 呢 ？ 填 空 ： （ 1） (-2) 4= ， 4 (-2)= ；-8 -8动 脑 筋（ 2） (-2) (-3) (-4)= (-4)= ， (-2) (-3) (-4)=(-2) = .6 -2412 -24从 上 面 的 填 空 题 中 ， 你 发 现 了 什 么 ？ 结 论 乘 法 交 换 律 ： = .a b ab即 ， 两 个 有 理 数 相 乘 ， 交 换 因 数 的 位 置 ， 积 不 变 . 结 论乘 法 结 合 律 ： ( ) = ( ).a b a b cc 即 ， 对 于 三 个 有 理 数 相 乘 ， 可 以 先 把 前 两 个 数 相乘 ， 再 把 结 果 与 第 三 个 数 相 乘 ； 或 者 先 把 后 两 个 数 相乘 ， 再 把 第 一 个 数 与 所 得 结 果 相 乘 ， 积 不 变 和 加 法 类 似 ， 根 据 乘 法 交 换 律 和 乘 法 结 合 律 可 以 推出 ： 三 个 或 三 个 以 上 有 理 数 相 乘 ， 可 以 写 成 这 些 数 的 连乘 式 对 于 连 乘 式 ， 可 以 任 意 交 换 因 数 的 位 置 ， 也 可 先把 其 中 的 几 个 数 相 乘 （ 1） 填 空 ：动 脑 筋 (-6) 4+(-9) =(-6) = ，(-6) 4+(-6) (-9)= + = .-5 3054-24 30 （ 2） 换 几 个 有 理 数 试 一 试 ， 你 发 现 了 什 么 ？ 结 论 乘 法 对 加 法 的 分 配 律 （ 简 称 为 分 配 律 ） ： ( + ) = + .b c aa b a c （ -1） a = -a利 用 分 配 律 ， 可 以 得 出 即 ， 一 个 有 理 数 与 两 个 有 理 数 的 和 相 乘 ， 等 于 把这 个 数 分 别 与 这 两 个 数 相 乘 ， 再 把 积 相 加 . 例 2 计 算 ： （ 1） ； （ 2） （ -12.5） （ -2.5） （ -8） 4 . 1 1 1 1 6052 3 4 举例 解（ 1） = 将 分 数 逐 个 与 60相 乘= 30-20-15+12= 7分 数 与 整 数 60相 乘 计 算 结 果 1 1 1 1 6052 3 4 1 1 1 160 60 60 6052 3 4 解（ 2） (-12.5) (-2.5) (-8) 4= (-12.5) (-8) (-2.5) 4(-12.5)和 (-8)相 乘 为 整 数= 100 (-10) (-2.5)和 4相 乘 为 整 数= -1000相 乘 为 整 数 的 先 结 合 起 来(-12.5)和 (-8)为同 号 相 乘 (-2.5)和 4为 异 号 相 乘(-10)和 100相 乘 为 异 号 下 列 各 式 的 积 是 正 数 还 是 负 数 ？ 积 的 符 号 与 负 因 数（ 因 数 为 负 数 ） 的 个 数 之 间 有 什 么 关 系 ？ （ 1） （ -2） （ -3） （ -4） ； （ 2） （ -2） （ -3） （ -4） （ -5） . 几 个 不 等 于 0的 数 相乘 ， 当 负 因 数 有 奇 数 个时 ， 积 为 负 ； 当 负 因 数有 偶 数 个 时 ， 积 为 正 .说 一 说 例 3 计 算 ： （ 1） （ -8） 4 （ -1） （ -3） ； （ 2） .举例 1 10 3.2 55 ( ) ( ) ( ) 解（ 1） (-8) 4 (-1) (-3)= -(8 4 1 3) 将 负 号 提 出 来绝 对 值 进 行 相 乘= -96先 确 定 积 的 符 号 解 四 个 负 号 相 乘 ， 结 果 为 正 号绝 对 值 进 行 相 乘= 32先 确 定 积 的 符 号（ 2） 1 10 3.2 55 ( ) ( ) ( )1= 10 3.2 55 1.计 算 : （ 1） (-2) 17 (-5)； （ 2） (-15) 3 (-4)； （ 3） ； （ 4） 0.125 9 (-8)； （ 5） (-5) (-4) (-3)； （ 6） (-1.5) 6 (-4)； （ 7） ； （ 8） (-10) 28 0. 1 7 44 - 1 1 62 3 练 习 1.解 （ 1） (-2) 17 (-5)=2 5 17=170（ 2） (-15) 3 (-4)=15 4 3=180（ 3） 1 17 4 4 7 74 4 - - -（ 4） 0.125 9 (-8)=-(8 0.125) 9=-9 （ 5） (-5) (-4) (-3)=-(5 4 3)=-60（ 6） (-1.5) 6 (-4)=1.5 4 6=36（ 7） 1 1 1 16 6 12 3 2 3 （ 8） (-10) 28 0 = 0 2.计 算 : （ 1） ； （ 2） （ -4） （ -3） （ - 5） （ -2.5） . 3 1 4 20510 4 2.解 （ 1） 3 1 4 20 510 43 1 420 20 20 510 46 5 1617 （ 2） （ -4） （ -3） （ - 5） （ -2.5） = 4 3 5 2.5 = 150 1.5.2 有 理 数 的 除 法 我 们 知 道 2 3 = 6，因 此 6 3 = 2. 那 么 如 何 计 算 （ -6） 3， 6 （ -3） ， （ -6） （ -3） 呢 ？ 探 究（ -6） 3=?， 6 （ -3） =?， （ -6） （ -3） =?由 于 （ -2） 3 = - 6 ，因 此 ， （ -6） 3 = -2 . 类 似 地 ， 由 于 （ -2） （ -3） = 6 ，由 于 2 （ -3） = -6 ，因 此 ， 6 （ - 3） = -2 ， 因 此 ， （ -6） （ -3） =2 . 从 这 些 例 子 受 到 启 发 ， 抽 象 出 有 理 数 的 除 法 运 算 ； 对 于 两 个 有 理 数 a， b， 其 中 b 0， 如 果 有 一 个 有 理数 c， 使 得 cb = a， 那 么 规 定 a b=c， 且 把 c叫 作 a除 以 b的商 . 结 论 同 号 两 数 相 除 得 正 数 ， 异 号 两 数 相 除得 负 数 ， 并 且 把 它 们 的 绝 对 值 相 除 .0 除 以 任 何 一 个 不 等 于 0的 数 都 得 0.有 理 数 的 除 法 是 通 过 乘 法 来 规 定 的 ， 因 此 由 至 式 可 以 得 出 ：（ +） （ +） （ +）（ -） （ -） （ +）6 3 = 2 (-6) 3 = -2 6 (- 3)= -2 (-6) (-3)=2 （ -） （ +） （ -）（ +） （ -） （ -） 例 4 计 算 ： （ 1） （ -24） 4 ； （ 2） （ -18） （ -9） ； （ 3） 10 （ -5） .举例 解（ 1） （ -24） 4= - (24 4) 根 据 除 法 法 则(-24)和 4为 异 号 相 除结 果 为 负解（ 2） （ -18） （ -9）= +(18 9) 根 据 除 法 法 则（ -18） 和 (-9)为 同 号结 果 为 正= -6= 2 解（ 3） 10 （ -5）= -(10 5) 根 据 除 法 法 则10和 (-5)为 异 号 相 除结 果 为 负= -2 试 问 ： 10 (-5) 还 可 以 怎 样 计 算 ？我 们 已 经 知 道 10 （ -5） = -2 ， 所 以 110 5 10 5 ( )动 脑 筋 110 25 又 由 于 ， 因 此 ， 我 们 把 叫 做 -5的 倒 数 ，把 -5叫 做 的 倒 数 . 15 15 ( ) 1515 一 般 地 ， 如 果 两 个 数 的 乘 积 等 于 1， 那 么 把 其中 一 个 数 叫 做 另 一 个 数 的 倒 数 ， 也 称 它 们 互 为 倒数 . 0没 有 倒 数 . 115 5 ( )因 此 ， 式 表 明 10除 以 -5等 于 10乘 -5的 倒 数 . 110 5 10 5 ( ) 结 论除 以 一 个 不 等 于 零 的 数 等 于 乘 上 这 个 数 的 倒 数 .一 般 地 ， 有 理 数 的 除 法 运 算 可 以 转 化 为 乘 法 运 算 ， 即也 可 以 表 示 成 1 0 ( )a b a bb 例 5 计 算 ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） . 315 7 2 215 3 112 3 举例 解（ 1） = （ -12） 3 根 据 除 法 法 则异 号 相 乘 ， 结 果 为 负解（ 2） = 根 据 除 法 法 则异 号 相 乘 ， 结 果 为 负 112 3 的 倒 数 是 313= -36 315 7 715 3= -35 的 倒 数 是37 73 解（ 3） = 根 据 除 法 法 则 同 号 相 乘 ， 结 果 为 正 2 215 3 = 2 3 15 2 15 的 倒 数 是23- 32- 1.计 算 ： （ 1） 14 (-7)； （ 2） (-36) (-3)； （ 3） 0 (-0.618)； （ 4） (-48) 12. 练 习 1.解 （ 1） 14 (-7)= -2；（ 2） (-36) (-3)= 12 ；（ 4） (-48) 12 = -4.（ 3） 0 (-0.618) = 0； 2.填 空 ： （ 1） 因 为 = 1， 所 以 的 倒 数 是 ； （ 2） 的 倒 数 是 ； -3的 倒 数 是 . 16 1658 -685-6 13 3.计 算 ： （ 1） (-36) (-0.6) ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） . 14 7 18 25 ( ) 5 1512 4 60-289519 下 面 的 算 式 含 有 乘 、 除 两 种 运 算 ， 怎 样 进 行 有理 数 的 乘 、 除 混 合 运 算 呢 ？ 18 2 ?2 ( ) ( )议 一 议可 以 按 从 左 到 右的 顺 序 依 次 计 算 . 也 可 以 先 将 除 法转 化 为 乘 法 . 例 3 计 算 ： （ 1） （ -56） （ -2） （ -8） ；举例 （ 2） （ -10） （ -5） （ -2） ； 15 6 3 ( )（ 3） 3 12.4 4 4 （ 4） 解（ 1） （ -56） （ -2） （ -8）= 28 （ -8） 可 以 依 次 计 算先 算 前 两 个 数 异 号 相 除 ， 结 果 为 负= 72（ 2） （ -10） （ -5） （ -2） ；解 = （ -10） 10 先 计 算 后 两 个= -1 解 = -30 （ -3） 可 以 依 次 计 算先 算 前 两 位 数= 90 依 次 计 算= 0.8（ 3） 15 6 3 ( )（ 4） 3 12.4 4 4 解 4 1= 2.4 3 4 ( ) 下 面 是 小 明 同 学 做 的 一 道 计 算 题 ， 他 的 计 算是 否 正 确 ？ 如 果 不 正 确 ， 说 说 他 错 在 哪 里 .说 一 说 14 8 414 8 44 22 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 14 8 41 14 8 41 1 12 4 8 ( ) ( )( ) ( )不 正 确 ， 应 该 依 次 计 算 计 算 器 是 日 常 生 活 中 常 用 的 一 种 现 代 计算 工 具 ， 因 此 我 们 可 以 利 用 计 算 器 来 计 算 . 计 算 器 有 各 种 型 号 ， 型 号 不 同 ， 操 作 方 法 略 有 不 同 .下 面 我 们 以 某 种 型 号 的 计 算 器 （ 图 1-17） 为 例 介 绍 操 作 方法 . 图 1-17 某 种 电 子 计 算 器 的 面 板 示 意 图 举例 例 7 用 计 算 器 计 算 （ 精 确 到 0.001） ： -1840 0.28 (-375)再 将 结 果 四 舍 五 入 后 就 可 以 得 到 答 案 1.374.解 按 照 下 列 顺 序 按 键 ： 不 同 的 计 算 器 ， 操 作 方 法 可 能 有 所 不 同 .具体 操 作 方 法 应 参 看 计 算 器 的 使 用 说 明 书 . 1.计 算 ： （ 1） 24 (-3) (-4) ； （ 2） (-6) (-2) 3； （ 3） 2 (-7) (-4)； （ 4） 18 6 (-2). 练 习 1.解 （ 1） 24 (-3) (-4)= -8 (-4)= 2 ；（ 2） (-6) (-2) 3 = 3 3 = 1 ；（ 3） 2 (-7) (-4) = (-4) = ；（ 4） 18 6 (-2) = 3 (-2)= -6 . 27 87 2.计 算 ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） . 1 1 32 3 4 1 124 6 3 1 13.5 78 ( ) 98124- 3. 用 计 算 器 计 算 ： 1.26 (-15 ) 80.-6.72 中 考 试 题例 1 计 算 ： （ -100） （ -20） -（ -3） . 本 题 中 ， 先 计 算 乘 法 ， 同 号 为 正 ， 再 将 减 法 运 算 转 化 成 加 法 .分 析 原 式 =100 20+3 =2000+3 =2003.解 中 考 试 题例 2 计 算 ： .有 理 数 的 除 法 法 则两 个 有 理 数 相 除 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ， 并 把 绝 对 值 相 除 .0除 以 任 何 非 0的 数 都 得 0.除 以 一 个 数 等 于 乘 以 这 个 数 的 倒 数 ， 即 a b= a （ b0） .分 析 原 式 =-11 （ -13） （ -13） =-11 13 13 =-1859 -1859解 111 1313 1b 解中 考 试 题例 3 如 图 ， 是 一 个 简 单 的 数 值 运 算 程 序 ， 当 输 入 x的 值为 1时 ， 则 输 出 的 数 值 为 . 输 入 x值 为 1， 即 算 式 为 1 (-1)+3=2， 所 以 输 出 为 2.2输 入 x (-1) +3 输 出 结 束